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2026 年高考考前平稳发挥练手卷
数学（全国Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，则 .
2．设复数z满足 ，则复数z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意， ，
所以复数z的虚部是 .
3．样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ）
A． B．11 C． D．
【答案】B
【分析】先从小到大把一组数据排序，再根据第 百分位数的位置计算方法运算即可.
【详解】原数据按从小到大顺序排序为 ；由第 百分位数的位置计算公式为 .
样本容量 ，得 .
根据百分位数定义，当位置 不是整数时，向上取整得到的数即为对应百分位数的位置.
因为 不是整数，向上取整得 ，即取排序后第 项，排序后第 项数据为 .
因此该组数据的第 百分位数为 .
4．已知数列 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】应用等差数列下标和性质结合等差数列求和公式计算求解.
【详解】数列 是等差数列，且 ， ，
所以 ，
则 .
5．为了得到函数 的图象，只需把函数 图象上的（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
【答案】B
【详解】对函数 做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标保持不变，
得到新函数 的图象，
根据平移变换的“左加右减”规则，将 变形为目标函数： ，
可知需要将 的图象向右平移 个单位，即可得到目标函数的图象，B选项正确.
6．已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数为偶函数，在 上递增求解即可.
【详解】因为 ，所以 为定义在 上的偶函数，
因为 ，当 时，即 时，解得 ，
所以 在 上递增， ，
由 ， ，故 .
7．已知圆锥 的底面半径为2，其体积为 ，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积
公式求解．
【详解】已知圆锥底面半径 ，体积为 ，设圆锥的高为 ，则
，解得 ，
设圆锥母线长为 ，则 ，
设圆锥内切球半径为 ，则截面图如下：则 ， ， ，
，即 ，
，
该内切球的表面积为 ．
8．已知 分别是双曲线 的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点， ,
，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定义及余弦定理得 ，则 ，从而得到方程
，解出离心率即可.
【详解】如图，设 ， 是双曲线左支上的两点，
令 ，由双曲线的定义可得 ．
在 中，由余弦定理得 ，整理得 ，解得 或 （舍去）．
，根据双曲线定义可得 ，
∴ ，则 ,
∴ 为直角三角形，且 ．
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ．即该双曲线的离心率为 ．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ， ， 为实数，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】ACD
【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对
进行变形，然后利用基本不等式判断D.
【详解】选项A：已知 ，则 ，则 ，所以选项A正确；
选项B： 当 时，满足 ， ，
此时 ，显然 ，所以选项B错误；
选项C： ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ， ，选项C正确;
选项D: 已知 ， ，将 变形为： ,
根据基本不等式，因为 ，所以 ，
则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）；
所以 ，即 ，所以选项D正确.
10．如图，在等边三角形ABC中， ，点 是靠近 的三等分点，过 的直线分别交射线AB，AC于不同的
两点M，N， ，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 的最小值是
【答案】ACD
【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判
断即可.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，由A选项知 ，则
，
在 中，利用余弦定理得
，故B错误；
对于C，因为点 三点共线，所以存在实数 使得 ，
因为 ，由A知 ，
所以 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D，由C可知 ，结合题意可知 ，
所以
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 取最小值为 ，故D正确.
11．设 是定义在 上的偶函数，且当 时，函数 ，则（ ）
A． B．当 时，
C． 恰有 个零点 D．当 时，
【答案】AC
【分析】求导，可判断A的真假，分析函数 在 上的单调性，确定函数的零点，再结合函数的奇偶性，
可判断C的真假；利用偶函数的定义，求函数 在 上的解析式，可判断B的真假；利用函数在 上
的单调性可判断D的真假.【详解】当 时， ，
所以 .
所以 ，故A正确；
由 可得 ；由 可得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，所以函数 在 上只有 一个零点.
根据 是定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称，可作出函数草图如下：
由图可知，函数 有 和 两个零点，故C正确；
设 ，则 ，
因为函数 为偶函数，所以 ，故B错误；
当 时， ，所以 ，
因为函数 在 上单调递减，所以 ，故D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在直三棱柱 中，已知 ， ，则点C到平面 的距离为______．
【答案】
【详解】取 中点 ，连接 ，已知 ，则 是等腰三角形，，
，
，
设 到 的距离为h，
由直三棱柱的性质可知平面 平面 ，
即为点C到平面 的距离，
，解得 ．
13．已知 ， ，则 ______.
【答案】 /
【分析】本题中的角 可以看成 ，而所求角 可以看成 ．令 ， ，则已知
条件变为 ， ，所求为 ．利用两角和与差的余弦公式，并把 化为
，即可求出结果．
【详解】令 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 与 均有意义，从而 ， ．
由两角和的余弦公式，得 ．
又因为 ， ，所以 ．
因此 ．
把 代入，得 ．又因为 ，所以 ，解得 ．
由两角差的余弦公式，得 ．
同理， ，所以 ．
于是 ．
14．已知圆 ： ，过点 作斜率为 的直线 与圆 交于 ， 两点，若 的面积为2，则
________．
【答案】1
【分析】首先写出直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解.
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
过点 斜率为 的直线 方程为： ，即 .
由点到直线距离公式得： ，
由垂径定理，弦长 ， 的面积 代入得：
，两边平方整理得： ，即 ，
将 代入 得： ，因 ，故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等比数列，求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式；
（2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果
相加即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项和公比均为 的等比数列.
所以 ，所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ，所以 .
所以
.
设 ，
则 ，
，，
，
所以 .
16．如图，在斜三棱柱 中， ，侧面 为矩形， 在底面 内的射影为 .
(1)求证： ；
(2)若 ， 与底面 所成角的余弦值为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由射影得直线垂直于平面，再结合三角形性质和线面垂直判定定理证明.
（2）建立空间直角坐标系，求相关向量与法向量，利用向量夹角公式求平面夹角余弦值.
【详解】（1）因为 在底面 内的射影为 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，
在斜三棱柱 中，
， ，
又因为侧面 为矩形，所以 ，因此 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，结合 ，得 ．
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，以 为原点， 所在直线为 轴， 平行于 轴， 所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
已知 ，设 ，则 ， ，
又因为 与底面 所成角的余弦值为 ，
所以 ， ，
则 ， ， ， ，
在平面 中， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
令 ，解得 ，
在平面 中， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
令 ，解得 ，
又因为两个平面的夹角范围为 ，所以 ．
17．某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛
甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 .
(1)求甲最终赢得比赛的概率；
(2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率；
(3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选
手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例
如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记 为比赛的总局数，求 的分
布列及数学期望 .并简要分析此“赛点”效应使得 相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析， ，“赛点”效应使得 相比于不考虑“赛点”效应时是增大.
【分析】设 表示第 局甲赢， 表示比赛进行了两局， 表示比赛进行了三局， 表示最终甲赢得比赛.
（1）由题设可得D=A A +A A A +A A A ，据此可得答案；
1 2 1 2 3 1 2 3
（2）由题设及条件概率公式可得答案；
（3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为 ，则 可能值为2或3，据此可得对应分布列及期望；若不考虑“赛
点”，记比赛总局数为 ，类似可得对应分布列及期望，比较后可得答案.
【详解】（1）设 表示第 局甲胜， 表示比赛进行了两局， 表示比赛进行了三局， 表示最终甲赢得比赛.有
D=A A +A A A +A A A ，
1 2 1 2 3 1 2 33 3 3 2 3 2 3 3 81
所以 = × + × × + × × = ；
5 5 5 5 5 5 5 5 125
（2） ， ，
所以 ；
（3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为 ，
则 ，
，
所以 的分布列为
2 3
故 ，
若不考虑“赛点”，记比赛总局数为 ，
则 ， ，
所以 ，
则有 ，
所以“赛点”效应使得 相比于不考虑“赛点”效应时是增大.
18．已知 为抛物线 上一点，点 到抛物线C焦点的距离是M到直线 的距离的两
倍．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 作C的两条切线，切点分别为 ．求证：以线段 为直径的圆过点 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线定义结合距离条件求解参数 得到抛物线方程；
(2)通过导数推导切线方程，确定切点弦 的表达式，联立抛物线得到韦达定理，借助向量点积为零完成垂直证明.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，
由抛物线定义，点 到焦点的距离为 .
点 到直线 的距离为 .
由题设距离关系，得 ，
解得， .
因此，抛物线 的方程为 .
（2）由(1)得抛物线方程为 ，即 ，求导得 .
设切点 ， ，则抛物线在 处的切线方程为 ，整理得 .
结合 ，切线方程可化为 .
切线过点 ，代入得 ，即 .
同理可得 .
因此，直线 的方程为 .
联立 ，消去 得 ,
可得， ， ， ，
以线段 为直径的圆过点 ，等价于 .
， ，
则，
因此， ，即以线段 为直径的圆过点 .
19．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有极小值，且 ，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
(3)
【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出 处的导数值即切线斜率，再
求出 对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域 ，按参数 的正负分类讨论； 时判断导函数在定义域内
恒正，直接得出函数单调递增； 时以 为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递
增区间，最后汇总两种情况的单调结论.
（3）先借助第二问单调性确定 时函数在 处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数 ；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点
，利用单调性分析出使不等式成立的 的取值区间.
【详解】（1）当 时， ，所以
所以切线方程为 即 ，
（2） ，
若 ，可得 时， ，所以 在 上单调递增；
若 时，当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）由（2）可知当 时， 有极小值，极小值为 ，
此时极小值也是最小值，由 ，可得 ， ，
又 ，所以
令 ，求导得 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 时， ，此时满足 ，
所以a的取值范围
