6.1 等差数列（练习）
目录
1
题型一、等差数列的首项、公差、通项公式.........................................2
2
题型二、等差中项.....................................................................................6
3
题型三、等差数列的前n项和sn..............................................................12
1 题型一、等差数列的首项、公差、通项公式
1．已知等差数列{an}中，a1= 4，a5=12，则a6等于（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】B
【分析】求出等差数列{an}的公差，即可求得a6的值.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，则d = a5-a1
4
= 12- 4
4
=2，
故a6=a1+5d = 4 +5×2=14.
故选：B.
2．已知公差为d的等差数列{an}满足：a5-2a3=1，且a2=0，则d =（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.
【详解】∵a5-2a3=a1+ 4 d -2(a1+2d)=-a1=1，∴a1=-1，
∴d =a2-a1=0-(-1)=1.
故选：C.
3．等差数列{an}中，若a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=21，则其公差等于（ ）
A．2
B．3
C．6
D．18
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式计算即可求解.
【详解】由题意知，设等差数列{an}的公差为d，
a1+a2+a3=3a1+3d =3,a4+a5+a6=3a1+12d =21，
两式相减，得9d =18，所以d =2.
故选：A
4．在等差数列{an}中，a4+a8=24 ,a7=15，则a4=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质计算即可.
【详解】设等差数列的公差为d，因为a4+a8=2a6=24，所以a6=12，又
a7=15，
所以公差d =3,a4=a6-2d =6．
故选：C
5．在等差数列{an}中，若a4+a6=10,a7=9，则公差d =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式和性质可得答案.
【详解】因为a4+a6=10，所以a5=5，
所以d = a7-a5
7-5 =2.
故选：B.
6．在等差数列{an}中，a4+a8=20,a7=12，则a10=（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差d，进而求出a10.
【详解】在等差数列{an}中，2a6=a4+a8=20，则a6=10，公差d =a7-a6=2，
所以a10=a7+3d =18.
故选：D
7．已知在等差数列{an}中，a2+a10=16，a5= 4，则a1+a7=（ ）
A．0
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质得到公差，从而得到答案.
【详解】在等差数列{an}中，2a6=a2+a10=16，得a6=8，
故公差d =a6-a5= 4，
所以a1+a7=2a4=2(a5-d)=0.
故选：A.
8．等差数列{an}中，a1=-1,a4=8，则{an}的公差d =（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
【答案】A
【分析】直接根据等差数列的公差计算公式即可求解．
【详解】由a1=-1,a4=8得，d = a4-a1
4 -1 = 9
3 =3，
故选：A．
二、填空题
9．在等差数列{an}中，若a1=2,a3=6，则a2+a6= .
【答案】16
【分析】根据题意，列式求出公差d，求得通项公式an，得解.
【详解】由a1=2，则a3=a1+2d =2+2d =6，解得d =2，
∴an=2n，则a2= 4 ,a6=12，
∴a2+a6=16.
故答案为：16.
10．已知{an}是等差数列，且a2=1, a1+a5=8，则{an}的通项公式an=
.
【答案】3n-5
【分析】设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的基本量运算求出d，
代入通项即可.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
由a1+a5=a2-d +a2+3d =2a2+2d =8，
因a2=1,代入解得d =3，
故an=a2+(n-2)d =1+3(n-2)=3n-5.
故答案为：3n-5.
11．在等差数列{an}中，若a3+a9=10，则a2+a5+a11= .
【答案】15
【分析】利用等差数列的通项公式的基本运算求解.
【详解】在等差数列{an}中，因为a3+a9=10，
所以2a6=a3+a9=10，解得a6=5，
所以a2+a5+a11=3(a1+5d)=3a6=15，
故答案为：15
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15= 45，则2a12-a16= .
【答案】3
【分析】设公差为d，由S15= 45得出a8，再由2a12-a16=a8可得答案.
【详解】设公差为d，
因为S15= a1+a15
2
×15=a8×15= 45，所以a8=3，
所以2a12-a16=2(a1+11d)-a1-15d =a1+7d
=a8=3.
故答案为：3.
13．已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a4=24，则1
2 a2+a3= ．
【答案】12
【分析】根据等差数列的通项公式计算.
【详解】设数列{an}的公差为d，
则a1+a3+a4=3a1+5d =24，1
2 a2+a3= 3
2 a1+ 5
2 d = 1
2 (3a1+5d)=12.
故答案为：12.
14．在等差数列{an}中，已知a5=11,a1+a2+a3=15，则an= .
【答案】2n+1,(n∈N
*)
【分析】应用等差数列通项公式基本量运算求出a1,d，即可求出通项.
【详解】在等差数列{an}中，因为a5=11,a1+a2+a3=15，
所以a1+ 4 d =11,3a1+3d =15，所以a1=3,d =2
则an=3+(n-1)×2=2n+1.
故答案为：2n+1,(n∈N
*)
15．在等差数列{an}中，a2=3，a1+a3+a5=12，则{an}的公差为 .
【答案】1
【分析】根据等差数列的性质求解.
【详解】因为{an}为等差数列，所以a1+a5=2a3，
由a1+a3+a5=12，得3a3=12，所以a3= 4，
又a2=3，所以{an}的公差为a3-a2= 4 -3=1.
故答案为：1.
2 题型二、等差中项
1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且
a+3b+c =10，则a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．-3
D．- 4
【答案】D
【分析】根据等差中项、等比中项及题意列出方程，求解即可.
【详解】因为a,b,c成等差数列，
所以2b=a+c,
因为a是b,c的等比中项，
所以a
2=bc,
又因为a+3b+c =10,
联立¿,
解得a=- 4 ,b=2,c =8,
故选：D.
2．若a，b是方程x
2-2 x -3=0的两根，则a，b的等差中项为（ ）
A．-1
B．- 3
2
C．1
D．3
2
【答案】C
【分析】应用韦达定理及等差中项计算即可.
【详解】因为a+b=--2
1 =2,
所以a,b的等差中项为a+b
2
=1.
故选：C.
3．若三角形的三个内角成等差数列，则第二大的角度数为
A．30度
B．45度
C．60度
D．75度
【答案】C
【分析】设三个角依次为A、B、C且A <B<C，利用等差中项和三角形的
内角和定理可得出B的大小．
【详解】设三个角依次为A、B、C且A <B<C，则有¿，解得B =60
∘，
因此，第二大角的度数为60度，故选C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及等差中项的性质，意在考查学生
对这些基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题．
4．在等差数列{an}中，若a2=5，a10=21，则a6等于（ ）
A．13
B．15
C．17
D．48
【答案】A
【分析】直接利用等差中项公式求解即可．
【详解】解： 等差数列{an}中，
若a2=5，a10=21，则a6= a2+a10
2
= 5+21
2
=13．
故选：A ．
【点睛】本题考查等差中项公式的应用；基础题.
5．已知数列{an}是等差数列，且a3+a7=10，则a5=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】利用等差中项求解.
【详解】因为数列{an}是等差数列，且a3+a7=10，
所以a5= a3+a7
2
=5，
故选：D
6．在等差数列{an}中，a2=7 ,a6=21，则a4=（ ）
A．14
B．16
C．18
D．28
【答案】A
【分析】利用等差数列等差中项求解即可.
【详解】因为等差数列{an}中，a2=7 ,a6=21，
a4= a2+a6
2
=14，
故选：A.
7．在等差数列{an}中，a2+a12= 40，则a5-a6+a7-a8+a9的值为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．80
【答案】A
【分析】根据等差数列性质计算即可.
【详解】在等差数列{an}中，因为a2+a12=a5+a9=a6+a8=2a7= 40，
所以a7=20，
所以a5-a6+a7-a8+a9=(a5+a9)-(a6+a8)+a7=a7=20.
故选：A
二、填空题
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S4=26，则a4+a5+a6等于
.
【答案】42
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据已知条件求出d的值，可计算出a5
的值，再利用等差中项的性质可求得a4+a5+a6的值.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，则S4= 4 a1+ 4×3d
2
=8+6d =26，解得
d =3，
所以，a5=a1+ 4 d =2+ 4×3=14，
由等差中项的性质可得a4+a5+a6=3a5= 42.
故答案为：42.
9．在等差数列{an}中，已知a3,a7为方程2 x
2-3 x -9=0的两根，则a5=
【答案】3
4
【分析】由韦达定理可得a3+a7= 3
2，再利用等差中项的性质求解.
【详解】因为a3,a7为方程2 x
2-3 x -9=0的两根，
所以a3+a7= 3
2，而a3+a7=2a5= 3
2，解得：a5= 3
4.
故答案为：3
4.
10．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=15，那么a3= .
【答案】3
【分析】根据等差中项的性质可推得5a3=15，即可得出答案.
【详解】根据等差数列的性质可知，a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15，所以a3=3.
故答案为：3.
11．在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5=120，则2a6-a9= .
【答案】24
【分析】
由等差中项的性质即可求解.
【详解】因为在等差数列{an}中，有a1+a5=a2+a4=2a3，所以由
a1+a2+a3+a4+a5=120，
得5a3=120，a3=24，又a3+a9=2a6，所以2a6-a9=a3=24.
故答案为：24
12．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=30，则a2+a8= ．
【答案】12
【分析】由等差数列的等差中项求出a5，再利用等差中项即可得到答案.
【详解】由等差中项可知a3+a7=a4+a6=2a5，∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=30，
∴a5=6，
则a2+a8=2a5=12，
故答案为：12.
13．已知{an}为等差数列，a2+a4+a5=a3+a6，a10=10，则a6= .
【答案】5
【分析】由等差数列的性质am=an+(m-n)d ,(m,n∈N
*)及等差中项的性质
即可求解.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
因为a2+a4+a5=a2+(a3+d )+(a6-d)=a3+a6，所以a2=0，
由等差中项的性质可知，2a6=a2+a10，所以a6=5.
故答案为：5
三、解答题
14．若{an}是等差数列，且a2+a6+a10=1，求a3+a9.
【答案】2
3
【分析】利用等差数列的性质或基本量之间的关系求解即可.
【详解】方法1：根据等差数列的性质，知a2+a10=a3+a9=2a6.
由a2+a6+a10=1，得3a6=1，解得a6= 1
3，
所以a3+a9=2a6= 2
3.
方法2：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
根据等差数列的通项公式，得
a2+a6+a10=(a1+d )+(a1+5d )+(a1+9d)=3a1+15d.
由a2+a6+a10=1，得3a6=1，解得a6= 1
3，
由题意，知3a1+15d =1，即a1+5d = 1
3，所以a3+a9=2(a1+10d)= 2
3.
15．已知等差数列{an}的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，求通项an.
【答案】an=2n-3
【分析】由等差中项公式及等差数列的定义，可求得等差数列{an}的首项与
公差，从而即可求解通项公式an.
【详解】解：由题意，公差d =(a+1)-(a-1)=2，且
2(a+1)=(a-1)+(2a+3)，解得a=0，
所以等差数列{an}的首项为-1，
所以an=-1+(n-1)×2=2n-3.
16．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4,S2,S3成等差数列，且
a2+a3+a4=-18．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n 项和Sn．
【答案】(1)an=3⋅(-2)
n-1
(2)Sn=1-(-2)
n
【分析】（1）由条件转化为首项和公比的方程，即求解；
（2）根据（1）的结果，以及等比数列的前n项和公式，即可求解.
【详解】（1）设数列{an}的首项为a1，公比为q，
由条件可知，2S2= S3+ S4，即2(a1+a2)=a1+a2+a3+a1+a2+a3+a4，
所以2a3+a4=0，得a4
a3
=q =-2，
又因为a2+a3+a4=a1(q+q
2+q
3)=-18，得a1=3，
所以an=a1q
n-1=3⋅(-2)
n-1；
（2）由（1）可知，a1=3，q =-2，
所以Sn= a1(1-q
n)
1-q
= 3[1-(-2)
n]
1+2
=1-(-2)
n.
17．已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=18，a5+a7=-6．求{an}的通项公式；
【答案】an=-3n+15
【分析】
根据等差数列的性质得到公差d =-3，从而求出通项公式.
【详解】等差数列{an}中，
a1+a3+a5=3a3=18，解得：a3=6，
a5+a7=2a6=-6，解得：a6=-3，
故公差d = a6-a3
6-3 =-3-6
3
=-3，
故通项公式an=a3+(n-3)d =6-3(n-3)=-3n+15.
3 题型三、等差数列的前n项和sn
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=2，S8=10，则a6=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．1
D．2
【答案】B
【分析】利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质，由a1+a8=a3+a6代
入前8 项和公式中，从而求出a6的值．
【详解】由已知S8= 8(a1+a8)
2
= 8(a3+a6)
2
= 8(2+a6)
2
=10，得a6= 1
2，
故选：B.
2．记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若4 S3=3 S2+ S4，a5=5，则a10=（ ）
A．3
B．7
C．11
D．15
【答案】D
【分析】由题干条件得到方程组，求出首项和公差，求出a10=20-5=15.
【详解】由4 S3=3 S2+ S4得：2a1+3d =0，
由a5=5得：a1+ 4 d =5
联立两式可得：a1=-3,d =2，
所以an=-3+2(n-1)=2n-5，
所以a10=20-5=15
故选：D
3．等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a3= 4 ,S9=18，则公差d =( )
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式和前n 项和公式列出关于a1和d 的方程组
求解即可．
【详解】由题可知¿．
故选：B．
4．已知等差数列 {an}中，a1=2，S3=9， 则该数列的公差为（ ）
A．-2
B．1
C．-2或 1
D．1
2
【答案】B
【分析】由等差数列前n和公式求解．
【详解】设公差为d，
∵等差数列{an}中，a1=2，S3=9
∴3×2+ 3×2
2
×d =9，d =1．
故选：B .
5．设Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知a3=3，S8= 48，则a5=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】结合已知及等差数列的通项公式及求和公式，可求解公差d，从而
求得通项公式，代入n=5则可得出答案.
【详解】由已知可得，¿ ，解可得¿，
∴an=-1+(n-1)×2=2n-3
∴a5=2×5-3=7
故选：C.
6．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=9，a1=2，则a5=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】根据等差数列S3=9，a1=2，可得d，进而可得a5.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，由S3=9，得3a1+3d =9，即a1+d =3，
又a1=2，所以d =1，故a5=2+ 4 =6，
故选：D.
7．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3=15,a7=35，则S9=（ ）
A．450
B．400
C．350
D．225
【答案】D
【分析】运用等差数列的通项公式与前n 项和公式运算即可.
【详解】由¿解得a1=d =5，
所以S9=9a1+ 9×8
2
×d =225.
故选:D.
8．记Sn为等差数列{an}的前n 项和，公差为d，若a2=6,S5=50，则d =
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】根据等差数列前n项和和通项中的基本量计算列方程即可求解.
【详解】由a2=6,S5=50得¿
故选：C
9．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=2，且S3= S19，则S21=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】方法一：∵S3= S19∴S19- S3=a4+a5+⋯+a19=8(a4+a19)=0
∴a4+a19=0
∴S21=a1+a2+a3+(a4+a5+⋯a19)+a20+a21
=a1+a2+a3+a20+a21=a1+2(a4+a19)=a1=2，
方法二：由于Sn= A n
2+ Bn是二次函数f ( x)= A x
2+ Bx,当x =n时的函数值
Sn= f (n)，根据二次函数的对称性，由S3= S19可知，Sn的关于n=11对称，因此
S21= S1=a1=2，
故选:B
二、填空题
10．已知等差数列{an}的前7 项和S7=14，a3=1，则a5=
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式及性质计算即得.
【详解】在等差数列{an}中，S7= 7(a1+a7)
2
=7a4=14，解得a4=2，又a3=1，
又a3+a5=2a4，所以a5=2a4-a3=2×2-1=3.
故答案为：3
11．已知{an}为等差数列，Sn为其前n 项和．若a1=6，a2+a6=0，则S8=
．
【答案】-8
【分析】求得等差数列{an}的公差，进而求得S8.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
则a2+a6=2a1+6d =12+6d =0,d =-2，
所以S8=8a1+28d = 48-56=-8.
故答案为：-8
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=6，S20=20，则a1= .
【答案】22
3
【分析】设等差数列{an}的公差为d，依题意得到方程组，求出a1、d即可.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为a3=6，S20=20
所以¿，解得¿，
所以a1= 22
3 ,
故答案为：22
3 .
13．记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若6 S5=5 S6-15，则公差d = ．
【答案】1
【分析】根据等差数列的前n 项和公式求解.
【详解】∵6 S5=5 S6-15，
∴6×(5a1+ 5×4
2
d)=5×(6a1+ 6×5
2
d)-15，
∴30×(a1+2d )=15×(2a1+5d )-15，
∴2a1+ 4 d =2a1+5d -1，
∴d =1.
故答案为：1.
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S19=38，则a10= ．
【答案】2
【分析】根据等差数列的求和公式，以及等差数列下标之和的性质，可直
接求出结果.
【详解】因为S19= 19(a1+a19)
2
=19a10=38，所以a10=2.
故答案为：2.
15．等差数列{an}中，若a1=-12,S25=0，则公差d = ．
【答案】1
【分析】根据等差数列求和公式即可代入求解.
【详解】由S25=25a1+ 25×24
2
d =0，解得d =1，
故答案为：1
16．等差数列{an}的前n 项和为Sn，a2= 4 ,S11=110，则a4= .
【答案】7
【分析】由题意，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列出关于a1和
d方程组，求解即可.
【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a2= 4 ,S11=110，可得¿，
解得¿，
所以a4=a1+3d = 5
2 +3× 3
2 =7.
故答案为：7
三、解答题
17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求公差d及{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值.
【答案】（1）d =2，an=2n-9；（2）Sn=(n- 4)
2-16，最小值为-16.
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d =-15，再由a1=-7可得
d =2，从而可求出{an}的通项公式；
（2）由（1）得Sn=n
2-8n=(n- 4)
2-16，从而可求出其最小值
【详解】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d =-15.
由a1=-7得d =2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
（2）由（1）得Sn=n
2-8n=(n- 4)
2-16.
所以n= 4时，Sn取得最小值，最小值为-16
18．在等差数列{an}中：
(1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10；
(2)已知a1= 4，S8=172，求a8和d.
【答案】(1)a8=16，S10=85
(2)a8=39，d =5
【分析】（1）利用等差数列通项公式与求和公式列出方程组，解出首项和
公差，进而求解出a8和S10；（2）先用等差数列求和公式和首先的值，求出a8，
再利用通项公式求公差d
【详解】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d
则¿
解得a1=-5，d =3.
∴a8=a6+2d =10+2×3=16，S10=10a1+ 10×9
2
d =10×(-5)+5×9×3=85
（2）由已知得S8= 8(a1+a8)
2
= 8(4 +a8)
2
=172
解得a8=39，
又∵a8= 4+(8-1)d =39，
∴d =5.
∴a8=39，d =5.
19．等差数列{an}的公差为d，数列{an}的前n 项和为Sn.
(1)已知a1=1，an=-512，Sn=-1022，求d；
(2)已知S5=24，求a2+a4.
【答案】(1)d =-171
(2)48
5 .
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式即可求出公差d；
（2）由S5=24有a1+2d = 24
5 ，则a2+a4=2(a1+2d)即可得解.
【详解】（1）因为Sn= n
2 (a1+an)= n
2 ×(1-512)=-1022，所以n= 4，
又因为an=a4=a1+3d =1+3d =-512，所以d =-171.
（2）由S5=5a1+ 5×4
2
d =24，即a1+2d = 24
5 ，
所以a2+a4=a1+d +a1+3d =2a1+ 4 d = 48
5 .
20．设数列{an}为等差数列，其公差为d，前n 项和为Sn．
(1)已知a2=21，a7=76，求a1及d；
(2)已知a6=10，S5=5，求S8．
【答案】(1)a1=10,d =11.
(2)S8= 44.
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.
【详解】（1）a2=a1+d =21, a7=a1+6d =76,解得：d =11,a1=10,
（2）a6=a1+5d =10, S5=5×a1+ 5×4
2
×d =5,解得：d =3, a1=-5,
S8=8×a1+ 8×7
2
d = 44.
