文档文本内容
培优点10 整数解问题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................4
题型一：直接法....................................................................................................................................4
题型二：分离参数法............................................................................................................................6
题型三：分离函数法..........................................................................................................................10
题型四：隐零点法..............................................................................................................................14
题型五：必要性探路法......................................................................................................................17
04 课时精练.........................................................................................................................................20
利用导数解决整数问题是高考数学中的一类特色题型，常出现在导数综合应用题中。这类问题通常结
合函数单调性、极值以及整数取值范围进行考察。
解题时，首先通过求导分析函数的单调性和极值点，确定函数在不同区间的变化趋势。接着，根据题
目条件，结合函数图像或性质，找出满足整数条件的自变量取值范围。这往往需要利用导数判断函数在关
键点（如整数点）的取值情况，或通过放缩法、不等式估计等方法确定整数解的边界。
高考中，这类问题注重考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力。备考时，应加强对导数性质的理解，
熟练掌握利用导数分析函数单调性和极值的方法，同时注重整数问题的解题技巧训练，如合理放缩、利用
函数单调性缩小范围等。
利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结：
（1）求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和
极值点。
（2）确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点（如极值点、边界点）的函数值，明确函数在这
些点的取值范围。
（3）结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量
的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足
条件的整数解。
（4）验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进
一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。
题型一：直接法
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若不等式
恒成立，求整数
的最大值.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
则曲线
在点
处的切线为
，
即
.
（2）因为
，
时，由
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）依题知，
恒成立，即
恒成立，
设
，
则
，
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
恒成立，
整理得
.
设
，则
恒成立，所以
在
上单调递增，又
，且
故整数
的最大值为
.
【变式1-1】已知函数
，若有且只有两个整数
使得
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，可得
，其中
，
若
时，
，则
在
上单调递增，且
，
所以
有无数个整数解，不符合题意，
若
时，当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以
，
所以
，综上可得，实数
的取值范围为
.
故选：B.
【变式1-2】已知函数
．
(1)试讨论函数
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
【解析】（1）由
，求导得，
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，令
，则
，
当
，
，则
在
上单调递减，
当
，
，则
在
上单调递增，
故
时，
在
上单调递减，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由
，不等式
恒成立，
转化为
，
构造函数
，
求导
若
时，则
，所以
在
单调递减，
由于
对于
成立，
当
时，则
，
故
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，但是
，不满足题意.
故整数
的最大值为
.
题型二：分离参数法
【例2】已知函数
与函数
的图象相交于不同的两点
，若存在唯一
的整数
，则实数
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】由
，可得
，
设
，可得
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
故当
时，函数取得极大值，且
又由
时，
；
当
时，
，故
；
作出函数大致图像，如图所示：
由
，
因为存在唯一的整数
，使得
与
的图象有两个交点，
由图可知：
，即
.
故选：B.
【变式2-1】（2025·安徽淮北·二模）若关于
的方程
有3 个不同实根，则满足条件的
整数
的个数是（ ）
A．24
B．26
C．29
D．31
【答案】B
【解析】由
，得
，
则关于
的方程
有3 个不同实根，
即为函数
的图象有个不同的交点，
令
，则
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
当
趋向负无穷时，
趋向负无穷，当
趋向正无穷时，
趋向正无穷，
作出函数
的大致图象，如图所示，
由图可得
，所以
，
所以满足条件的整数
的个数是
个.
故选：B.
【变式2-2】已知
是函数
的导函数，且对任意的实数
都有
（是自然对数的底
数），
，若不等式
的解集中恰有三个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
即
，
设
，
令
，可得
，
所以
，则
，
令
可得
在
上递增，令
可得
在
上递减，
所以
在
处取得极大值
，作函数
的图象如图所示：
又因为
，
而不等式
的解集中恰有三个整数，等价于不等式
的解集中恰有三个整数，
由图象知：当
时，不等式不等式
的解集中恰有三个整数
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：C.
【变式2-3】已知函数
，若存在唯一的整数
，使得
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
令函数
，
则
．
令函数
，显然
在
上单调递减．
因为
，
所以当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减．
又
，
，
当
趋近于
时，
趋近于负无穷，当
趋近于
时，
趋近于
，
所以当存在唯一的整数
，使得
时，a 的取值范围是
．
故选：C
【变式2-4】当
时，
恒成立，则整数
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【解析】由题意得，
在
上恒成立，
设
，所以
，
因为
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
单调递减，
，
所以整数
，则整数
的最小值为5．
故选：B．
题型三：分离函数法
【例3】定义在
上的函数
满足
，
（
为
的导函数），若存在唯
一的整数
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
即
（
为常数），
又
，所以
，即
.
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，
又
，当
时，
，当
时，
，
且当
时，
，当
时，
，
所以作出
的大致图象如图所示.
令
，易知
的图象恒过点
，
在同一平面直角坐标系中作出
的图象，易知
，数形结合可知，
若存在唯一的整数
，使得
，则
即
，得
，
故选：B.
【变式3-1】若当
时，关于x 的不等式
恒成立，则满足条件的a
的最小整数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】当
时，
，
所以
在
上恒成立，
等价于
在
上恒成立，
等价于
即
在
上恒成立，
令
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
即
，
令
，则
，
则
在
上恒成立，
所以函数
即
在
上单调递增，所以
，
函数
在
上单调递增，所以
，所以
，
所以原不等式等价于
即
在
上恒成立，
所以
，所以满足条件的a 的最小整数为1.
故选：A
【变式3-2】已知函数
，若不等式
的解集中有且仅有一个整数，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
又当
时，
，当
时，
且
，
作出
的函数图象如图所示：
由
仅有一个整数解，
得
只有一个整数解，
设
，由图象可知：
当
时，
在
上恒成立，不符合题意，
当
时，若
只有1 个整数解，则此整数解必为1，
所以
，即
，解得
．
故选：D．
【变式3-3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
，若不等式
的解集中有且
仅有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易知函数
的定义域为
，且
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
即
，
又当
趋近于
时，
趋近于
，当
趋近于
时，
且趋近于
；
作出函数
的图象如下图所示：
易知
恒过定点
，
由不等式
的解集中有且仅有一个整数可知
只有一个整数解；
令
，利用一次函数图象性质可知，
当
时，
在
上恒成立，不合题意；
当
时，若
只有1 个整数解，因此整数必为1；
所以可得
，即
，解得
；
即实数
的取值范围是
.
故选：B
题型四：隐零点法
【例4】已知函数
（
）.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)当a 为整数时，若
恒成立，求a 的最小值.
【解析】（1）当
时，
，∴
，
∵
，∴
，
∴曲线
在
处的切线方程为：
.
（2）
的定义域为
，
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递减；
②当
时，令
，得
，令
，得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）∵
，∴
，即
.
设
，则
.
设
，则
.
设
，则
，
令
，得
；令
，得
.
∴
时，
为增函数，
时，
为减函数，
∴
，即
，∴
在
上为减函数.
∵
，
，
∴
，使
，
∴
时，
，从而
，
为增函数；
时，
，从而
，
为减函数；
∴
的最大值为
.
由
得
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴整数a 的最小值为1.
【变式4-1】设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，t 为整数，且当
时，不等式
恒成立，求t 的最大值．
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
的单调递减区间是
；
当
时，函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）当
时，
，
当
时，不等式
，
令
，求导得
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
，则存在
，使得
，
当
时，
，即
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
依题意，
，而是整数，因此
，
所以t 的最大值为4.
【变式4-2】已知函数
．
(1)判断函数
在区间
上的单调性，并说明理由；
(2)若函数
在
上的最大值在区间
内，求整数m 的值．
【解析】（1）
，
，
当
时，
，
，
，
，
∴
在
单调递增．
（2）
，
令
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
，
，
所以存在
，使得
，即
，即
，
故当
时，
，当
时，
，
又当
时，
（等号仅在
时成立），
所以当
时，
，
当
时，
（等号仅在
时成立），
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
令
，
，则
，
，
所以
在
上单调递增，则
，
，
所以
，所以
．
【变式4-3】（2025·安徽安庆·二模）对任意
，使得不等式
成立的最大整数
为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知
，有
，
，
令
，则
，
令
，则
，
所以，函数
在
上单调递增，
因为
，
，
所以存在
，使得
，
因此，函数
在
单调递减，在
单调递增，
，
构造函数
，当
时，
，
所以，函数
在
上单调递增，因为
，则
，
所以最大整数
为
，
故选：B．
题型五：必要性探路法
【例5】已知函数
（其中e 为自然对数的底数）．若对定义域内的一切实数
，
都有
，求整数
的最小值．（参考数据：
）
【解析】由题意得
的定义域为
，因为对定义域内的一切实数
，都有
，
所以
，即
．因为
为整数，所以
．
当
时，由题意可得
，显然
在
上单调递增．
设
，则
在
上单调递增．
因为
，
所以存在唯一
，使得
0，即
，可得
．
于是
，
，
设
，显然
在
上单调递增，则
成立．
故
符合题意，即整数
的最小值为1．
【变式5-1】已知函数
，对
，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
【解析】
可得
恒成立；
整数
满足
恒成立则一定满足
恒成立；
注意到
时，
，取特殊值
，得到
，
可验证当
时，若
取大于的整数，都有
使得
．
下面验证
满足
恒成立：
令
，
，
，
，
所以存在
使得
．
且当
，
，
单调递减；
，
，
单调递增；
满足
．
，当且仅当
取等，
，可得
恒成立，
即
恒成立，
恒成立．
综上，可知满足题意的最大整数
为．
【变式5-2】
对一切的
恒成立，试求出整数
的最大值．
【解析】易知
对一切的
恒成立，
当
时，可得
，故
仅可取1，2．
下面证明：当
时，
恒成立．设
，
则
．
从而
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
当
2 时，不等式恒成立，故
的最大值为2．
1．若不等式
（其中
）的解集中恰有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
当
时，
，当
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，且
，
而当
无限趋向于负无穷大时，
无限趋向于0，
当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于正无穷大，
令
，该函数图象为恒过
的动直线，
因为不等式
的解集中恰有一个整数，
结合图象可得
，即
，所以
.
故选：D
2．已知
是函数
的导函数，且对任意实数
都有
，
，若不等式
（其中
）的解集中恰有三个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，可设
，
．
，
，
．
令
解得，
，令
解得，
，
可得：
时，函数
取得极小值，
，
，
，
，所以
易知，直线
恒过定点
，
要满足不等式
（其中
）的解集中恰有三个整数，
如图，当
时，直线
与
图象的交点G，必须介于点B 与点F 之间.
因此直线
的斜率
，必须满足
，
又
，所以
，
故选：C．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若当
时，关于x 的不等式
恒成立，
则满足条件的a 的最小整数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】设
，
，
则
，
设
，
则
，
当
时，
，故
，
而
，
故当
时，
，故
在
为增函数，
故
，故
在
为增函数，
所以
即
恒成立.
当
时，
，
故存在
，使得任意
，总有
，
故
在
为减函数，故任意
，总有
，
所以任意
，总有
，
故
在
为减函数，故
，这与题设矛盾，
故最小整数为0．
故选:A．
4．若关于
的不等式
的解集中恰有
个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，且
，可得
，
构建
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，可得
，
且
，
由题意可得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：C.
5．已知函数
，若
的解集为
，且
中恰有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，所以
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上递增；
当
时，
，
在
上递减，
令
，画出
的图象如图.
根据条件，由图象，可得
，解得
，
故选：A.
6．已知函数
存在零点，则整数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【解析】因为
时，
，
，
解得：
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，当
趋近于正无穷，则
趋近于正无穷，
所以
存在零点，故排除D.
当
时，令
，即
，
令
，即
，令
，故
，
当
时，
，当
时，
，
故
，
所以此时无零点，故
时没有零点，故B 不正确；
当
时，
，也不存在零点，故A 不正确；
故选：C.
7．（2025·江苏南京·模拟预测）已知对任意实数
都有
，
，若不等式
（其中
）的解集中恰有两个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，即
，得
，则
（
为常数），
又
，所以
，所以
，故
，所以当
时
，当
时
，即
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
在
取得极
小值．
设
，可知该函数恒过点
，
画出
的图象，如下图所示，
不等式
（其中
）的解集中恰有两个整数，
则这两个整数解为
，所以
，
即
，解得
，所以
．
.
故选：C．
8．设函数
，若
的整数
有且仅有两个，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，即
，
又
，则
.
令
，
，
，当
时，
，
时，
，
时，
，
在
单调递减，
在
单调递增，且
，且
，
，作出函数
图象如图所示，
若
的整数
有且仅有两个，即只需满足
，即
，解得：
故选：D
9．已知函数
，若存在唯一的整数
，使
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的定义域为
，由
有唯一整数解，得
有唯一整数解，
令
，定义域为
，
，定义域为
，
则
，令
，解得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，∴
在
处取极大值也是最大值，
作出
的大致图象如图所示，
易知
的图象是恒过点
的直线，
若
，则显然不符合题意，
若
，则
，即
，解得
，
故选：A.
10．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设函数
，若存在唯一的整数
使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若存在唯一整数
使得
，可得
，则
，
令
，该函数的定义域为
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递减；
当
时，
，此时函数
单调递增.
，
，
，且
，
因此，若存在唯一的整数
使得
，则
.
故选：A.
11．已知函数
，若关于x 的不等式
的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，当
时，
；当
时，
；
令
，则不等式
即为
，
故
，即
，即
，
则不等式
的解集中有且只有三个整数，
即为不等式
的解集中有且只有三个整数，
由于
，且
，
结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4，
需有
，即
，
即实数a 的取值范围是
，
故答案为：
12．已知函数
，直线
，若有且仅有一个整数
，使得点
在直线上方，则
实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
且
时，
恒成立，故
的图象如图所示，
因为
，
，故
，
又
，因为
,所以
,
因为有且仅有一个整数
，使得点
在直线上方，故
，
故答案为：
.
13．已知函数
，设
，若
只有一个零点，则实数
的取值范围是 ；
若不等式
的解集中有且只有四个整数，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
∴
；当
时，
；当
时，
；
．
据此可作出
图象如图所示：
令
，则
或
，
由
，可得
；
又∵
只有一个零点，∴
无解，或
，
∴
，或
，
∴
的取值范围是
．
令
，则
．
①当
时，则
或
，
由
，可得
，无整数解，∴
中有3 个整数解，
结合
的图象可知此4 个整数解为
,5，
∵
，
由函数的单调性可知，∵
，
∴
；
②当
时，
，
由
，得
，不满足题意；
③当
时，由
，得
或
，
∵
的解集中无整数，
的解集中有若干个整数，不满足题意；
综上，
的取值范围为
．
故答案为：
；
．
14．不等式
解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，设
，
，
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
其中
，
，
，
，
的图象恒过点
，在同一坐标系内作出
的图象，如下：
要想不等式解集中有且仅含有两个整数，显然2 为一个符合要求的整数，
当
经过点
时，
，解得
，
故
，此时
，1 为另一个符合要求的整数，
故
，
故答案为：
15．已知函数
有两个零点a、b，且存在唯一的整数
，则实数m 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】定义域为
，因
有两个零点，
则
有两个零点，则方程
有两个根，
即函数
图象与
图象存在两个交点，
因
，则
得
，
得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
的最大值为
，
又因
在
上只有一个零点
，且
，
，故其图象如下：
则由数形结合可知，当
，即
时，存在唯一的整数
，且
.
故答案为：
16．已知定义域为R 的函数
，若不等式
（其中
）的解集中恰有两个
整数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题
，可得
，
当
时，
，所以
单调递增区间是
当
时，
，所以
的单调递减区间是
.
设
，可知该函数恒过点
，
考虑过
的切线，设切点为
，则
，
故
，当
时，
；
当
时，
；
画出
，
的大致图像，如图所示，
若
，
不等式
（其中
）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，－1，
所以
，即
，解得
．
若
，不等式
（其中
）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为3，4，
所以
，即
，解得
．
故答案为：
17．已知函数
，
的图象在
处的切线为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)设
，比较
与
大小关系，并说明理由；
(3)若对任意的
，
对任意的
恒成立，求满足条件的最大整数
的
值．
【解析】（1）由
得，
，
因函数
的图象在
处的切线为
，则
，
因切点为
，则
，则
，
故
（2）
则
，
则
得
，
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
因此，
对任意
成立．
（3）
，
因
对任意的
恒成立，则
，
即
对任意的
恒成立，
令
，则
，
则
得
，
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
则
，即
，故最大整数
．
18．已知函数
，若
在
处取得极值-6.
(1)求
的值；
(2)若
都为整数，当
时关于
的方程
有两个不同的解，求实数
的范围.
【解析】（1）对函数求导得：
.
因为
在
处取得极值-6，所以
①，
，化简得：
②.
联立①②得：
，解得
或者
.
当
时，
，
，
令
得
或
，令
得
，
那么
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
在
处取得极值，符合题意；
当
时，
，
，
令
得
或
，令
得
，
那么
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
在
处取得极值，符合题意；
所以
的值为
或
.
（2）因为
都为整数，所以
，此时函数解析式为
.
那么方程
有两个不同的解的问题转化为函数
与直线
有两个不同的交点问题.
由（1）可知，
在
上单调递减，在
上单调递增.
而
，所以么
在
上单调递减，在
上单调递增，
其图象如下：
此时
的极小值为
，而
，
，
.
结合单调性可求得
的取值范围为
.
19．已知函数
在
和
处取得极值.
(1)求
；
(2)
，求整数的最大值.
【解析】（1）函数
，
，
因为函数
在
和
处取得极值，
所以
即
解得
而当
时，
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
和
分别是
的极大值点､极小值点，
故
满足题意.
（2）由题意，
恒成立.
设
，则
，
显然
在
上单调递增.
又
，所以存在唯一的
，使得
，
即
，所以
.
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
所以
，
当
时，
，所以
，
由题意知
，且
，
所以整数的最大值为1.
20．（2025·高三·河南·开学考试）已知函数
（
）在
处取得极值．
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求整数
的最小值．参考数据：
，
．
【解析】（1）由题意得
的定义域为
，
（
），
因为
在
处取得极值，所以
，解得
，
此时，
，
其中
恒成立，当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间是
，单调递减区间是
，并且
在
处取得极大值．
（2）
即
，令
，则
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
所以存在唯一的
，使得
，即
，所以
．
当
时，
，
，当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，又
，所以
，
又
在
上单调递增，故
，
又
，所以整数
的最小值为1．
21．（2025·高三·重庆·开学考试）已知函数
在
时取得极值，且满足
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若存在实数
，使得
成立，求整数
的最小值．
【解析】（1）由题意知
的定义域为
，
，
由于函数
在
时取得极值，且满足
，
故
，且
，
解得
，则
，
经验证函数
在
时取得极小值，适合题意
故
；
（2）由题意存在实数
，使得
成立，
即
恒成立；
令
，
，则
，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
单调递增，
又
，
故存在唯一的
使得
，即
，
则当
时，
，即
，当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
，结合
，得
，故整数
的最小值为5.
22．是否存在整数，使得关于
的不等式
有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请
说明理由．
【解析】令
,
令
，则
，
所以当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，即
.
所以当
时，
，不符合题意．
若关于
的不等式
有解，又为整数，只需
，
当
时，
，符合题意．
综上：整数的最小值为0．
23．（2025·福建·三模）函数
，其中
为整数.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求
的最大值.
【解析】（1）当
时，
，则
，
而
，则
，
所以函数
在
处的切线方程为
，
即
.
（2）当
时，
，则
恒成立，
当
时，由
，得
，
即
，则
，
即
对于
恒成立，
设
，
，
则
，
当
时，显然
恒成立，则函数
在
上单调递增，
则
，满足题意；
当
时，令
，即
，解得
，
此时函数
在
上单调递减，
则
，不满足题意.
综上所述，
的最大值为2.
24．已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)若
，
为整数，且当
时，
，求
的最大值．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，则
，
在
上单调递增；
当
时，由
，得
．
当
变化时，
，
变化如下表：
0
单调递减
极小值
单调递增
综上，当
时，
无极值；
当
时，
有极小值，极小值为
，无极大值.
（2）
，
，
故当
时，
等价于
，
令
，则
．
由（1）知，函数
在
上单调递增，而
，
在
存在唯一的零点
，故
在
存在唯一的零点
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
在
上的最小值为
，
由
，可得
，
，
故整数
的最大值为2．
