文档文本内容
【第21 讲：数列的概念（数列通项公式+数列性质）】
【新高考课程标准要求】
1. 认知层面：通过实例理解数列定义，掌握3 种表示方法，吃透“定义域为正整数集的特殊函数”这一核
心。
2. 应用层面：衔接递推关系，能构建数列模型解决实际问题（如还款、折旧），关联等差/等比数列的函
数特征。
3. 能力层面：基础达标需会求指定项，高考核心需能抽象模型、分析数列性质（增减、周期等）。
【知识梳理】
一、核心定义
1. 定义：按确定顺序排列的一列数，记作
（
或
），其中
是第
项（通项），
是项
的序号。
关键：“顺序”是本质，相同数字按不同顺序排列为不同数列（如1,2 与2,1）。
2. 本质属性：特殊的函数——定义域为正整数集
（或其有限子集
），值域为数列的各项组
成的集合，对应关系为
。
二、表示方法
表示方法
特点
示例（数列：1,3,5,7…）
列表法
直观呈现序号与项的对应
:1,2,3,4…；
:1,3,5,7…
图象法
体现“离散性”（非连续曲线）
在平面直角坐标系中，点
通项公式
用含
的式子直接表示
（
）
递推公式
由首项（或前几项）+相邻项关系确
定
首项
，递推关系
（
）
三、数列的分类
1. 按项数多少：
有穷数列：项数有限（如1,2,3,4,5）；
无穷数列：项数无限（如1,
,
,
…）。
2. 按项的增减性（仅对无穷数列）：
递增数列：
（如
）；
递减数列：
（如
）；
常数列：
（如
）；
摆动数列：项的大小交替变化（如1,-1,1,-1…）。
3. 按项的有界性：
有界数列：存在正数
，使
对所有
成立（如常数列、
）；
无界数列：不存在这样的
（如
）。
四、关键辨析
1.
与
的区别：
表示整个数列（如{1,3,5,7…}），
表示数列的第
项（如
）。
2. 通项公式的唯一性：一个数列可能有多个通项公式（如1,-1,1,-1… 可表示为
或
）。
3. 递推公式与通项公式的关系：递推公式需结合首项才能确定数列，部分数列可由递推公式推导通项公
式（如等差数列由
和
推得
）。
【课前自测】
一、单选题
1．（24-25 高二下·四川资阳·开学考试）已知数列
满足：
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，若数列
为递增数
列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题3．（24-25 高二下·福建厦门·期末）已知数列
：
，其中第1 项为
，
接下来的2 项为
，接下来的4 项为
，依此类推，设
为
的前
项和，则（ ）
A．
B．
C．有且仅有一个正整数
，使得
D．存在无数个正整数
，使得
三、填空题
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
（其中
为数列
前
项和），则数列
的通项公式是 .
5．（24-25 高二下·四川广安·阶段练习）数列
中，若
,
，则
.
四、解答题
6．（2026 高三·全国·专题练习）在数列
中，
，
，求数列
的通项公式.
7．（2026 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式.
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知在数列
中，
，求
的最大项．
【考点一：已知通项公式
与前
项的和
关系求通项问题】
【例题】1．（2026 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）设
为数列
的前
项和，
，从①
，
；②
中选一个作为已知，则
的通项公式
为 ．
【针对训练】3．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0 的数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）
的通项公式为
．
（2）若对于任意
，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
4．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知数列
满足
，则
．
5．（24-25 高二下·江西景德镇·期末）已知数列
的前
项和
，且满足
，则
．
【解题策略】
已知
与
关系求
的解题策略
知识讲解与常考题型
题型分类
核心依据：数列前
项和
，故
，分两步求解：
第一步：求
时的
1. 直接代入公式：由
（
），将已知的
表达式（或
与
的关系）代入，消去
和
，推导
与
的递推关系（或直接得出
的表达式）。
示例：若
，则
时，
，两式相减得
，化简得
（递推关系）。
第二步：求
时的
并验证统一性
1. 求
：由
，将
代入
的表达式（或已知条件），计算
（注意：不能用
求
，因
时
无意义）。
示例：承接上例，
时，
，解得
。
2. 验证统一性：将
代入第一步求得的
时的
表达式，若结果与
相等，则合并为一个通项公
式；若不相等，则分
和
两段表示。
示例：上例中
时
，结合
，得
，代入
时
，与第一步结
果一致，故统一为
。
常见注意事项
1. 勿漏
的情况：直接用
求
时，默认
，必须单独计算
。
2. 验证是关键：若
不满足
时的表达式，需分段写通项（如
）。
3. 化简递推关系：若第一步得到递推式（如
），需进一步用“构造等差/等比数列”等方法
推导通项（后续可结合具体递推式展开）。
【考点二：用累加法，累乘法求通项公式】
【例题】1．（24-25 高二下·湖北十堰·期末）在数列
中，
，则
的通项公式为 .
2．（24-25 高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列
满足
，则
的通项公式
为
【针对训练】3．（23-24 高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列
满足
，
，则其
通项公式为 .
4．（24-25 高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列
满足
（
，且
），
，则
.
5．（24-25 高二上·甘肃庆阳·期末）在数列
中，首项
，
时，
，则数列
的前
项和为 .
【解题策略】
累加法与累乘法求通项公式解题策略
累加法、累乘法是针对相邻项为“差”或“商”关系的递推数列的核心解法，核心思路是通过“望远镜求
和/求积”消去中间项，直接建立首项与第
项的联系。
一、累加法（适用于
型递推）
1. 适用条件
递推公式可整理为 相邻两项之差 = 关于
的函数（
），且
可通过等差、等比、裂项等方法求
和（如
、
）。
2. 解题步骤（四步走）
步骤
操作要点
示例（已知
，
）
1. 写递推
式
从
到
，列出所有
相邻项的差
：
；
：
；…；
：
3. 计算化
简
求右边和，整理得
右边是等差数列，和为
，故
4. 验证
代入
看是否与
一致
时，
，与已知一致，无需分段
3. 关键提醒
若
是分式（如
），需先裂项（
）再累加，抵消更简便。
二、累乘法（适用于
型递推）
1. 适用条件
递推公式可整理为 相邻两项之商 = 关于
的函数（
），且
分子分母可约分（如
、
），同时需保证
。
2. 解题步骤（四步走）
步骤
操作要点
示例（已知
，
）
1. 写递推
式
从
到
，列出所有相邻项的
商
：
；
：
；…；
：
2. 左右累
乘
左边中间项抵消（望远镜求积），
右边求积
左边：
；右边：
3. 计算化
简
求右边积，整理得
右边分子分母抵消，结果为
，故
4. 验证
代入
看是否与
一致
时，
，与已知一致，无需分段
3. 关键提醒
若
含负号（如
），需注意最终
的符号（由负号的个数决定，即
）。
三、通用注意事项
1. 先定类型：递推式是“差”用累加法，是“商”用累乘法，勿混淆。
2. 首项必用：无论哪种方法，最终通项都需关联
（题目未给时，需用
求）。
3. 分段处理：若
不满足
时的通项，需分段表示（如
）。
【考点三：用数列的构造法求通项公式】
【例题】1．（2025 高三·全国·专题练习）已知在数列
中，
，
，则通项
．
2．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知数列
中，
，且
，则
．
【针对训练】3．（24-25 高二下·湖北·期中）数列
中，
，
，则通项
．
4．（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列中，
，
，则
．
5．（24-25 高二下·广东广州·开学考试）已知数列
满足
，则
．
6．（24-25 高三上·广东广州·期末）已知数列
满足
，
，
，则数列
的通
项公式为 ．
【解题策略】
数列构造法求通项公式解题策略
构造法的核心是根据已知递推关系的结构特征，通过代数变形（如加减、乘除、待定系数、取倒数等），
将非等差/等比数列转化为等差或等比数列，再利用等差/等比数列的通项公式求解原数列通项。
一、核心原则
1. 目标导向：构造的新数列必须是等差（满足
，
为常数）或等比（满足
，
为非
零常数）。
2. 结构匹配：分析原递推式（如线性、分式、含幂次等）的形式，选择对应的构造手段，确保变形后新
数列的递推关系符合等差/等比定义。
3. 简洁性：构造过程需尽量简化，避免引入复杂参数，优先通过“凑项”“补常数”“取对应形式”实
现转化。
二、常见递推类型及对应构造策略
1. 线性非齐次递推：
（
为常数，
）
核心是“消去非齐次项
”，构造新的等比数列，具体按
的形式分类：
的形式
构造方法
目标
（常数）
设
（
为待定系数），代入递推式后令
常数项为0，解得
为等比数列（满足
）
（一次
多项式）
设
（
为待定系数），代入
后对比
的系数和常数项求参数
为等比数列
（指数型，
）
方法1：设
，求
使
为等比数
列；
方法2：两边同除以
，设
方法1→
为等比数
列；
方法2→
为等差数列
2. 分式递推：
（
，
）
核心是“取倒数或凑常数”，将分式递推转化为线性递推，具体按形式分类：
一般形式（
均非零）
1. 求不动点：解方程
得根
；
2. 构造
为等比数列
3. 含“
”项的递推
典型递推式：
（
为常数）
构造方法：两边同除以
，消去乘积项
目标：转化为等差数列
（满足
）
4. 含“
”（前
项和）的递推
核心是“消去
”，转化为仅含
的递推关系：
1. 求首项：当
时，
；
2. 消去
：当
时，利用
代入已知关系，整理得
与
的递推式；
3. 后续构造：按线性、分式等类型构造新数列，求
时的
；
4. 验证首项：检查
时的通项是否符合，不满足则分段表示。
5. 递推式含“
的多项式乘积”（如
）
构造逻辑：先通过累加法展开通项，再对求和项构造等比数列求和；
具体步骤：
1. 累加法：
；
2. 求和构造：对
，用“错位相减法”（本质是构造等比数列）计算和式；
3. 整理得
。
三、通用解题步骤
1. 分析结构：判断递推式类型（线性、分式、含
等），明确非等差/等比的“障碍项”（如常数项、分
式分母）；
2. 选择手段：根据“障碍项”选构造方法（待定系数、取倒数、同除等），定义新数列
；
3. 验证新数列：推导
的递推关系，确认其为等差/等比，并求首项、公差/公比；
4. 求原通项：先写
的通项，再根据
与
的关系反解
；
5. 验证首项：检查
时通项是否成立，必要时分段。
【考点四：数列的性质及其应用】
【角度1：数列的周期性】
【例题】1．（2025 高三·全国·专题练习）在数列
中，
，则
（ ）
A．2020
B．2022
C．2024
D．2026
【针对训练】2．（2025 高三·全国·专题练习）设数列
满足：
，
，那么
等于
（ ）
A．
B．2
C．
D．
二、填空题
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的首项
，
，
，记
为数列
的前
项之和，则
的值是 ．
4．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知数列
满足
若
，则
的值为
．
【解题策略】
数列周期性解题策略
数列的周期性是指存在正整数
（周期），使得对任意正整数
，都有
。解题核心是先判断数列
是否周期，再确定最小正周期，最后利用周期性简化计算（如求特定项、前
项和）。
一、核心原则
1. 周期优先判断：遇到递推关系复杂（如分式、分段、含绝对值）或前几项有重复趋势的数列，优先尝
试找周期；
2. 最小周期关键：若数列周期存在，需确定“最小正周期
”，后续计算均基于最小周期展开；
3. 周期性简化计算：利用“
”（
为整数），将所求项/和转化为周期内的项/和，避免逐项递
推。
二、周期数列的判定与周期求解策略
1. 观察法（适用于递推简单或可直接计算前几项的数列）
适用场景：递推式为简单线性、分段函数，或可快速计算前5-10 项的数列；
操作步骤：
1. 由首项
和递推式，依次计算
；
2. 观察是否存在最小正整数
，使得
、
（即从首项开始重复）；
3. 验证：若
对连续
项成立，则
为最小正周期。
2. 递推式变形法（适用于可通过代数变形显化周期的数列）
通过对递推式进行迭代、消元或公式转化，推导
与
的关系，常见类型如下：
递推式类型
变形策略
周期特征
迭代：
最小周期
迭代2 次：
，再迭代2 次：
最小周期
迭代：
，再迭代3 次：
最小周期
（直接给出递
推）
无需变形，直接确认
周期为
（需验证是否
为最小）
3. 函数映射法（适用于递推式可转化为函数迭代的数列）
核心逻辑：将数列递推视为函数迭代，即
，若函数
满足
（
表示
迭
代
次），则数列可能以
为周期；
操作步骤：
1. 定义递推函数
（如
对应
）；
2. 计算函数迭代：
、
…直到
；
3. 验证：若
，则数列满足
，
为周期。
三、周期性的应用策略（求项、求和、求最值）
1. 求特定项
步骤：
1. 确定最小正周期
；
2. 计算
除以
的余数：设
（
为非负整数，
，若余数为0 则
）；
3. 利用周期性得
，直接计算
即可。
2. 求前
项和
步骤：
1. 确定最小正周期
，计算一个周期内的和
；
2. 拆分
：设
（
为非负整数，
）；
3. 总求和：
（若
，则
）。
3. 求数列的最值或范围
核心逻辑：周期数列的所有项仅由一个周期内的项构成，因此最值、范围等价于周期内项的最值、范
围；
步骤：
1. 确定最小正周期
，列出周期内所有项
；
2. 直接分析周期内项的最大值、最小值或取值范围，即为整个数列的最值和范围。
四、易错点提醒
1. 周期起点验证：部分数列从第2 项或第3 项开始周期（如
），
需确认周期起点，避免误判周期；
2. 最小周期确认：若
是周期，
也是周期，需找到“最小正周期”，否则会增加计算量（如
比
更简便）；
3. 首项参与性：计算周期内和
时，需确保包含首项
，避免漏项或多算项。
【角度2：数列的单调性】
【例题】一、单选题
1．（24-25 高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列
的通项公式为
，若
是递增数列，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）已知
，
若数列
不是递增数列，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】3．（24-25 高二下·广西桂林·阶段练习）已知函数
若数列
满足
且
是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
多选题4．（2025·湖南娄底·模拟预测）数列
的前
项和为
，已知
，则下列结论
正确的是（ ）
A．
为等差数列
B．
可能为常数列
C．若
为递增数列，则
D．若
为递增数列，则
【解题策略】
数列单调性解题策略
核心是通过比较
与
的大小关系，判定数列的增减性（递增/递减/非增/非减），进而解决最值、不
等式证明、参数范围等问题。
一、单调性判定（3 类核心方法）
1. 作差法（最基础，优先选用）
核心原理：通过
的符号判断单调性，是通用且无需额外条件的方法。
若
（对任意
）→ 数列递增；
若
（对任意
）→ 数列递减；
若
（或≤0）→ 数列非减（或非增）。
操作步骤：
1. 由数列的通项公式或递推关系，写出
的表达式；
2. 计算
，对结果进行因式分解、配方等化简；
3. 分析化简后式子的符号（常结合二次函数、分式、指数函数的性质）。
2. 作商法（仅适用于
的数列）
核心原理：通过
与1 的大小关系判断，适用于含幂次、乘积项的正项数列。
若
（
）→ 数列递增；
若
（
）→ 数列递减；
若
（或≤1，
）→ 数列非减（或非增）。
操作步骤：
1. 确认数列各项均为正数（必要条件）；
2. 计算
，约分或化简（如幂次项可利用指数运算法则）；
3. 将化简结果与1 比较，判断大小关系。
3. 函数法（适用于通项可转化为函数的数列）
核心原理：将数列
（
为正整数）视为函数
在正整数点的取值，通过函数单调性推导
数列单调性。
操作步骤：
1. 构造函数
：将通项
中的
替换为连续变量
；
2. 求导分析
的单调性：计算
，判断
在
上的符号；
3. 验证一致性：函数单调时，需确认其在正整数点的取值规律与数列完全一致（极少数函数单调但
数列不单调，需结合首项验证）。
二、单调性的应用（3 类高频场景）
1. 求数列的最值（最大/最小项）
数列单调性特征
最值结论
严格递增
最小值为
，无最大值（或当
时趋近极限）
严格递减
最大值为
，无最小值（或当
时趋近极限）
先增后减
最大值在“增减转折点”（即满足
且
的
处）
先减后增
最小值在“减增转折点”（即满足
且
的
处）
2. 证明数列不等式（如
或
）
若数列递增：则
（或
），可通过证明“递增数列有上界”推导
；
若数列递减：则
（或
），可通过证明“递减数列有下界”推导
。
3. 确定递推式中参数的范围
若要求数列递增：需满足
（或
，
）对所有正整数
成立，解不等式得参
数范围；
若要求数列递减：同理，需满足
（或
，
）对所有正整数
成立；
关键：需确保不等式对所有正整数
成立，而非仅某几项，常需分析表达式的最值（如“
的最小值>0”）。
三、关键提醒
1. 作商法的前提：必须保证数列所有项为正，否则符号会导致判断错误；
2. 函数与数列的区别：函数单调不代表数列一定单调（如
在
上递增，但数列
可能因
波动出现局部递减，需验证）；
3. 递推数列的首项影响：含递推关系的数列，首项
可能影响单调性（如
，
为参数，首
项不同可能导致递增或递减）。
【角度3：求数列的最大最小项】
【例题】．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的首项为
，若
的前n 项积
，则
（ ）
A．数列
有最大项，无最小项
B．数列
无最大项，有最小项
C．数列
有最大项，有最小项
D．数列
无最大项，无最小项
【针对训练】2．（2025 高二·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，设
，则
的最小值为 .
3．（24-25 高二下·上海·期末）已知数列
的通项公式是
，数列
最大项是
．
4．（2025 高二·全国·专题练习）已知数列
的通项公式为
，求数列
的最大项．
【解题策略】
求数列最大/最小项解题策略
核心是先判断数列单调性，再结合单调性特征定位最值项，或通过“项与邻项比较”“函数化分析”直接
锁定最值。
一、核心解题方法（按适用场景排序）
1. 单调性分析法（最通用）
通过判定数列的增减趋势（递增/递减/先增后减/先减后增），直接确定最值位置，是解决该类问题的首
选思路。
数列单调
性特征
最大项结论
最小项结论
严格递增
无最大项（或当
时趋近极限）
首项
严格递减
首项
无最小项（或当
时趋近极限）
先增后减
存在唯一“转折点”
（满足
且
），
为最大项
首项
或末项（若数列有穷）
先减后增
首项
或末项（若数列有穷）
存在唯一“转折点”
（满足
且
），
为最小项
操作步骤：
1. 用“作差法”（
）或“作商法”（
，需
）判断数列单调性；
2. 找到单调性变化的“转折点”
（解方程
或
）；
3. 验证转折点及附近项的大小，确定最值。
2. 邻项比较法（适用于“先变后定”的数列）
直接比较第
项与相邻两项的大小，通过解不等式锁定“比前后项都大（或小）”的项，即最值项。
核心原理：
若存在
，使得
（
，若
则只需
）→
为最大项；
若存在
，使得
（
，若
则只需
）→
为最小项。
示例：若
，解
，得
，故
为最大项。
3. 函数化法（适用于通项可转化为函数的数列）
将数列
（
为正整数）视为函数
在正整数点的取值，通过函数最值推导数列最值。
操作步骤：
1. 构造连续函数
：将
中的
替换为连续变量
（
）；
2. 求函数
的最值：通过求导找到
的极值点
；
3. 找极值点附近的正整数：比较
左右相邻的正整数（如
和
）对应的数列项，较大
（或较小）者即为最值项。
示例：若
，构造
，求导得极值点
，故
为最大项。
4. 不等式法（适用于含参数或递推数列）
通过解不等式
（任意
）或
（任意
），直接确定
的取值，进而找到最值项。
核心思路：若
对所有
成立，则
为最大项，需满足
且
（同邻项比较法），
本质是通过不等式组缩小
的范围。
二、关键提醒
1. 验证首项与末项：对于“先增后减”或“先减后增”的数列，需验证首项、末项与转折点项的大小，
避免遗漏最值（如数列
，转折点在
，但需验证
与
，最终
均为最大项）；
2. 函数与数列的差异：函数的极值点若不是正整数，需取其附近的正整数比较（如
在
处取
最小值，则需比较
与
）；
3. 无穷数列的最值：无穷递增数列无最大项，无穷递减数列无最小项，需说明“无最值”或“趋近于某
极限”。
一、单选题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
（ ）
课后针对训练
A．
B．3
C．4
D．
2．（24-25 高二下·辽宁大连·期中）已知
为数列
的前
项和，若
，
，则
的值为
（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，当
时，
，则
的值为（ ）
A．1010
B．1011
C．1012
D．1013
4．（24-25 高二下·河南南阳·期中）在数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．2025
D．5050
5．（2025 高三·全国·专题练习）在数列
中，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
．
7．（24-25 高一下·上海青浦·期末）已知函数
，数列
满足
，且
（
为正整数），则
．
8．（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知数列
为严格增数列，则实数
的取值范围为
.
9．（2025 高三·全国·专题练习）数列
的各项按如下规律排列：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则
．
三、解答题
10．（2025 高三·全国·专题练习）在下列条件下，求数列
的通项公式
：
(1)若
，
，求
；
(2)若
，
，求
；
(3)若
，
，求
；
(4)若
，
，求
；
(5)若
，
，求
；
(6)若
，
，求
；
(7)若
，
，求
；
(8)若
，
，求
；
(9)若
，
，求
；
(10)若
，
，求
；
(11)若
，
，求
；
(12)若
，
，求
；
(13)若
，
，求
；
(14)若
，
，求
；
(15)若
，
，求
．
11．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知数列
的前n 项和为
，满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，且数列
的前n 项和为
，求证：
．
12．（25-26 高三上·广东·开学考试）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列；
(3)求
的最值．
