文档文本内容
专题08 数列中的奇偶项和插入项问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 等差 / 等比数列奇偶项和性质问题（
）
题型二 含分段函数的奇偶项求和问题（
）
题型三 连续两项和 / 积型奇偶项问题（
）
题型四 插入项构造新数列问题（
）
题型五 含(-1)
n的奇偶项并项求和问题（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中的题型分布：客观题以中档题为主，侧重奇偶项通项求解、局部和计算；解答题可能作为第二
问，结合函数、不等式综合考查，难度中档偏难
基础知识必备：等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项、插入项问题的核心依据。
数列递推关系的基本处理方法，包括累加法、累乘法、构造法等基础技巧。 分奇偶项的数列通项拆分原
则，以及插入项问题中原有数列与新数列的项数、公差 / 公比关联逻辑。 数列前 n 项和的分组求和、并
项求和等基础方法，适配奇偶项分段求和场景
2026 高考预测：考查重点：奇偶项数列的分段通项推导、前 n 项和的分类计算，插入项问题中公差 / 公
比的求解与新数列性质分析。 命题趋势：强化知识交汇，可能结合新定义、实际情境设计题目，突出对
分类讨论、转化化归思想的考查，与近三年高考 “情景新颖、素养导向” 的命题风格保持一致。
重难知识汇总：奇偶项数列的通项推导 隔项递推型（如
）：需分别构造奇数项、偶数
项两个独立数列求解。 含
型：通过并项转化为等差或等比数列，或直接分 n 为奇、偶讨论。 分
段型：明确 n 为奇数、偶数时的不同递推关系，分别求通项后整合。 奇偶项数列的前 n 项和计算 分 n
为奇、偶两种情况讨论，准确判断奇数项、偶数项的项数及对应数列类型。 利用
与
、
的关
系简化计算，规避项数计数错误。 插入项问题的核心逻辑 等差插入：在两项间插入 k 项后，新数列仍
为等差数列，利用中项性质或公差公式建立等式。 等比插入：插入项后保持等比性质，通过公比的传递
性求解参数，注意正负项的讨论。
常用技巧方法：分类讨论法：处理奇偶项问题的核心，明确 n 的奇偶性后，将复杂数列拆分为两个常规
等差或等比数列。 构造新数列法：将奇数项
、偶数项
分别构造为新数列，利用等差、等比数
列公式求解。 分组 / 并项求和法：奇偶项交替的数列优先并项（如相邻两项相加为常数或等比数列），
再整体求和。 方程法：插入项问题中，设新数列的公差 / 公比，根据原有项与插入项的关系列方程求解。
易错避坑提效：项数误判：计算前 n 项和时，混淆奇数项、偶数项的项数（如 n 为奇数时，奇数项有
项，偶数项有
项）。 公差 / 公比混淆：插入项问题中，误将原有数列的公差 / 公比等同于新数列，
忽略插入项对项数间隔的影响。 分类不完整：推导通项或求和时，未明确 n 的取值范围（n∈N*），导
致结论遗漏部分情况。 公式应用错误：等比数列求和时忽略 q=1 的特殊情况，奇偶项并项时符号处理失
误。
题型一 等差 / 等比数列奇偶项和性质问题
方法点拨：等差数列：项数为 2n 时，S偶- S奇=nd；项数为 2n-1 时，S奇- S偶=an（中间项）。
等比数列：项数为 2n 时，
S偶
S奇
=q；项数为 2n+1 时，
S奇-a1
S偶
=q。优先判断项数奇偶性，直接套用性质
简化计算，避免复杂通项推导。
【典例01】（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，
疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更
加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了
七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29 天，记该女子一个月中的第
天所织布的尺数为
，
则
值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题干信息，可得数列
是首项为5 的等差数列，再结合等差数列的性质和前
项和公式，
即可求解.
【详解】根据题意，知数列
是首项为5 的等差数列，
设数列中所有奇数项的和为
，则
，
设数列中所有偶数项的和为
，则
，
又由等差数列的性质，知
，
所以
.
故选：D.
【典例02】（25-26 高三上·新疆昌吉·月考）已知数列
是等差数列.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，
，求
；
(3)若数列
的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数.
【答案】(1)7；
(2)2700；
(3)19.
【分析】（1）求出公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案；
（2）利用等差数列求和公式即可得到答案；
（3）根据等差数列的性质得
和
，从而得到项数.
【详解】（1）在等差数列
中，
，
，公差
，
所以
.
（2）在等差数列
中，
，
，
所以
.
（3）设项数为
，
，数列公差为
，
则
，
所以
，
而
.
∴此数列共有19 项.
【变式01】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
的前
40 项和为 .
【答案】
【分析】根据题中递推式可求得
，
，即
的奇数项为首项为1 公差为5 的等
差数列，偶数项是首项为3 公差为5 的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为
，
，又
，所以
，
即
，所以数列
的奇数项是以1 为首项，5 为公差的等差数列；
同理，由
知，数列
的偶数项是以3 为首项，5 为公差的等差数列．
所以
前40 项和为
．
故答案为：
.
【变式02】（24-25 高三下·广东广州·月考）已知数列
满足
，其前
项和为
，且
．则
；若对任意的
，
恒成立，则首项
的取值范围是
．
【答案】 3036
【分析】对于第一空，因为给定条件是前
项和与
关系式，所以当
时，
，根据已知条
件列出
，与已知条件作差即可得出
是奇数项与偶数项均为公差为等差数列的结论，即可得出答案.
对于第二空，数列
为公差为6 的等差数列，最后分别讨论
，2，3，4，5，6，
成立的条件，以及证明
，
即可满足对任意的
，
恒成立，即可求得
的取值范围.
【详解】①
当
时，
，故
，
，
，即数列
的奇数项与偶数项均为公差为3 的等差数列，即数列
为公差为6 的等差数列，
故
，则
.
②由上可知，数列
为公差为6 的等差数列，
若对任意的
，
恒成立，
由
得，
，即
，可解得
；
由
得，
，即
，结合
，可解得
；
由
得，
，即
，结合
，可解得
；
当
时，
由
得，
，
即
，即
，
结合
，可解得
；
同理
，由上可得
，
，
故
恒成立，综上，
.
故答案为：3036；
【变式03】（2025·山东威海·一模）已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)当
为偶数时,
; 当
为奇数时,
;
【分析】（1）根据
的关系可得
，进而根据等差数列的性质即可求解，
(2)数列
的前
项的和分奇偶求和,先求
，
又
，
，
，
是首项为2，公差为2 的等差数列，再求奇数项和即可.
【详解】（1）由
得
时，
两式相减得
,整理得
因为
，所以
,所以数列
是以为公差的等差数列
在
中令
解得
所以
.
（2）当
时
，
又
，
，...，
是首项为2，公差为2 的等差数列，
所以
，
故
．所以
当
时
，
又
，
，...，
是首项为2，公差为2 的等差数列，
所以
，
故
．所以
当
为偶数时,
; 当
为奇数时,
;
题型二 含分段函数的奇偶项求和问题
方法点拨：分组求和：将奇数项和偶数项分别视为两个独立数列求和。项数区分：n 为偶数时，奇偶
项各n
2项；n 为奇数时，奇数项n+1
2
项、偶数项n-1
2
项。可先求前 2n 项和（奇偶项成对），再推导 n
为奇数时的和（T n=T n+1-bn+1）
【典例01】（25-26 高三上·福建福州·月考）已知数列
满足
，对任意
，有
，则数列
的前
项和
=（ ）
A．0
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】根据条件研究
，进而可得
.
【详解】因为
，
，
所以
.
所以
.
故选：D
【典例02】（25-26 高三上·新疆乌鲁木齐·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若
是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这
就是数学史上著名的“冰雹猜想”．（又称角谷猜想等）如取正整数
，根据上述运算法则得出
，共需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）．现给出冰雹猜
想的递推关系如下：已知数列
满足：
，（
为正整数），
，若
，记数列
的前
项和为
，则
【答案】4727 或4748
【分析】推出
或
，从第5 项起以1，4，2 周期性出现，
分组求和可得答案.
【详解】由
，可得
或
，
当
时，
；
当
时，
，
则数列
的前2026 项为
，或
，
当
时，
从第5 项起以1，4，2 周期性出现，且最小正周期为3；
当
时，
从第2 项起以1，4，2 周期性出现，且最小正周期为3，
可得
或
，
故答案为：4727 或4748.
【变式01】（24-25 高三上·辽宁·期末）已知数列
满足
且
，
，记
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据递推公式可得数列
奇数项和偶数项的特征，分别求和即可求得结果.
【详解】当
为偶数时，
，又
，
的偶数项是以为首项，
为公差的等差数列；
当
为奇数时，
，又
，
的奇数项是以
为首项，
为公比的等比数列；
.
故选：B.
【变式02】（2024·全国·模拟预测）在等比数列
中，
，若
，且
的前
项和为
，则满足
的最小正整数
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前
项和及数列的单调性即可求解.
【详解】由
可得
，
故
，设
的公比为
，则
，即
，
故
，
则
．
由于
时，
，
故
随着
的增大而增大，而
，
，
故满足
的最小正整数
的值为6．
故选：B.
【变式03】（24-25 高三上·天津和平·月考）设数列
满足
，
，
，令
，则数列
的前100 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，求出数列
的通项公式，进而求出
，再利用分组求和法求解即得.
【详解】数列
满足
，
，
，
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，即
，
数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，即
，
因此
，显然
的周期为4，
则
，
令
，则有
，
因为
，
所以数列
是等差数列，
所以数列
的前100 项和，即数列
的前25 项和为
.
故选：B.
题型三 连续两项和 / 积型奇偶项问题
方法点拨：①隔项递推：由an+2±an=常数（或规律项），判断奇数项、偶数项分别为等差 / 等比数
列。②分组求和：相邻两项为一组（如(a1+a2)+(a3+a4)+⋯），利用 f (n) 的规律求和。③通项求解：
分别求出奇数项、偶数项通项，统一表达式（若可统一）。
【典例01】（24-25 高三·河南焦作·期末）已知数列
满足
，则
的前100 项和为
（ ）
A．2475
B．2500
C．2525
D．5050
【答案】A
【分析】由题可得
，令
，将问题转化求
，由等差数列的求和公式计算可得.
【详解】由
，可得
，
，
所以
，
令
，所以数列
是首项为，公差为的等差数列，
所以
，
由于
，
所以
的前100 项和为2475，
故选：A
【典例02】（25-26 高三上·重庆·期中）(多选)已知数列
的前
项和为
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】合理赋值即可判断A，根据
，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断
C，求出
，再代入求解一元二次不等式即可.
【详解】对A，赋值得
，所以A 正确；
对B，又由
，
，相加得
，所以B 正确；
对C，
，
，
则
，所以C 错误；
对D，所以
，
结合
，解得
，所以D 正确.
故选：ABD．
【变式01】（25-26 高三上·福建厦门·期中）已知数列
满足
，数列
满足
，
其中
，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．2025
B．2023
C．
D．0
【答案】A
【分析】由
的规律，从而得到
的规律，则数列
四项之和为
，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
，
，
，
，
所以
，
所以
，
，
，
，
，
，
，所以数列
四项之和为
，
故数列
的前
项和为
.
故选：A
【变式02】（2025·湖北黄冈·三模）(多选)已知数列
的前
项和为
，
.则下列
式子的值可以确定的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】推导出
，
，其中
，
的值不确定，然后利用分组求
和法可判断AB 选项；利用并项求和法可判断CD 选项.
【详解】由题意得，
，即
，
，
所以
，
，
，
，
可得
，
，
由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，
其中
，
的值不确定.
对于A 选项，
，
其中
的值不确定，故选项A 错误；
对于B 选项，
，
每一组数都可以确定，故选项B 正确；
对于D 选项，
，
每一组数都可以确定，故选项D 正确；
对于C 选项，因为
，故
，
因为
，每一组数都可以确定，
则
为定值，故选项C 正确.
故选：BCD.
【变式03】（2025·河北·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
，
则以下说法正确的是（ ）
A．
是等比数列
B．
是等比数列
C．
D．
【答案】AB
【分析】设
，求出
，可构造等比数列
、
，进而求出
数列
的通项，再利用分组求和求
.
【详解】设
，则
，
则
，解得
或
，
当
时，
，
因
，所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
①，故A 正确；
当
时，
，
因
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
②，故B 正确；
①②两式作差得，
，故C 错误；
数列
的前
项和为
，
数列
的前
项和为
，
则
，故D 错误．
故选：AB．
题型四 插入项构造新数列问题
方法点拨：确定新数列构成：插入 n 项后，相邻原数列项与插入项共 n+2 项，利用等差 / 等比通
项公式求插入项的公差或公比。 项数计算：统计原数列项数与插入项总数，确定目标项在新数列中的位
置。 分组求和：分原数列项和插入项分别求和，再合并结果
【典例01】（2025·山东日照·二模）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
，
之间插入
个2（
），使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n 的最小值为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
【答案】B
【分析】根据已知列举出
的项，再根据数列构成求
、
，即可得.
【详解】由题设，数列
各项依次为
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
成立的n 的最小值为21.
故选：B.
【典例02】（2025·天津·一模）已知数列
和
的通项公式分别为
，在
与
之间插
入数列
的前m 项，构成新数列
，即
，…．记数列
的
前n 项和为
，则
（ ）
A．30
B．4944
C．9876
D．14748
【答案】B
【分析】由题意可得数列
的前
项和
，数列
的前
项和
，用
，可求解.q
【详解】因为数列
的通项公式为
，所以数列
为等差数列，
所以数列
的前
项和为
，
数列
的通项公式为
，所以数列
为等比数列，
所以数列
的前
项和为
，
所以
，
，
当
时，
.
故选：B.
【变式01】（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
之间插
入
个
，使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n 的最小值为（ ）
A．35
B．36
C．37
D．38
【答案】A
【分析】利用列举法分析数列
，由此求得正确答案.
【详解】由题可知，数列
各项依次为：
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
成立的
的最小值为35.
故选：A.
【变式02】（25-26 高三上·辽宁大连·月考）设数列
满足
（
），
，
.在
数列
的任意
与
项之间，都插入
（
）个相同的数
，组成数列
，记数列
的
前
项的和为
，求
.
【答案】84
【分析】由条件证明数列
为等比数列，利用累加法求数列
的通项公式，数列
中在
之前
共有
项，由此确定前
项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.
【详解】因为
，所以
，
又
，
，所以数列
为首项为1，公比为2 的等比数列，
所以
，所以当
时，
，
，
，
，
所以
，
所以当
时，
，又
也满足该关系，
所以数列
的通项公式为
；
数列
中在
之前共有
项，
当
时，
，当
时，
，
所以
.
故答案为：84
【变式03】（25-26 高三上·天津滨海新·期中）已知数列
是等差数列，
是公比不为1 的等比数列，
，
，且
是
与
的等差中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
；
(3)若对于数列
，在
和
之间插入
个
组成一个新的数列
，记数列
的前
项
和为
，求
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出；
（2）求出
，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和；
（3）依据规律找出
的项数和
的个数即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
由
，则
，故
，
所以
，
则
，由
，则
，
又由
是
与
的等差中项，所以
，则
，即
，
解得
或
（舍去），
故
；
（2）由（1）可得，
，
，
令
，
，
两式相减得，
，
，
则
，
因
，
则
则
；
（3）根据题意可得，
，
之前共有
个
，
与
之间共有
个
，
所以
共有7 项，共有
个2，
则
.
题型五 含(-1)
n的奇偶项并项求和问题
方法点拨：并项求和：n 为偶数时，相邻两项合并（如(-a1+a2)+(-a3+a4)+⋯）；n 为奇数时，
先求前 n-1 项和（偶数项）再加第 n 项。裂项辅助：若含分式，先裂项再并项（如
(-1)
n(
1
2n-1 +
1
2n+1 )），简化计算。分类表达：最终和式按 n 的奇偶性分类书写，避免统一表达式复
杂
【典例01】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
满足
，某同学将其前20 项中某一项正
负号写错，得其前20 项和为82，则写错之前这个数为（ ）
A．64
B．
C．100
D．
【答案】A
【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案．
【详解】
，则其前20 项和为
．
设写错项为
，则
，解得
，
故写错之前这个数为
．
故选：A．
【典例02】（25-26 高三上·重庆·期中）(多选)已知数列
的前
项和为
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】合理赋值即可判断A，根据
，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断
C，求出
，再代入求解一元二次不等式即可.
【详解】对A，赋值得
，所以A 正确；
对B，又由
，
，相加得
，所以B 正确；
对C，
，
，
则
，所以C 错误；
对D，所以
，
结合
，解得
，所以D 正确.
故选：ABD．
【变式01】（2025·天津武清·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，其前n 项和为
，则数
列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解.
【详解】数列
的通项公式为
，其前n 项和为
，
所以
，
则数列
的前2025 项和为
.
故选：D.
【变式02】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．505
D．1013
【答案】D
【分析】根据
成等比数列，结合等差数列的通项公式可得
，进而得到
，
，进而求和即可.
【详解】设首项为
，因为
成等比数列，
所以
，则
，
解得
或
，当
时，
，此时与
成等比数列矛盾，故排除，
当
时，
，此时令
，
而其前2025 项和为
，
.
故选：D
【变式03】（2025 高三上·湖北孝感·专题练习）数列
满足：
，
，
．
(1)求数列
的通项公式.
(2)数列
满足：
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由题意可得
，可求通项公式；
（2）利用分组求和法可求数列
的前
项和
．
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，
故数列
是以3 为首项，公比是的等比数列；
所以
，
；
（2）由（1）得
，
则
．
（限时训练：15 分钟）
1． （25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列
共有
项，奇数项之和为
，偶数项之和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】等差数列
共
项，其中奇数项有
项，偶数项有
项，
奇数项和为
①，
偶数项和为
②．
因为
，所以①÷②，得
，则
．
故选：A．
2． （2025 高三·全国·专题练习）一个等差数列共有
项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，
则此数列第
项为（ ）
A．31
B．30
C．29
D．28
【答案】C
【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：
，两式相减即可求解.
【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：
，
所以
.
故选：C.
3．（24-25 高三下·河北张家口·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且
，
，则
的值为（ ）
A．360
B．480
C．960
D．1280
【答案】D
【分析】根据给定的递推公式可得
，再求出数列
的前40 项中的奇数项的和及偶数项的和
即可.
【详解】当n 为奇数，
，
，
当n 为偶数，
，
，
因此
，
的奇数项是以3 为首项，3 为公差的等差数列；
的偶数项是以
为首项，3 为公差的等差数列，
所以
.
故选：D
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知
是首项为2，公比为2 的等比数列，记
，其
中
，记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．9143
B．9145
C．10009
D．10154
【答案】D
【分析】由题意得
，结合题意可得
，当
时，
，利用等差数列的前
项
和公式求出这10 项和，当
时，
，这些项的和为
，利用
分组求和法及等差数列、等比数列的前
项和公式求解，再加上
时的10 项和即可求解.
【详解】由题意得
，
，
，
，
所以
，
当
时，
，
共10 项，这10 项的和为
,
其余项有
项，
当
时，
，
这些项的和为
，
所以
.
故选：
.
5. （2025·江西·三模）已知数列
的前
项和为
，数列
的前
项积为
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据递推关系即可判断A 选项；再利用迭代法可求数列
的通项公式判断B 选项；利用分组求
和判断C 选项；利用等差数列求和公式判断D 选项.
【详解】因为
，所以
，解得
，故A 错误；当
时，
，
则
，且
也符合
，故B 正确；
，故C 正确；
，则
，故D 正确.
故选：BCD
6. （2025·山东日照·二模）已知数列
的通项公式
，在每相邻两项
，
之间插入
个2（
），使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记数列
的前n 项和为
，则
成立的n
的最小值为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
【答案】B
【分析】根据已知列举出
的项，再根据数列构成求
、
，即可得.
【详解】由题设，数列
各项依次为
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
成立的n 的最小值为21.
故选：B.
7.24-25 高三上·黑龙江牡丹江·期中）(多选)数列
满足
，
，则下列结论
正确的是（ ）
A．若
，则
前n 项和为
B．
C．数列
的前n 项和为
D．数列
最大项为第10 项
【答案】ACD
【分析】由
，可得
是首项为1 公差为2 的等差数列，求等比数列前n 项和判断A
选项；由等差数列的性质判断B 选项；并项求和法判断C 选项；列不等式求数列最大项判断D 选项.
【详解】由
，可得
，又
，
所以
是首项为1 公差为2 的等差数列，
，
对于A，
，
则
前n 项和为
，
A 选项正确；
对于B，由等差数列性质可得
，
B 选项错误；
对于C，
，数列
的前n 项和为
，
为奇数时，
；
为偶数时，
，
所以数列
的前n 项和为
，C 选项正确；
对于D，设
，则
，
，
当
时，即
，解得
，
由
，则有
，即数列
最大项为第10 项，D 选项正确.
故选：ACD.
8. （2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)12182
【分析】（1）构造数列
为等比数列，通过等比数列通项公式即可求
的通项公式；
（2）易知
是常数列，即可求
的通项公式；
（3）根据新数列
的形成规则，判断其前100 项中数列
，
分别有多少项，再分组求和可求
.
【详解】（1）由
可得
，又
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
.
（2）方法一：由已知得
，所以
，
所以
，又
，
等式两边同时相乘，可得
，
得
，该式对
也成立.
故
.
方法二：由
可知
是常数列，
所以
，
即
.
（3）设在
的前100 项中，来自
的有
项.
若第100 项来自
，则应有
，
整理可得
，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100 项来自
，则应有
，整理可得
.
易知
在
时单调递增，
当
时，
，不满足题意，当
时，
，满足题意，
故
，所以
的前100 项中有10 项来自
，有90 项来自
，
所以
.
