文档文本内容
4.3 三角函数的图象与性质
目录
01思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图........................................................................3
知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质............................................................................3
知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换............................................................................................3
方法技巧总结1：整体思想.................................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................5
题型一：五点法作图..........................................................................................................................18
题型二：对称性与周期求解..............................................................................................................18
题型三：单调区间与最值求解..........................................................................................................29
题型四：三角函数解析式求解..........................................................................................................32
题型五：函数奇偶性判断..................................................................................................................38
题型六：三角函数图像平移伸缩......................................................................................................38
题型七：三角函数实际应用..............................................................................................................44
题型八：三角最值常用解法..............................................................................................................48
题型九：三角函数性质综合题型......................................................................................................48
05 课后拓展精练................................................................................................................................63知识点一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
图象
π
定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ+ }
2
值域 [−1，1] [−1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
π π π π
递增区间 [2kπ− ，2kπ+ ] [−π+2kπ，2kπ] (kπ− ，kπ+ )
2 2 2 2
π 3π
递减区间 [2kπ+ ，2kπ+ ] [2kπ，π+2kπ] 无
2 2
π kπ
对称中心 (kπ，0) (kπ+ ，0) ( ，0)
2 2
π
对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无
直线 2 直线
知识点三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数 的图象可以通过下列两种方式得到：⃗1
y=sinx⃗图象左移ϕ y=sin(x+ϕ)横坐标缩短到原来的
倍
ω y=sin(ωx+ϕ)
1、
⃗ 纵坐标伸长为原来的A倍y=Asin(ωx+ϕ)
⃗1 ⃗ϕ
y=sinx横坐标缩短到原来的 倍y=sin(ωx)图象左移
ω ω y=sin(ωx+ϕ)
2、
⃗ 纵坐标伸长为原来的A倍y=Asin(ωx+ϕ)
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到： ， 的图
像
定理： 则平移单位为 （注意平移方向）
方法技巧总结1：整体思想
y=sinx y=Asin(ωx+ϕ)
2π
周期 2π
ω
定义域 R R
π
π 2kπ+ −ϕ
最大值 x=2kπ+ 2
1，当 2 取得 x=
A，当 ω 取得
3π
3π 2kπ+ −ϕ
最小值 x=2kπ+ 2
-1，当 2 取得 x=
-A，当 ω 取得
[ π π ]
[ π π]
2kπ− −ϕ 2kπ+ −ϕ
单调增区间 2kπ− ,2kπ+ 2 2
2 2 ,
ω ω
[ π 3π ]
[ π 3π] 2kπ+ −ϕ 2kπ+ −ϕ
单调减区间 2kπ+ ,2kπ+ 2 2
2 2 ,
ω ω
π
π kπ+ −ϕ
对称轴 x=kπ+ 2
2 x=
ω
(kπ−ϕ )
对称中心 (kπ,0) ,0
ω1．（2026·北京·高考真题） （ ），将 向 轴正方向平移 个单位，得到的
函数图像与 图像关于 轴对称，则 的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】将 向右平移 个单位得
.
由题意， 与 的图像关于 轴对称，即 恒成立，
即 . 分两种情形讨论：
① ，对任意 不恒成立，舍去；
② ，化简得
，即 .
由 得 ，
对应 ，因此 的取值个数为3.
2．（2026·天津·高考真题）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
由题意及图得，函数 为奇函数，且当 时， ，
对A选项，当 时， ，与图象不符，故A错误；
对B选项，当 时， ，与图象不符，故B错误；
对D选项，当 时， ，与图象不符，故D错误；对C选项，在 中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
3．（2025·北京·高考真题）设函数 ，若 恒成立，且 在
上存在零点，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】函数 ，
设函数 的最小正周期为T，由 可得 ，
所以 ，即 ；
又函数 在 上存在零点，且当 时， ，
所以 ，即 ；
综上， 的最小值为4.
故选：C.
4．（2025·天津·高考真题） ，在 上单调递增，且 为它
的一条对称轴， 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【解析】因为函数在 上单调递增，且 为它的一条对称轴，
所以 时函数取最大值，
又因为 是它的一个对称中心，
所以 ， ，设 的最小正周期为 ，由正弦函数的对称性可知 ，
即 ，
又 在 上单调递增，则 ，
∴ ，则 ， ，
∵ ，∴ 时， ，∴ ，
当 时， ，
由正弦函数的单调性可知 .
故选：A
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则a的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正切函数的性质， 的对称中心横坐标满足 ，
即 的对称中心是 ，
即 ，
又 ，则 时 最小，最小值是 ，
即 .
故选：B
6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C【解析】因为函数 的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
7．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．
8．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且 的最小值为
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .故选：B.
9．（2024·天津·高考真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在区间
上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为函数 的最小正周期为 ，则 ，所以 ，
即 ，当 时， ，
所以当 ，即 时，
故选：D
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
11．（多选题）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数 和 ，下列说法中正
确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，
显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
12．（2026·上海·高考真题）已知三角函数 （ ， ， ， ），
若 ，当 或 时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则
__________．【答案】
【解析】由题意知， 和 时，导数为0，即 的最小值为0，最大值为4，
又 ，
所以 ，解得 ，故 ；
已知初速度为0，则 ，解得 ，
已知 ，则 ，
速度第一次达到4时用时 秒，则 ，即 ，
此时 ．
13．（2026·全国一卷·高考真题）已知 （ ， ）是偶函数， 在区间
上单调递增．则 __________， __________．
【答案】
【解析】设函数 的最小正周期为 ，由题意可知 ，
因为函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
可得 ，解得 ，
且 ， ，则 .
解法一：因为函数 为偶函数，
则 ， ，且 ，
则 ， ，
若 ，则 ，
即 或 ，不符合题意，
若 ，则 ，即 或 ，符合题意；
且 或 ；
综上所述： ， .
解法二：因为 ，
若函数 为偶函数，则 ，即 ，
且 ，则 ，
若 ，则 ， ，
即 或 在 内恒成立，
可知函数 在 上单调递减，不符合题意，
若 ，则 ， ，
即 或 在 内恒成立，
可知函数 在 上单调递增，符合题意，
且 或 ；
综上所述： ， .
解法三：因为函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，
可知 在 处取到极小值，则 ， ，且 ，
则 ， ，则 ，
即 或 ，符合题意；
且 或 .
14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称.若 ，则 的最大值为________．
【答案】 /
【解析】由题意 ，从而 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .
故答案为： .
15．（2023·北京·高考真题）已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p为假
命题的一组 的值为 __________， _________．
【答案】
【解析】因为 在 上单调递增，若 ，则 ，
取 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 ，则 .
不妨取 ，即 满足题意.
故答案为： .
16．（2026·北京·高考真题）已知函数 ， ， ． 最小正周
期为 ，且 ， ．
(1)求 、 的值；
(2)求 的单调递减区间．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又 的最小正周期为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
（2）令 ， ，可得 ， ，
函数 的单调递减区间为 .
17．（2026·上海·高考真题）已知函数 .
(1)当 ， ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 的最小正周期为 ，且 在 上恰好有1351个解，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时，则 ，
根据 可得 ，故 ，故 ，
由于 ，故 ，故 ，
，则 ，
故函数 在 处的切线方程为 ，故 ，
（2）函数 的最小正周期为 ，故 ，所以 ，
令 ，当 ，则 ，令 ，则 或 ，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，解得 ，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，解得 ，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，无解，
综上可得 或 .
18．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意 ，所以 ；
（2）由（1）可知 ，
所以
，
所以函数 的值域为 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
函数 的单调递增区间为 .
19．（2024·上海·高考真题）已知 ，
(1)设 ，求解: 的值域;
(2) 的最小正周期为 ，若在 上恰有3个零点，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以令 ，
由正弦函数性质得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ，
（2）由题意得 ，所以 ，可得 ，
当 时， ， ，即 ， ，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
所以 ，
即 ，故 .
20．（2023·北京·高考真题）设函数 ．(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．题型一：五点法作图
【例题1】已知函数 .
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 在 上的图象（要求列表），并直接写出
图象的对称中心；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，若 ， ，当
时， 恒成立，求实数 的最大值.
【解析】（1）列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出 在 上的大致图像如图：由图可知函数 图像的对称中心为 ；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，
得到 ，
由题意可知：函数 在 内单调递减，且 的最小正周期 ，
则 ，即 ，解得 ，
因为 ，则 ，
且 ，则 ， ，
可得 ，解得 ，
所以实数 的最大值为 .
【例题2】已知函数 .
(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数 的大致图象，要求：列表，描点，连线；
(2)若方程 在 有两个不同的实数根，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
则列表如下：所以 的图象如图，
（2）因为 ，所以 ，
又 ，结合（1）中图象，可知 在 上的图象如图，
因为方程 在 有两个不同的实数根，
所以 与 的图象有两个交点，故 或 .
【变式1】已知函数 ．(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 在 上的图像；
(2)若函数 的图象向上平移一个单位长度，得到函数 的图象，求不等式 的解集．
【解析】（1）列表如下：
x 0
y 1 2 0 0 1
函数 在区间 上的图象是：
（2）由题意 ，
由 ，
得： ，
即 ，
解得 ，
即不等式 的解集是 .
【变式2】已知函数 ．(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数 在 的图象；
(2)若 ，求 ．
(3)若 ，求 的单调递减区间和对称轴．
【解析】（1）根据题意，列表得
再描点，得图象如下，
（2）根据题意， ，且 ，
解得 ，
又 ，
解得 或 .（3）根据题意， ，且 ，
则 ，
根据正弦函数的图像性质，令 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
所以函数 的对称轴为 ， .
【变式3】设 图象的一条对称轴是直线 ．
(1)求 ，并求函数 的单调增区间；
(2)用“五点作图法”画出函数 在区间 上的图象．
【解析】（1）因为直线 是函数 的一条对称轴，
所以 ，则 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
令 ，
解得 ，所以函数 的单调增区间为 .
（2）由 可知
故函数 在区间 上的图像如下：
题型二：对称性与周期求解
【例题3】下列函数中最小正周期为 的有（ ）个
① ；② ；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】对 ，其最小正周期为 ，故①满足条件；
因为 ，其最小正周期为 ，故②满足条件.
对③，因为 ，所以 不是函数 的周期，故③不
满足条件.
综上，函数中最小正周期为 的有①②，共2个.
【例题4】已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A．函数 的定义域为 且
B．函数 的值域为
C．函数 的最小正周期为
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】C
【解析】对于A，由正切函数的性质可得 ，
又由 ，
因此，函数 的定义域为 且 ，故A错误；
对于B，由
，
因为函数 的定义域为 且 ，
所以 且 ，即 ，
因此 ，所以 ，故B错误；
对于C，由上分析知 ，所以 ，
且 的最小正周期为 ，因此函数 的最小正周期为 ，故C正确；
对于D，由上分析知 ，所以 ，，
显然等式 不恒成立，因此函数 的图象不关于直线 对称，故D错误.
【变式4】将函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象关于 轴对称，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，将函数 的图象向左平移 个单位，
可得平移后的函数解析式为 ，
又平移后的函数图象关于 轴对称，
所以 ， ，
解得 ， ，
因为 ，所以当 时， 可取最小值，即 .
【变式5】设函数 ，若 恒成立，且存在 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ，
由 恒成立，可得 为正整数，
又存在 ，使得 ，则 ，
故 ，即 ，
因为 ，取 时， ，解得 ，
，故 的最小值为3．
【变式6】设函数 （ ），若对于任意的 ，都有 ，且的图象在 上存在对称轴，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，因为 ，所以 是 的一个周期，
所以 ，即 ，其中 ；
令 ，则 ，
因为 的图象在 上存在对称轴，所以 ，即 ；
当 时，不合题意；当 时，解得 ，且 为正整数，
所以 的最小值为3，此时对称轴为 ，符合题意；
当 时，解得 ，综上， 的最小值为3.
【变式7】已知函数 在区间 上单调，其中 为正整数， ，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 的最小正周期 ，
因为 ，所以直线 为 图象的一条对称轴，
由 ，则 ，又 为正整数，所以 1，2或3，
因为直线 为 图象的对称轴，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
若 ，则 ，即 ，不存在整数 使得 1，2或3；
若 ，则 ，
即 ，不存在整数 ，使得 1或3，
当 时， 2，此时 ，由 ，
所以当 时， .
【变式8】已知函数 ，下列结论中：①函数 恒满足 ；②直线
是函数 图象的一条对称轴；③点 是函数 图象的一个对称中心；④该函数在区间
上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】对于①，函数 的最小正周期为 ，
则函数 恒满足 ，故①正确；
对于②，由 ，
则直线 是函数 图象的一条对称轴，故②正确；
对于③，由 ，
则点 不是函数 图象的一个对称中心，故③错误；
对于④，令 ，即 ，
当 时，函数 的单调减区间为 ，故④正确.
【变式9】已知函数 ， ，若 为奇函数，则下列结论正确的是
（ ）A． 是函数 的一个周期
B． 的图象关于直线 对称
C．函数 的一个零点为
D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
由 为奇函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以当 时， ，
所以 ，
对于A，由 ，所以 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，由 ，解得： ，
令 ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，当 时， ，由函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，故D错误.
【变式10】（2026·高三·湖南·阶段检测）函数 的图象关于直线 对称，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】函数 的图象关于直线 对称，所以 ， ，得 ， ，
因为 ，所以当 时， 取最小值，为 ，
故选：A.
题型三：单调区间与最值求解
【例题5】求函数 ， 的单调减区间___________．
【答案】
【解析】令 ， 的单调递减区间为 ，
则 ，解得 ，
取 ，得递减区间 ，与 的公共部分为 ．
【例题6】已知函数 的一条对称轴为 ，且函数 在 上具有单调
性， ，则 的最小值为_______．
【答案】
【解析】因为 的一条对称轴为 ，
所以不妨设 ，代入解析式中，得到 ，
而 ，得到 ，则 ，
解得 ，令 ，得到 ，
则 ，令 ，
解得 ，则 关于 中心对称，
因为 ，且函数 在 上具有单调性，
所以由正弦函数性质得 ，解得 ，故 ，当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故答案为：
【变式11】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数 ，若 ，则 的
最小值是______________.
【答案】 /
【解析】根据周期性和对称性，不妨取 ，即 ，则 ，
对一确定的 ， 取同一单调区间内时有最小，
不妨取 ， ，
故 ，
，函数 在 上单调递增，
故 最小时， 最小，
， ，故 ，
当 ， 时等号成立，
故答案为：
【变式12】函数 的严格减区间为____________.
【答案】 .
【解析】因为对数函数底数 ，外函数为增函数，
故函数 的减区间即为内函数 在定义域 内的减区间，
即 且 是减函数，
，解得 ，
故函数 的严格减区间为：
.
【变式13】如图所示的是函数 的部分图象， ，则函数 的单调递增
区间是___________，其图象的对称轴方程为___________．
【答案】
【解析】由题图可知， ， 则 ， ，
又因为过点 ，则 ，
则 ，又 ，则 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间是 ．
令 ，得 ，
故函数 的图象的对称轴方程为 ．
故答案为： ；
【变式14】若函数 的单调递减区间是__________.
【答案】 .【解析】因为函数 ，令 ，
要求 的单调递减区间，则是求 的单调递增区间.
那么有 ，解得 .
所以函数 的单调递减区间是 .
故答案为： .
题型四：三角函数解析式求解
【例题7】如图是 的图象的一部分，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图像信息，逐步确定函数的参数：
函数的最大值为 ，最小值为 得 ；
图像中从 到 为一个完整周期，
故 ，则 ；
根据以上信息可知函数形式为 ，代入点 得：
， ，解得 ，
则最终解析式为： .【例题8】已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数 的图象，可得 ，可得 ，
所以 ，则 ，
又由 ，可得 ，
可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
【变式15】函数 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由于由图可知： ，故可得 ，因为最大值为2，且 ，故 ，
此时函数解析式为 ，因为图中最高点的坐标是 ，
所以 ， ，解得 ， ．
又因为 ，所以 ，
所以函数解析式为
【变式16】已知 ， ， ，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ， ， 的图象可知， .
因函数图象过最高点 ，且随后经过点 ，
所以函数的最小正周期满足 ，解得 ，因为 ，所以 .
即函数表达式为 .
将点 代入上式，得 ，化简得 .
所以 ，因为 ，可得 .
所以该函数的表达式是 .【变式17】函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 在区间 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D．若 在区间 上恰有一个最大值2和一个最小值 ，则实数 的取值范围为
【答案】D
【解析】由图可得 ，
函数的最小正周期 ，
又 ，所以 ，
则 ，由 ，
得 ，解得 ，
又 ，所以 ，故A错误；
由上分析，得 ，
令 ，
解得 ，
故函数 的单调递增区间为 ；令 ，解得 ，
故函数 的单调递减区间为 ，
则函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，故B错误；
因为 ，
故函数 的图象不关于点 对称，故C错误；
当 时，则 ，
要使 在区间 上恰有一个最大值2和一个最小值 ，需使 ，解得 ，
故D正确．
【变式18】已知函数 的部分图象如图所示，满足 ， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 ，
结合函数图象不妨设 ，依题意有 ，
则有 ， ，
由 ， ，
结合五点法作图，有 ，所以 ，则有 .
【变式19】（2026·高三·河南·期末）函数 的部分图象如图所示，
是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
过点 作 轴于点 ，则由题意得 .
因为 是正三角形，所以 .
设函数 的最小正周期为 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ， ，所以 ， ， ，
所以 ， ，解得 ， .
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 .
故选：B.
题型五：函数奇偶性判断
【例题9】 ，且 则 ______.
【答案】18
【解析】令 ，则 为奇函数，
又 ，故 ，
由 ，得 ，
故 .
故答案为：18
【例题10】将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数
是奇函数，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】由题意可知 ，
因为 为奇函数，所以 ，
则 ，而 时， ； 时， ，
则 的最小值为 ．
【变式20】已知函数 ，将曲线 向左平移 个单位长度后，所得图象关于
原点对称，则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】将曲线 向左平移 个单位长度后，所得曲线解析式为：
，因为 的图象关于原点对称，所以 ，即 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值 .
故答案为：
【变式21】已知 为奇函数，其中 ，则 __________.
【答案】
【解析】易知函数 为奇函数，所以 ， ，
当 时， ，
故答案为： .
【变式22】（2026·广东深圳·一模）若 是偶函数，则有序实数对
可以是__________.（写出你认为正确的一组数即可）.
【答案】 （答案不唯一，满足条件 即可）
【解析】
，
注意到 是偶函数，
所以当 时， 是偶函数，
所以有序实数对 可以是 .
故答案为： （答案不唯一，满足条件 即可）
【变式23】已知 为奇函数，则当正数 取最小值时，函数 的图象的
对称轴方程是______．
【答案】【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以当 时，正数 取得最小值 ，
此时 ．令 ，则 ，
故所求函数 的图象的对称轴方程是 ．
【变式24】将函数 的图像向左平移 个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，
则m的最小值为______．
【答案】 /
【解析】把 图像上所有的点向左平移m个单位长度后，
得到 的图像，
此图像关于y轴对称．
则 ，
解得 ，
又因为 ，
所以m的最小值为 ．
题型六：三角函数图像平移伸缩
【例题11】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象上
所有的点（ ）
A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
C．先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度D．先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】A选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 ，
再向右平移 个单位长度，得到 ，A正确；
B选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 ，
再向左平移 个单位长度，得到 ，B错误；
C选项，先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，
再向左平移 个单位长度，得到 ，C错误；
D选项，先将横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，
再向右平移 个单位长度，得到 ，D错误；
【例题12】将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来
的 ，纵坐标伸长到原来的 倍，得到函数 的图象，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的图象向左平移 个单位长度，则 ，
横坐标缩短到原来的 ，则 ，
纵坐标伸长到原来的 倍，则 .
故选：A
【变式25】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数 的一个零点是 ，为了得到的图象，需要将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】依题意，得 ，得 ，
所以 ， ，
，
需要将函数 的图象向左平移 个单位长度.
故选：A.
【变式26】如图是函数 在区间 上的图象．为了得到这个函数
的图象，只要将 的图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】由题图象知 ，
所以 ．所以 ，又图象过点 ，由五点法知 ，所以 ，
所以 ．
故将函数 的图象先向左平移 个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标
不度），可得函数 的图象．
故答案为：A.
【变式27】将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则 的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得 的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），
可得 的图象，
令 ，得 ，可得 ，
．
【变式28】要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
【答案】D
【解析】 ，将 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到 ；而将 横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到
，AB选项排除；
C选项：将 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 ，
再向左平移 个单位长度，得到 ,不符合要
求；
D选项：将 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 ，
再向左平行移动 个单位长度，得到 ，满足要求，故
D选项正确.
故选：D
题型七：三角函数实际应用
【例题13】一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为 ，转轮中心 距离水面 ，已知转轮按逆时针
方向转动，每120秒转一圈.当转轮上 点到达最高点时开始计时，当 秒时，点 离水面的高度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知转轮转动的角速度为 ，因为转轮的半径为3，转轮中心距离水面为6，设点到水面的高度为 ，根据匀速圆周运动的数学模型有： ，当 秒时， ，所
以点 离水面的高度是 .
【例题14】一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为 米/秒，列车
车轮半径为 米，当 秒时，车轮上的点 恰好与铁轨表面接触（即 位于最低点）．设经过时
间 秒，点 到铁轨表面的高度为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据 得 ，当 秒时，点 位于最低点，
则经过时间 秒后车轮转过的角度 ，
则点 到铁轨表面的高度为 .
得到 符合初始条件.
【变式29】我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做
成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并
拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的
图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移 （纵坐标）随时间 （横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根
长为 的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移 （单位：cm）与时间
（单位：s）的函数关系是 ，其中 ， ，则估计线的长度应当是（精确到
0.1cm）（ ）A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm
【答案】C
【解析】因为函数的图象过 ，所以 ，即 ，
因为 是摆动的第一个最高点，所以 ，
所以 ．
【变式30】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图
1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车
水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现
时（图3中点 ）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且
，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．当点P运动 秒时，距水面的高度为 米
【答案】D
【解析】筒车半径为2米，故振幅为 ，圆心距水面1米，故平衡位置 ，故A正确；
已知每分钟转4圈，周期 秒，角速度 ，故B正确；时，点 在水面， ，代入公式 ，解得 ，
，且 在第四象限， ，故C正确；
秒时， ，
米，故D错误．
【变式31】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 秒时相对于平衡位置的高度 厘米由关系式
确定，其中 ， ， ，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高
点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．当 时，若小球有且只有三次到达最高点，则
C． 秒与 秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2
D．小球在 秒时位于平衡位置
【答案】B
【解析】由题，小球运动的周期 ，
又 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，即 ， ，
所以 ，则 ，故A错误；
若 ，则 ，
又当 时，小球有且只有三次到达最高点，所以 ，解得 ，即 ，故B正确；
因为 ， ，
所以 秒与 秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 ，故C错误；
因为 ， ，
这时是最高点不是平衡位置，故D错误.
【变式32】如图，单位圆与射线 在第二象限交于点 ，一动点在圆 上以点 为起始点，沿逆
时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点纵坐标 关于运动时间 的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意： ，
又射线 对应的角 满足 ，
可取： ，
则 ．
题型八：三角最值常用解法
【例题15】函数 的最大值与最小值之和为___________．【答案】
【解析】令 ，已知 ，由正弦函数的性质可得：
在该区间的最小值为 ，最大值为 ，因此 ，
故原式化为： ，开口向上，对称轴为 ，因此函数在 上单调递增，
时， ， 时，
最大值与最小值之和为： .
【例题16】（2026·高三·北京·开学考试）若函数 的最小值为 ，则常数 的一个
取值为______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ，
要想 的最小值为 ，
需要 同时成立，
由 得到 ， ，
不妨取 ，则 ，即 ，
解得 ，取 ，得 .
故答案为： （答案不唯一）
【变式33】已知实数 满足 ，则 的最大值和最小值之和为__________.
【答案】4
【解析】由题设，令 ， ，且 ，
所以 ，且 ，
所以 的最大、最小值分别为 、 ，故它们的和为4.
故答案为：4.【变式34】若函数 ，则 的最大值为______， 的单调递减区间为
______．
【答案】
【解析】
，
．
令 ，
，
的单调递减区间为 ．
故答案为： ； .
【变式35】已知 ，满足 ，则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】 ， ， ;
，即 ，
又 ，， 当 时， 取到最大值 .
的最大值为 .
【变式36】函数 的最大值与最小值之差为_______.
【答案】4
【解析】 .
因为 ，则 ，所以
所以最大值与最小值之差为4.
【变式37】已知 ，且满足等式 ，则 的最小值为______．
【答案】 /
【解析】因为 ，故 ，而 ，
且 ，故 且 ，
故 且 ，故 ，
故 ，故 ，
故 的最小值为 ，
故答案为： .
【变式38】函数 的值域为______________.
【答案】
【解析】法一：设 ，则 ，
由辅助角公式得 ，
所以 .解得 .
法二：函数 ，
函数值等价于点 到单位圆上一点连线的斜率，
如图所示：
设直线方程为： ，即 ，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即 ，解得 ，
故 .
【变式39】如图，扇形的半径为1，且 ，点 在弧 上运动，若 ，则 的
最小值是______．
【答案】1
【解析】由题意得， ， ， ，
由 ，等式两边同时平方，得 ，
所以 ，令 ，则 ，
则 ，其中 ，因为 ，所以 ，所以 ，
即 的最小值为1.
【变式40】（2026·山西忻州·模拟预测）已知实数x，y满足 ，则 的最大值为
__________．
【答案】 /
【解析】因为 ，则可设 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故当 ， ，即 ， 时， 取最大值为 ，
即当 ， 或 ， 时， 取最大值为 .
【变式41】函数 的值域为______.
【答案】
【解析】解法一： ，
因为 ，所以 ，
因此 或 ，
则 或 ，
故 的值域为 .
解法二：由 化简可得 ，
易知 ，所以 ，则 ，解得 或 ，
故 的值域为 .
题型九：三角函数性质综合题型
【例题17】已知函数 （ ）的图像关于点 对称．
(1)求 的值和 在区间 上的值域；
(2)若 ，函数 在区间 上单调递增，求 的值；
(3)设 ，若对任意的 ， ，都有 ，求实数a的
取值范围．
【解析】（1）由题意可知 时， （ ），
即 ，又 ，所以 ，
即 ，
当 时， ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
则此时 ，所以 在区间 上的值域为 ；
（2）由上知 ，所以 ，显然 ，即 ，
当 时， ，
若要符合题意需 ， （ ），解不等式得 ，易知 ，则 ，此时 ．
（3）因为对任意的 ， ，都有 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
，
令 ，则 ， ．对称轴为 ，
所以① ，可得 ，
② ，可得 ，
③ ，可得 ，
综上 ．
【例题18】已知函数 ．
(1)求函数 的周期、单调增区间、对称中心；
(2)当 时，求函数 的值域；
(3)当 时，方程 有3个不同的实数根，求实数 的取值范围．
【解析】（1）先化简函数：.
所以函数 的周期 .
由 ， ，
所以单调增区间为 ， .
由横坐标为 ， ，纵坐标为 ，
所以对称中心为 ， .
（2）由 ，得 ， ，
所以 .
（3） ，解得 ，
所以当有3个实数根时，依次为 ， ， ；
当有4个实数根，此时 为临界点，
由条件可知 临界点为开区间，为满足条件，可知 .
【变式42】设函数 .
(1)求函数 在 上的最大值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)若方程 在 上有四个不相等的实数根，求 的取值范围.
【解析】（1）令 ，
则 变为 ，
①当 ，即 时， ，
②当 ，即 时， ，③当 ，即 时， ，
综上可知， .
（2）若要 ，则需 ，
当 时， ，
函数 变为 ，
所求问题变为 恒成立，
易知 的图象是开口向下的抛物线的一部分，
最小值一定在区间端点处取得，所以有
，
解得 ，故 的取值范围是 ；
（3）令 .由题意可知，当 时，
关于 的方程 在 时有两个不等实数解，
所以原题可转化为 在 内有两个不等实数根，
令 ，则有 ，
解得 ，即 的取值范围是 .
【变式43】已知向量 ， ，函数 .
(1)求函数 的解析式和图象的对称中心；
(2)若函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，且关于x的方程
在 上有3个不同的解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题 ，
令 ，所以函数 图象的对称中心为 .
（2）由题得 ，
因为方程 在 上有3个不同的解，
所以由二倍角公式得 在 上有3个不同的解，
因为 时， ，故 是方程 的一个解，
所以 在 上有2个不同的解，
此时 ，所以 即 在 上有2个不同的解，
图像如下：
所以由三角函数图像可知 ，即 .
故方程 在 上有3个不同的解，则实数 的取值范围为 .
【变式44】对于分别定义在 ， 上的函数 ， 以及实数 ，若任取 ，存在 ，使得
，则称函数 与 具有关系 .其中 称为 的像.
(1)若 ， ； ， ，判断 与 是否具有关系
，并说明理由；
(2)若 ， ； ， ，且 与 具有关系
，求 的像；
(3)若 ， ； ， ，且 与 具有关系，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 与 不具有关系 ，
理由如下： 时， ， ，所以
，
则 与 不具有关系 ；
(2) 或 或 ；
(3) 或 ，
（2）由题意可知
，
所以 ，
又 ，所以 ，
解之得 或 或 ，
即 的像为 或 或 ；
（3）对于 ，则 ，所以 ，
即 ，
因为 与 具有关系 ，
所以要满足题意需 ，使得 即可.
令 ，
令 ，则 ，设 ，
①若 ，即 时， ，
则 ，②若 ，即 时， ，
则 ，
③若 ，即 时， ，
则 或 ，显然无解，
④若 ，即 时， ，
则 或 ，显然无解，
综上所述： 或 ，
【变式45】定义：非零向量 的“特征三角函数”为 ，向量 称为函数
的“特征向量”.
(1)若 ，求 的“特征向量” 的坐标；
(2)设向量 的“特征三角函数”为 ，若关于x的方程 在 上有两个不同的实根，
求k的取值范围；
(3)设向量 的“特征三角函数”为 ，若函数 的最小值不小于 ，求a的取
值范围.
【解析】（1）由题意可得：
，
则 的“特征向量” .
（2）由题意可得 ，其中 （ ）.
因为关于x的方程 在 上有两个不同的实根，
所以关于x的方程 在 上有两个不同的实根.
当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ， ， ，
所以 ，即 .
（3）由题意可得 .
设 ，
则 ，所以 （ ）.
当 ，即 时， 在 上单调递增，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，解得 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 .
综上，a的取值范围是 .
【变式46】（2026·高三·湖北·开学考试）已知函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)若 ，求出 的单调递减区间.
【解析】（1）.
的最小正周期为 .
（2） 令 ，则 ，
又 函数 在 上单调递减，即 时， 的单调递减，
当 时， 的单调减区间为 .
【变式47】（2026·高三·北京·阶段检测）已知函数 ，且 ．
(1)求a的值；
(2)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(3)若对于任意的 ，总有 ，直接写出m的最大值．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，所以
，所以 ，所以 ，
（2）由(1) ，化简得 ，
所以 ，
所以函数 的最小正周期 ，
由 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ；
（3）由 ，可得 ，所以 ，所以
， ，化简可得由对于任意的 ，总有 可得 的最大值为 .1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，则 在区间
上的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，于是 ．
当 时， ．
余弦函数在该区间内单调递减，所以 在 上单调递增，
所以 ．
2．（2026·云南曲靖·二模）若曲线 的一个对称中心为 ，则 不可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．12
【答案】D
【解析】 ，
，
当 时， ，A满足；
当 时， ，B满足；
当 时， ，C满足；
当 时， ，D不满足．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 图象相邻的两个对称中心间的距离
为 ，若 ，则函数 图象的一个对称中心为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得 ， ，又 ，所以 ，
所以 ，则 ，
则 ，又 ，则 ，故 ，
令 ，解得 ，
结合选项可得当 时， ，
故 是 图象的一个对称中心，其余选项皆不符合.
4．记函数 的最小正周期为T，若 ，且 的图像关于点
中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】因为函数 的最小正周期为 ，且 ，
可得 ，
又因为函数 的图像关于点 中心对称，可得 ，且 ，
所以 ，即 ，可得 ，
解得 ，由 ，可得 ， ，即 ，
所以 ．
5．已知函数 的图象关于直线 对称，若将函数 的图像向左或向右平移
个单位长度后，得到函数 的图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，则 ，
则由 可得 ，当将 的图象向左平移 个单位，
可得 ，
由于 的图象关于 轴对称，故 为偶函数，所以 ，
故 ，由于 ，所以 的最小值 ，
当将 的图象向右平移 个单位，可得 ，
由于 的图象关于 轴对称，故 为偶函数，
所以 ，故 ，
由于 ，所以 时， 的最小值 .
综上 的最小值 .
6．（2026·海南儋州·二模）若函数 图象的一条对称轴为 ，函数图
象上到直线 距离最小的一个对称中心为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该函数的最小正周期为 ，
因为函数图象上到直线 距离最小的一个对称中心为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
又因为该函数图象的一个对称中心为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以令 ，得 .
7．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数 ，对任意的 满足
且 恒成立，若 在 上单调递增，则当 时， 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，对任意的 ， 恒成立，说明 是 的最小值，
即 ， 是 的零点；
对任意的 ， 恒成立，说明 是 的最大值，即 是 的最值点.
两点横坐标差为 ，零点对应的点到相邻最值点的距离为 ，则 .
对 ，周期 ，得 .
由 得 ，故 ，
结合 ，得 ， .
验证单调性： ，当 时，则 ，
由于 在 单调递增，且 ，满足 在该区间单调递增.
则当 时， ， 在 的最小值为 ，因此 .
8．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数 的图象，只需把函数 图象上的（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
【答案】B
【解析】对函数 做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标保持不变，
得到新函数 的图象，
根据平移变换的“左加右减”规则，将 变形为目标函数： ，
可知需要将 的图象向右平移 个单位，即可得到目标函数的图象，
B选项正确.
9．（多选题）（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B． 的图象可由曲线 向左平移 个单位长度得到
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上的值域为【答案】ACD
【解析】由函数 的图象可知： ,
又因为 ,即 则得 ,故A正确；
因 ,结合函数图象可得
所以 ,即 ．
而曲线 向左平移 个单位长度得到 ,故B错误；
当 时,可得 ,故 的图象关于直线 对称,故C正确；
当 时, ,则 ,故D正确．
10．（多选题）（2026·云南·三模）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，若 的图象与 的图象关于 轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C． 是 的一条对称轴
D．对任意的 ，都存在 ，使得
【答案】ACD
【解析】对于A，根据题意得， ，
因为 的图象与 的图象关于 轴对称，所以 ，
即 ，
可得 或 ，
因 ,则得 ，又因 ，所以 ，故A正确；对于B，由A得 ，所以 ，故B错误；
对于C，由 ，可得 ，当 时， ，故C正确；
对于D，当 时， ，此时 ，
而当 时， ，此时
所以 ，故D正确.
11．（多选题）（2026·河南·二模）将函数 图象向左平移 个单位长度后得到
一偶函数图象，则当 取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 为奇函数
C．函数 在区间 单调递增
D．函数 的图象在 处的切线斜率为1
【答案】ACD
【解析】由题意将函数 向左平移 个单位得到的函数解析式为
，若其为偶函数，
则 ， ，解得 ， ，
又因为 ，所以 最小值为2， ．
函数 的最小正周期为 ，故A正确；
函数 为非奇非偶函数，故B错误；
，又 在 上单调递增，
所以函数 在区间 单调递增，故C正确；，
所以函数 在图象 处的切线斜率为1，故D正确．
12．（2026·江苏无锡·三模）将函数 的图象向左平移 个单位，得到的图象关
于 轴对称，则 _______．
【答案】
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位，
得到 ，由于此函数的图象关于 轴对称，
则 ，即 ，
又 ，则 .
13．（2026·北京海淀·三模）已知函数 ，则 的最大值为______，将函数
图象向右平移 个单位 得到函数 ，若对任意 ，都有 成立，则常数
的最小值为______．
【答案】 /
【解析】∵ ，
由平方差公式及余弦二倍角公式可得：
，
∵ ， ∴ 的最大值为 .
将函数 的图象向右平移 个单位，可得：
，
∵ 对任意 ，都有 ，即 ，
∴ 是定义在 上的奇函数，∴ ， 即 ，
又∵ ， ∴ 当 时， 取得最小值 .
14．（2026·北京丰台·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则
___________；若将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，请写出 的图象的
一条对称轴方程：___________.
【答案】 2 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】设函数 的最小正周期为 ，
则 ，即 ，
且 ，则 ，所以 ；
由图可知： 为函数 的对称轴，
结合函数 的周期可知函数 的对称轴为 ，
又因为将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
所以函数 的图象的对称轴方程为 ，
所以 的图象的一条对称轴方程为 .
15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数 ， 图象的相
邻对称轴之间的距离为 ．
(1)求函数 的单调递增区间；(2)将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 个单位
得 的图象，若关于 的方程 在 上只有一个解，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，
，
， ，
因为 图象的相邻对称轴之间的距离为 ，所以 的最小正周期为 ，
所以 ，得 ，所以 ．
令 ．则 ，
所以 的单调递增区间为 ．
（2）由（1）知 ，
将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标伸长为原来的2倍，
得到函数 的图象，
再向左平移 个单位得 的图象．
令 ， ，则 ，
所以 ，
因为 在 上只有一个解，由 的图象（如图）可得， 或 ，
所以 的取值范围是 .
16．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数 ，将曲线 向左平移 个单位
长度，得到曲线 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，锐角 满足 ， 的面积为 ，
求 的最小值．
【解析】（1）函数 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由（1）得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，则 ，解得 ，
由 的面积为 ，得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，当且仅当 时取等号，
因此 ，所以a的最小值为2.
17．已知函数 ，且 的图像过点 .
(1)求 的值及函数 的最小正周期；
(2)将 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像，已知 ，求 的
值.
【解析】（1）函数
.
因为 的图像过点 ，所以 ，所以 ， ，即 .再结合 ，可得 ，
所以 ，故它的最小正周期为 .
（2）将 的图像向右平移 个单位，
得到函数 的图像.
因为 ，所以 ，
所以 .
18．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数 的最小正周期为 ， .
(1)求 和 ；
(2)若将 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，求 在 的最小值.
【解析】（1）已知函数 最小正周期 ， ，
由 ，得 ，解得 ，
将 代入 ，得 ，即 ，
因此 ， ，即 ， ，
又 ，令 ，得 ，满足条件，
故 ， ；
（2）由（1）知 ，
将 图象向左平移 个单位长度，
得 ，
当 时， ，由正弦函数性质可知，当 ，即 时，函数 有最小值，
所以 在 的最小值为 .
19．（2026·江苏扬州·三模）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期
内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
(1)求函数 的解析式；
(2)将 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，且其图象关于 轴
对称，求 在 上的解集．
【解析】（1）根据五点法完善表格部分数据如下：
0
0 2 0 0
由题意知 ，解得 ， ，
又 ，解得 ，所以 ．
（2）因为 为偶函数，
所以 ， ，
又 ，所以 时， .， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 .
则 ，解得 .
所以 在 上的解集为 .
20．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数 在某一周期内
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象.当 时，求函数 的值域；
(3)设函数 的图象与直线 在区间 上的两个交点的横坐标分别为 、 ，求
.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
又因为 ，故 ，
由 可得 ；由 可得 ；由 可得 .
完善表格如下：（2）由题可得 ，
当 时， ，则 ，
函数 的值域为 .
（3）函数 的图象与直线 在区间 上的两个交点的横坐标分别为 、 ，
当 时， ，由 可得 ，
所以直线 是 的一个对称轴，而区间 的区间长度为一个周期.
所以两个交点关于直线 对称，且 ，
所以 ，
所以
.
