文档文本内容
培优点07 指对同构问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................5
题型一：双变量地位同等同构............................................................................................................5
题型二：指对同构法的理解................................................................................................................5
题型三：同构方程................................................................................................................................7
题型四：加法同构................................................................................................................................8
题型五：乘法同构................................................................................................................................8
题型六：利用同构法解决零点问题....................................................................................................9
题型七：求函数的最值问题..............................................................................................................10
题型八：不等式问题..........................................................................................................................10
题型九：朗博同构放缩...................................................................................................................... 11
题型十：公切线方程中的隐形同构..................................................................................................12
04 课时精练........................................................................................................................................14
同构法是一种解决等式或不等式问题的有效方法。其核心思路是对给定的等式或不等式进行变形，让
等式或不等式的左右两边在结构与形式上达成完全一致，进而构造出一个函数。由于该函数具有单调性这
一重要性质，我们可以借助函数的单调性来处理问题。同构法在处理含有指数和对数混合的等式或不等式
问题时优势明显。通过同构法，能够将复杂的指数、对数混合问题转化为对函数单调性的研究，简化问题
求解过程，帮助我们更高效地找到问题的答案，为解决此类数学问题提供了清晰且实用的思路与途径。
一、八大同构函数图像
①
，②
，
③
，④
，
⑤
，⑥
，
⑦
，⑧
．
二、同构
1、常规变形方式
①
；②
；③
；④
；⑤
．
2、变形同构
①
；
②
；
③
④
⑤
3、双变量同构
(1)
为增函
数．
(2)
为减函数．
题型一：双变量地位同等同构
【例1】已知函数
，若对于任意
，都有
成立，则
实数a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2025·福建莆田·三模）已知函数
，
，若对区间
内任意两个实
数
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】若对
都有
成立，则的最大值为（ ）
A．1
B．2 C．e D．2e
【变式1-3】已知
，向量
与
的夹角为
，若对任意的
，当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：指对同构法的理解
【例2】已知
是方程
的一个根，则
．
【变式2-1】阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题．已知
实数，
满足
，则
的最小值是多少？
解析：
，
有
，
得
，
设函数
，则
在
上单调递增，
因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立．
阅读参考以上材料，解答下列问题：
(1)判断函数
在
上的单调性，并用定义证明；
(2)已知
，求
的值．
【变式2-2】对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数．
【变式2-3】对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数．
【变式2-4】对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
．
题型三：同构方程
【例3】（2025·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构
式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程
和关于的方
程
（，，
）可化为同构方程，则
，
．
【变式3-1】同构式通俗讲是结构相同的表达式，如:
， 称
与
为同构式． 已知实数
满足
， 则
．
【变式3-2】（2025·高三·安徽·开学考试）对任意实数，恒有
成立，关于的方程
有两根为
，
，则下列结论正确的为( )
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】已知实数
，
满足
，
，其中e 是自然对数的底数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】（2025·江苏南京·模拟预测）已知实数，满足
，
，其中是自然对数的底
数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：加法同构
【例4】（2025·四川·模拟预测）已知当
时，
恒成立，则实数的取值
范围是 ．
【变式4-1】任意的
，不等式
恒成立，则
的范围是 ．
【变式4-2】（2025·湖北·三模）若不等式
恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3 D．4
【变式4-3】（2025·海南·模拟预测）已知当
时，函数
恒成立，
求实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：乘法同构
【例5】（2025·河北廊坊·模拟预测）当
时，关于的不等式
恒成立，则的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】已知
对
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】已知
对
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：利用同构法解决零点问题
【例6】已知函数
和
，证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【变式6-1】已知函数
．
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若函数
只有一个零点，求的取值范围；
(3)若
，证明：方程
有唯一解
，且直线
与两条曲线
和
共
有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列．
【变式6-2】（2025·高三·上海青浦·期中）已知函数
和
，
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若函数
和
有相同的最小值，
①求的值；
②证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等差数列．
题型七：求函数的最值问题
【例7】（2025·高三·甘肃兰州·期中）已知函数
，
，若
，
，则
的最小值为 ．
【变式7-1】已知函数
，
，若
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】已知函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（多选题）（2025·高三·黑龙江佳木斯·期中）已知函数
，
，若存在
，
，使得
成立，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，
的最大值为
题型八：不等式问题
【例8】（2025·福建三明·模拟预测）已知e 为自然对数的底数，a， B 均为大于1 的实数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】设a， B 都为正数，为自然对数的底数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】若
，则 ( )
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】若
(a， B 为变量)成立，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-4】已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
时，求证：
在
上恒成立；
（3）求证：当
时，
．
题型九：朗博同构放缩
【例9】已知函数
，（其中是自然对数的底数），若
在
上恒成
立，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
，
，若
恒
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)当
时，
，求实数的取值范围．
【变式9-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若过点
作曲线
的切线有且仅有一条，求实数t 的值；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
题型十：公切线方程中的隐形同构
【例10】（2025·高三·福建漳州·开学考试）已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则k 的最大值是（ ）
A．
B．
C．2e
D．4e
【变式10-1】（2025·辽宁沈阳·二模）若直线
与直线
是曲线
的两条切
线，也是曲线
的两条切线，则
的值为（ ）
A．
B．0 C．-1 D．
【变式10-2】已知直线
既是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式10-3】（2025·福建龙岩·三模）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2025·海南·模拟预测）已知当
时，函数
恒成立，求实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数
，若任意两个不相等的正实数
，
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·高三·山西吕梁·期末）已知实数
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）已知
，
，a>0．若y=f(x)，y=g(x)图象有公共点P，且在
该点处的切线重合，则 B 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）已知函数
，
，
，若
，
图象有公共
点P，且在该点处的切线重合，则实数 B 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）（2025·广东广州·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，称
与
为同构式．已知实数
满足
，
，则
．
10．（2025·江西赣州·一模）若a，
，自然对数的底数为e，则
的最小
值为 ．
11．（2025·高三·安徽六安·期末）已知函数
，
，若
，
，
则
的最大值为 ．
12．已知函数
和
．
(1)分别求函数
和
的最大值；
(2)若
，求证：曲线
和
有唯一公共点
，且直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并探究这三个交点（从左向右）的横坐标是否成等比数列？
13．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若函数
，且
在
上恒成立，求实数的取值范围．
14．（2025·江西赣州·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若对于一切
，恒有
成立，求实数a 的取值范围．
15．（2025·内蒙古·三模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求的取值范围．
16．设
，若对任意的
，
恒成立，求a 的范围．
