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【第22 讲：等差数列及其前N 项和】
【新高考课程标准要求】
1. 理解等差数列的概念和通项公式的意义：明确等差数列是从第
项起，每一项与它的前一项的差都等
于同一个常数的数列，掌握其通项公式
，并能运用通项公式解决相关问题，理解通项公
式中各参数的含义及作用。
2. 掌握等差数列的前
项和公式，理解等差数列的通项公式与前
项和公式的关系：熟练掌握等差数列
前
项和公式
，明白通项公式与前
项和公式都与首项
、公差
有关，
可通过已知条件建立方程或方程组，求解相关量。
3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题：能够从实际问题或数学问题情境
中，识别出等差数列模型，将问题转化为等差数列的相关问题，如求通项、求前
项和等，进而利用等差
数列的知识进行求解，体现数学建模和数学应用的能力。
4. 体会等差数列与一元一次函数的关系：了解等差数列的通项公式
是关
于
的一次函数（
时）或常数函数（
时），前
项和公式
是关于
的二次函数（
时），利用函数的性质来分析等差
数列的单调性、最值等问题。
【知识梳理】
一、知识梳理
1. 核心概念
等差数列定义：从第2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数（记为公差
），即
（
，
为常数）。
等差中项：若
，
，
成等差数列，则
，且
。
2. 关键公式
公式类型
表达式
说明
通项公式
为首项，
为公差，可推广为
（
）
前
项和
公式
；
前者需已知首项、末项和项数；后者需已知首项、公
差和项数
3. 性质关联
函数属性：
通项
：当
时，是关于
的一次函数，图像为直线上的孤立点，斜率为
；当
时，为常数列。
前
项和
：当
时，是关于
的二次函数，图像为抛物线（或其一部分）
上的孤立点，且无常数项；当
时，
，为关于
的一次函数。
项的对称性：若
（
），则
；特别地，当
时，
。
二、常用结论
1. 前
项和的衍生结论：
若等差数列
的前
项和为
，则
（利用
，结合
推导）。
前
项和的比值：若
与
均为等差数列，前
项和分别为
与
，则
。
2. 项数与和的关系：
等差数列中，连续
项的和仍成等差数列，即
，
，
，…成等差数列，公差为
。
若等差数列共有
项，则
，
；若共有
项，则
，
（
、
分别为奇数项和、偶数项和）。
3. 单调性与最值：
当
时，数列单调递增，
有最小值（可通过
且
求最小值对应的项数
）；当
时，数列单调递减，
有最大值（可通过
且
求最大值对应的项数
）。
三、微点提醒
1. 定义理解误区：判断数列是否为等差数列时，需验证“从第2 项起，每一项与前一项的差为常数”，不
可仅验证前几项；若仅说“
”，需补充
，否则定义域不完整。
2. 公式使用细节：
运用通项公式
时，注意
和
的取值范围（均为正整数），避免因下标错误导致
计算失误。
前
项和公式
中，
是第
项，不可与“项数
”混淆；当
时，数列是常数列，
，此时不可用二次函数性质分析最值（无最值，除常数本身）。
3. 性质适用条件：“若
，则
”的逆命题不成立，即若
，
不一定有
（如常数列中，任意两项和相等，但下标和可不同）。
4. 与函数结合的注意点：
通项公式对应的一次函数，其定义域是正整数集（而非全体实数），因此图像是孤立点，而非连续直
线。
前
项和对应的二次函数，若无常数项，但其最值对应的
需为正整数，若计算出的
为非整数，需
取其附近的正整数代入计算实际最值（如
，则需比较
和
时的
）。
【课前自测】
一、单选题
1．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）等差数列
满足
，若
为前
项和，则
最大时，
的值为（ ）
A．9 或10
B．8
C．9
D．10 或11
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知等差数列
的前
项和为
，满足
，则
（ ）
A．35
B．40
C．45
D．50
3．（24-25 高二下·陕西榆林·期末）记
为等差数列
的前
项和．若
，则
（ ）
A．43
B．44
C．87
D．88
4．（24-25 高二下·广东韶关·期末）已知等差数列
的前
项和为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（24-25 高二下·河南驻马店·期末）设
是等差数列
的前n 项和，若
，
，则下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
时，
最大
D．使
的n 的最大值为13
三、填空题
6．（2025 高三·全国·专题练习）把数列
与
的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序
得到数列
，则数列
的前202 项和为 .
7．（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
．
四、解答题
8．（2025 高三·全国·专题练习）设
为数列
的前
项和．已知
，且
为等差数列．
求证：数列
为等差数列．
【考点一：等差数列基本量的运算】
【例题】1．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）设等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知各项均不为零的等差数列
的前n 项和为
，满足
，
，
则
的公差d 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】3．（2025 高三·全国·专题练习）已知等差数列
，
的各项均不为0，记
的公差
为d，前n 项和为
，且
．
(1)若
，求k；
(2)记
的前n 项和为
，若
，且
，求d 的取值范围．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·广东江门·期末）记
为等差数列
的前n 项和，已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题策略】
一、核心解题步骤
1. 梳理条件与目标：明确题干给出的已知信息（如特定项的值、前
项和、项数关系等），确定需求解
的量（如某一项
、前
项和
、项数
、公差
等）。
2. 选择关联公式：优先选用与
、
直接关联的核心公式，避免复杂推导：
通项公式：
（连接“项”与基本量）；
知识讲解与常考题型
题型分类
前
项和公式：
（连接“和”与基本量）。
3. 建立方程（组）：根据独立条件的数量列方程：
1 个独立条件：列1 个关于
和
的一元方程（需结合其他隐含条件，如项数
）；
2 个独立条件：列二元一次方程组（因2 个基本量需2 个方程确定，可直接解出
和
）。
4. 求解与验证：解出
和
后，代入目标公式计算结果；必要时验证结果是否符合隐含条件（如项数为
正整数、公差符号与数列单调性一致等）。
【考点二：等差数列的判定与证明】
【例题】1．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和
，令
，求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
．证明：数列
为等差数列；
【针对训练】3．（24-25 高二上·甘肃甘南·期末）已知数列
中，
，
.
(1)证明数列
是等差数列，并求
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
．
4．（23-24 高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列
的前n 项和为
，且满足
.
(1)求证：
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式.
【解题策略】
等差数列的判定与证明的解题策略
等差数列的判定与证明核心是紧扣定义或等价条件，通过代数推导验证数列是否满足“从第二项起，每一
项与前一项的差为常数”，避免仅通过有限项规律（如前3 项差相等）直接判定。
一、核心判定依据（4 类关键方法）
判定或证明数列
为等差数列，需从以下方法中选择，优先用定义法或等差中项法，具体如下：
判定方法
核心等价条件
适用场景
1. 定义法
（最根本）
对任意
且
，有
（
为常数）
已知数列的通项递推关系（如
），或可通过变形得到相邻项差
2. 等差中
项法
对任意
且
，有
已知数列中三项的关系，或需证明某三项成
等差，或可通过前
项和推导
3. 通项公
式法
数列的通项公式可表示为
（
、
为常数，且
，
）
已知数列的通项公式，或可求出通项公式后
验证形式
4. 前
项
和公式法
数列的前
项和可表示为
（
、
为常数，且
，
）
已知数列的前
项和公式，或可求出
后
验证形式（注意：需排除常数项，即
无常
数项）
二、通用解题步骤
1. 明确已知条件：梳理题干给出的信息（如递推式、通项、前
项和、特定项关系等），确定可调用的
判定方法。
2. 选择判定方法：
若给递推关系（如
的表达式），优先用定义法；
若给三项关系或需证明“成等差”，优先用等差中项法；
若已知或可求通项公式，验证是否为“
”形式（通项公式法）；
若已知或可求前
项和，验证是否为“
”形式（前
项和公式法）。
3. 代数推导验证：
定义法：计算
（
），证明其结果为与
无关的常数；
等差中项法：推导
，证明其结果为
；
公式法：将通项或前
项和整理，验证是否符合“一次函数”或“不含常数项的二次函数”形式。
4. 补充首项/初始条件：若推导仅从
开始，需验证
是否等于前述常数（定义法），或确认首
项满足通项/前
项和公式，确保数列整体为等差。
三、常见易错点与规避策略
1. 忽略“任意
”：仅验证前3 项（如
）即判定为等差，需强调“对所有
成立”，
必要时用数学归纳法辅助证明（针对递推复杂的数列）。
2. 前
项和公式误用：若
（
），则
从第二项起为等差，而非整个数列，需
排除常数项
的干扰。
3. 递推式变形错误：对含
与
的递推关系（如
），需先通过
（
）消
去
，再用定义法判定，避免直接套用公式。
【考点三：等差数列的性质及其应用】
【角度1：等差数列的性质】
【例题】1．（2025·陕西汉中·三模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．30
B．40
C．60
D．120
2．（2025·江西·二模）已知
为等差数列，其前
项和为
，若
，则下列各式的值不能确定的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】3．（2025 高三·全国·专题练习）已知等差数列
的前
项和为
，当
为定值时，
也是定值，则
.
4．（2025·安徽·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，
，若
，
，则
．
【角度2：等差数列的前N 项和的性质】
【例题】1．（24-25 高二下·陕西榆林·阶段练习）在等差数列
中，
为其前
项和，若
，
，则
的值为 ．
2．（24-25 高二下·云南昆明·阶段练习）设等差数列
的前
项和分别是
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】3．（24-25 高二下·四川成都·期中）两个等差数列
和
，其前
项和分别为
，
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高二·全国·专题练习）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
，
.
【角度3：等差数列的前N 项的最值】
【例题】1．（22-23 高二下·广东佛山·期中）已知等差数列
前n 项和为
，
，
，则使
取得最大值时n 的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
多选题2．（23-24 高二上·福建漳州·阶段练习）已知数列
的前
项和为
，则下列说法正确
的是（ ）
A．
是递增数列
B．
C．当
时
取最大值
D．满足
的最大的正整数
为10
【针对训练】多选题3．（23-24 高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列
的前
项和为
，已知
，则（ ）
A．
B．
的前
项和中
最小
C．使
时
的最大值为9
D．
的最大值为0
【多选题】4．（22-23 高二下·江苏扬州·开学考试）等差数列
的前n 项和为
，且
，
，
，则下列说法中正确的有（ ）．
A．
B．
C．当
或6 时，
取最小值
D．
5．（24-25 高二下·湖北·期中）若数列
满足
，
，
，设数列
的
前
项和为
，则当
取最大值时，
.
【解题策略】
等差数列的性质及其应用的解题策略
等差数列的性质是基于定义和公式推导的“简化工具”，核心是利用性质减少运算量，避免反复套用基本
公式（
、
），尤其适用于求特定项、前
项和或判断项的关系。
一、核心性质分类与应用场景
1. 项的下标规律性质（高频考点）
此类性质围绕“下标和相等”展开，是解决“项的和”“对称项关系”的核心，需牢记：
性质1：若
（
），则
。
特殊情况：当
时，
，即
（
为
与
的等差中项）。
应用场景：已知某几项的值，求另外几项的和（如已知
，求
或
）。
性质2：数列
是等差，则下标成等差数列的子数列仍为等差（如
，公差为
）。
应用场景：求周期性间隔项的关系（如已知
，求
，利用子数列公差
）。
2. 前
项和的特殊性质
此类性质聚焦前
项和的“局部与整体”关系，简化求和计算：
性质1：等差数列前
项和
，则
仍为等差数列（公差为
）。
应用场景：已知
，
，求
（利用
成等差，即
，
得
）。
性质2：若项数为
（偶数），则
，且
（
为偶数项和，
为奇
数项和）；若项数为
（奇数），则
，且
（
为中间项）。
应用场景：已知项数为5（奇数），
，直接得中间项
，进而求
。
性质3：前
项和公式的“比值转化”：若两等差数列
、
的前
项和分别为
、
，则
。
应用场景：已知
，求
（直接得
）。
3. 通项与前
项和的关联性质
性质1：通项公式与前
项和的关系：
（
），且
；若
，则
（直接由二次函数推导一次通项）。
应用场景：已知
求
，或验证
与
的一致性。
性质2：前
项和的“一次函数特征”：
，即数列
是公差为
的等差数列。
应用场景：已知
，
，求
（利用
成等差，得
）。
二、通用解题步骤
1. 识别问题类型：判断题目是求“特定项”“项的和”“前
项和”还是“两数列比值”，匹配对应的
性质（如下标和问题用性质1，前
项和的局部关系用性质2）。
2. 优先调用性质：避免直接设
、
列方程（虽通用但运算量大），先观察下标是否有“和相等”“成
等差”等特征，或前
项和是否有“局部间隔”（如
）。
3. 补充基本量运算：若性质无法直接求解（如缺少关键项或和），再设
、
（或
、
，利用中间项
简化），结合性质列方程，减少未知数个数。
4. 验证结果合理性：利用性质反向验证（如用
验证求得的项是否满足和的关系），避免
下标对应错误。
三、常见易错点与规避策略
1. 下标对应错误：应用“
”时，混淆下标和（如误将
等同于
，需确保
而非
），规避：先计算两边下标和，确认相等后再用性质。
2. 前
项和的局部性质误用：忽略“
成等差”的前提是“等差数列”，且公差为
（非
），规避：记忆公差推导过程（
），避免记混系数。
3. 项数奇偶性混淆：应用“项数为奇/偶时的
、
关系”时，误将“项数为
”的中间项记为
（实际为
），规避：明确“项数为
时，中间项下标为
（奇数项）”。
一、单选题
1．（24-25 高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．36
B．48
C．60
D．120
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
3．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的公差
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2025·四川成都·一模）在等差数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．（2025·江苏泰州·模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，
是数列
的前n 项和.若
，则
等于（ ）
A．49
B．50
C．51
D．52
6．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，若
，则
（ ）
A．27
B．28
C．54
D．55
7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知
是等差数列，公差
，且
，
，
成等比数列，
则
等于（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
8．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为
的等差数列
的前
项和为
，若
，
成等比
数列，则满足
的
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则公差
为（ ）
A．
B．
C．
D．1
10．（2025·海南海口·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，
，
，则
（ ）
A．25
B．26
C．27
D．28
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列
中，
，则数列
的
前2026 项的和为（ ）
A．1013
B．1014
C．2026
D．2028
二、填空题
12．（2024·上海·三模）设
是等差数列，其前
项和为
．若
，
，则
．
13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，已知
，则
的值为 ．
14．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
为等差数列，若
，则
.
三、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，已知
．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若对于任意
，都有
，求公差
的取值范围
