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三角函数的图像与性质
3-4
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在 上的性质．
3-4 三角函数的图像与性质........................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图...............................2
考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).....................2
2π
T=
（1）最小正周期： w ..............................................2
（2）定义域与值域：..................................................2
（3）最值............................................................2
（4）对称轴与对称中心................................................3
（5）单调性..........................................................3
（6）平移与伸缩......................................................4
【常用结论总结】.........................................................4
二、分类题型................................................................5
题型一 三角函数的定义域和值域............................................5
题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性..................................8
题型三 三角函数的单调性.................................................11
命题点1 求三角函数的单调区间.......................................11
命题点2 根据单调性求参数...........................................13
三、分层训练：课堂知识巩固.................................................15一、主干知识
考点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
y=sinx x∈[0，2π]
(1)在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是： ．
(2)在余弦函数y=cosx， x∈[0，2π] 的图象中，五个关键点是： ．
考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
T T
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2 ；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是2 ；
T
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4 ；
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π]
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x ＝ k π知识点三：y=Asi n(wx+ϕ)与y=Acos(wx+ϕ)(A>0,w>0)的图像与性质
2π
T=
w
（1）最小正周期： .
（2）定义域与值域：
y=Asi n(wx+ϕ)
，
y=Acos(wx+ϕ）
的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
A>0，w>0
假设 .
π
{ 当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
2
π
当wx+ϕ=− +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值−A;
y=Asi n(wx+ϕ) 2
①对于 ，
{ 当wx+ϕ=2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
y=Acos(wx+ϕ）
当wx+ϕ=2kπ+π(k∈Z)时，函数取得最小值−A;
②对于 ，
（4）对称轴与对称中心.
A>0，w>0
假设 .
π
{当wx+ϕ=kπ+ (k∈Z)，即si n(wx+ϕ)
0 2 0
¿±1时，y=si n(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx+ϕ=kπ(k∈Z)，即si n(wx+ϕ)=0
0 0
y=Asi n(wx+ϕ)
时，y=si n(wx+ϕ)的对称中心为(x
0
,0).
①对于 ，
当wx+ϕ=kπ(k∈Z)，即cos(wx+ϕ)=±1
{ 0 0
时，y=cos(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
π
当wx+ϕ=kπ+ (k∈Z)，即cos(wx+ϕ)
0 2 0
y=Acos(wx+ϕ）
¿0时，y=cos(wx+ϕ)的对称中心为(x
0
,0).
②对于 ，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位
置.（5）单调性.
A>0，w>0
假设 .
π π
{ wx+ϕ∈[− +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒增区间；
2 2
π 3π
wx+ϕ∈[ +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒减区间.
y=Asi n(wx+ϕ) 2 2
①对于 ，
{wx+ϕ∈[−π+2kπ,2kπ](k∈Z)⇒增区间；
y=Acos(wx+ϕ）
wx+ϕ∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)⇒减区间.
②对于 ，
（6）平移与伸缩
π
y=2sin(2x+ )+3
y=sinx 3
由函数 的图像变换为函数 的图像的步骤；
π π
(x→x+ →2x+ )
2 3
方法一： .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想
欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
π
y=sinx的图像 ⃗ 向左平移 π 个单位 y=sin(x+ )的图像
3 3
π π
y=sin(2x+ )的图像 y=2sin(2x+ )的图像
3 3
π
y=2sin(2x+ )+3
⃗向上平移3个单位 3
π π
(x→x+ →2x+ )
2 3
方法二： .先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
y=sinx的图像
y=sin2x的图像 ⃗
向左平移
π
个单位
6
π π
y=sin2(x+ )=sin(2x+ )的图像
6 2
π π
y=2sin(2x+ )的图像⃗向上平移3各单位 y=2sin(2x+ )+3
3 3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期
后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言
x wx+ϕ
的，即图像变换要看“变量 ”发生多大变化，而不是“角 ”变化多少.
【常用结论总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之
间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．二、分类题型
题型一 三角函数的定义域和值域
【例题精析1】 函数 在 上的值域为______．
【解答】 ，则 ，于是 ，所以所求值域为 .
故答案为：
【例题精析2】 求 的最小值是_____
【解答】 ,
令 , ,
当 , .故答案为:
【例题精析3】 若 ，则 的取值范围是______.
【解答】由题意，
，而 ，则 ，
当 时，解得 或 ；当 时，解得 ，综上： .故答案为： .
【例题精析4】 函数 的定义域是__________.
【解答】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域是 .
故答案为： .
【例题精析5】 函数 的值域为______．
【解答】当 时， ， ，
即 的值域为 .
故答案为： .
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．【对点精练1】 函数 的值域是__________．
【解答】 ，因为
所以函数的值域为 .故答案为： .
【对点精练2】 函数 的值域为______.
【解答】 ，
，则 ， ，故 .故答案为：
【对点精练3】 函数 的定义域为________．
【解答】由 ，得 ， ，
在数轴上表示如图所示，
所以 ，
故答案为： ．
【对点精练4】 函数 在 上的值域为__________．
【解答】由 ，可得 ，
根据正切函数的性质，可得 ，即函数 在 上的值域为 .
故答案为： .
题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例题精析6】 ，若 ，则 ______．
【解答】因为 ，所以 ，
所以 .故答案为：0.
【例题精析7】 函数 ， 是偶函数，则实数 ________．
【解答】解：因为 是偶函数，令 ，由于根据诱导公式可得 ，故答案为： .
【例题精析8】 若函数 为奇函数，则实数 的值为______．
【解答】设 ，由于 是奇函数，所以 即
，整理得
，因为 不恒为0，所以 ；故答案为：0
【例题精析9】 函数 的最小正周期为____.
【解答】 的最小正周期 ；故答案为：1
【例题精析10】 函数 的图象的对称轴方程是______（ ）．
【解答】令 ,解得 ，
即函数 的图象的对称轴方程是 ，故答案为：
【例题精析11】 若 是奇函数，则 _________.
【解答】由题设 且 ，故 ， ，
又 ，故 有 .故答案为：
【例题精析12】 函数 的最小正周期为__________.
【解答】函数 的最小正周期为 .故答案为： .【例题精析13】 已知函数 的图象关于直线 对称，则 ___________．
【解答】因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
即 ，又 ，所以 ．故答案为：
【例题精析14】 已知函数 的最小正周期为 ，则a的值为__________．
【解答】因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，即 .故答案为： .
【例题精析15】 已知函数 ，则 的对称中心为__________.
【解答】 ，所以 的对称中心为 ,所以
的对称中心为 .故答案为： .
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶
函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数 y＝
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
【对点精练1】 已知定义域为 的奇函数 则 的值为__________．【解答】因为函数 是定义在 上的奇函数，
则有 ，解得 ， ，解
得 ，
所以 .故答案为：0
【对点精练2】 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 __________.
① ；② ， ；③ 是奇函数.
【解答】由题设性质知： 在 上递减，周期为4的奇函数，
显然 满足上述性质.故答案为： （答案不唯一）
【对点精练3】 函数 的最小正周期为______．
【解答】函数 ，所以所求最小正周期为 .故答案为：
【对点精练4】 已知函数 的图象关于点 对称，则 __________.
【解答】解：因为函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，所以 ， ，因为 ，
所以 .故答案为：
【对点精练5】 已知函数 是偶函数，则 的取值是______
【解答】令 ，则 ，所以 的值为 .
故答案为： .
【对点精练6】 函数 的最小正周期为____________．【解答】直接根据余弦函数周期公式得 ，故答案为： .
【对点精练7】 已知函数 图象的一条对称轴为 ．若 ,则 的最大______．
【解答】由题知 .所以
因为 ,所以当 取最大值 ；故答案为：
【对点精练8】 已知函数 ，其中 ，若 ，则 ______．
【解答】设 ，则 ，因为 ，所以 为奇函
数， ，所以 ，则 ，
所以 ，故答案为:2.
【对点精练9】 函数 的图象的对称中心为___________.
【解答】∵ 的对称中心为 ，∴令 ，则 ，即
的对称中心为 .
故答案为： .
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
【例题精析16】 函数 ， 的增区间为______．【解答】由 ，可得 ，令 ，解得 ，
即函数 在 的单调增区间为 .故答案为： .（开闭均可）
【例题精析17】 函数 的单调减区间为__________．
【解答】
令 得 ,解得 ，
所以单调减区间是 ，
故答案为：
【例题精析18】 不等式 的解集是________．
【解答】正切函数最小正周期为 ，在 上单调递增， ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
【对点精练10】 函数 的单调递减区间为______.
【解答】因为，令 ， ，解得
， ，所以函数的单调递减区间为 ， .故答案为：
，
【对点精练11】 函数 的递增区间为___________.
【解答】因为 ，令 ,
解得 ，所以递增区间为 ，
故答案为: .
【对点精练12】 函数 的单调递增区间为______．
【解答】由 ，
解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 （ ）
故答案为： （ ）命题点2 根据单调性求参数
【例题精析19】 已知函数 的图象关于直线 对称，且 在区间 内单调，
则 的最大值为________．
【解答】因为区间 的左端点为对称轴，且 在区间 内单调，
所以 ，其中 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 的最大值为 .故答案为： .
【例题精析20】 已知函数 ，若 在区间 上为单调函数，则 的取值范
围是______．
【解答】因为 ，所以 ，
在区间 上为单调函数，又由余弦函数的单调性可得
，所以 ．故答案为：
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整
体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【对点精练13】 已知函数 ， ，若 ，且 在 上
单调递增，则 的值为________．
【解答】 ，
由 ，得 ，
故 ，∴ ， ，又 在 上单调递增，∴ ，又 ，∴
，故当 时， ．故答案为： .
【对点精练14】 若函数 在区间 上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 ．故答案为：
【对点精练15】 若函数 在 上为严格减函数，则实数 的取值范围是_____________．
【解答】因为函数 的单调递增区间为 ， ，
且函数 在 上为严格减函数，
所以 ，解得 ，即 .故答案为： .三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022秋•呼和浩特期末）设 是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ，当 时，满足 是第三象限角，
但 ，故 错误；
对于 ， ， ，
则 ， ，
故 在第二象限或第四象限，
所以 符合题意．
故选： ．
2．（2023•江西模拟）已知函数 ，则A． 的最小正周期是
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D． 在 上的值域是
【解答】解：
，
对于 ， 的最小正周期 ， 错误；
对于 ，当 时， ，此时 单调递减，
在 上单调递增， 正确；
对于 ，令 ，解得 ，此时 ，
的图象关于点 对称， 错误；
对于 ，当 时， ，则 ，
在 上的值域为 ， 错误．
故选： ．
3．（2022秋•朔州期末）点 在平面直角坐标系中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：因为 ， ，
故 为第三象限角，
故 ，
因为8与 终边相同，又 ，故8是第二象限角，故 ，则 点在第三象限．
故选： ．
4．（2023•陕西模拟）已知函数 的图象的相邻两条对称轴间的距离为
， ．则下列选项正确的是
A．
B． 的图象的对称轴方程为
C． 的单调递减区间为
D． 的解集为
【解答】解： 函数 的图象的相邻两条对称轴间的距离为 ， ，故 错误；
， ， ， ．
令 ， ，求得 ， ，
则 的图象的对称轴方程为 ， ，故 错误；
令 ， ，求得 ， ，
则 的单调递减区间为 ， ， ，
令 ，可得 ，
故由 ，求得 ， ，
所以 的解集为 ， ， ，故 正确，
故选： ．
5．（2021•乙卷）函数 的最小正周期和最大值分别是A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【解答】解： ，
．
当 时，函数 取得最大值 ；
函数 的周期为 ，最大值 ．
故选： ．
6．（2023•西夏区校级三模）已知函数 ，若函数 在区间 上有且只有两
个零点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： 时，
可得： ， ．
要是函数 有且只有两个零点，
则 ，
解得： ．
故选： ．
7．（2023•宣城一模）设函数 在 ， 的图象大致如图所示，则 的最小
正周期为A． B． C． D．
【解答】解：由图象知函数的周期 ，即 ，得 ，
，当 时，函数 的图象是 向左平移得到，
由五点对应法得 ，
即 ，
即 ，
则 的最小正周期为 ，
故选： ．
8．（2023•奉贤区二模）下列函数中，以 为最小正周期且在区间 单调递增的是
A． B． C． D．
【解答】解：由于 的周期为 ，故 不满足条件；
由于 的周期为 ，故 不满足条件；
由于 的最小正周期为 ，在区间 上， 单调递增，故 满足
条件；
由于 的最小正周期为 ，在区间 上， 单调递减，故 不满足条件，
故选： ．9．（2023•临高县模拟）下列函数中，最小正周期为 的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数 、 的周期为 ，
故选： ．
10．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知 是第二象限角，则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： 是第二象限角，
， ，
．
点 在第四象限．
故选： ．
11．（2023•东城区校级模拟）如果函数 的两个相邻零点间的距离为2，那
么 （1） （2） （3） （9）的值为
A．1 B． C． D．
【解答】解：函数 ，
且 的图象两个相邻零点间的距离为2，
所以 的最小正周期为4，
即 ，解得 ；
所以 ，
所以 （1） （2） （3） （9）．
故选： ．
12．（2023•雨花区校级一模） 的最小正周期是
A． B． C． D．
【解答】解：根据 的图象，如图所示：
可得 的周期，即 的周期为 ，
故选： ．
13．（2023春•浦东新区校级期中）为了使 在区间 ， 上至少出现50次最大值，则
的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解： 使 在区间 ， 上至少出现50次最大值
，即 ，
．故选： ．
14．（2022•乙卷）记函数 ， 的最小正周期为 ．若 ，
为 的零点，则 的最小值为 3 ．
【解答】解：函数 ， 的最小正周期为 ，
若 ， ，则 ，
所以 ．
因为 为 的零点，所以 ，
故 ， ，所以 ， ，
因为 ，则 的最小值为3．
故答案为：3．
15．（2020•上海）已知函数 ， ．
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域．
【解答】解：（1）由于 的周期是 ，所以 ，所以 ．
令 ，故 或 ，整理得 或 ．
故解集为 或 ， ．
（2）由于 ，
所以 ．
所以 ．由于 ， ，
所以 ．
，
故 ，
故 ．
所以函数 的值域为 ．
1．（2023•广西模拟） 的值所在的范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
且 ，所以 ，
所以 ，
所以 的值所在的范围是 ， ．
故选： ．
2．（2022春•莲湖区期末）已知 为第三象限角，则
A． B． C． D．
【解答】解： 为第三象限角，则 ， ；
所以 ， ；所以 是第二或第四象限角，
当 是第二象限角时， ， ，
当 是第四象限角时， ， ，选项 错误；
所以 ， ；
所以 是第一或第二象限角或终边在 轴正方向上，
当 是第一象限角时， ， ，
当 是第二象限角时， ， ，
当 终边在 轴正半轴上时， ， ，选项 正确，选项 错误．
故选： ．
3．（2021春•郫都区校级月考）已知函数 ，则函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
【解答】解：由二倍角公式得 ，
，
又
，
故函数 的最小正周期是 ．
故选： ．
4．（2021•河南学业考试）函数 是
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
【解答】解： ，故为偶函数，，
故选： ．
5．（2020春•琼山区校级期中）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故选： ．
6．（2020•二模拟）已知函数 的最小正周期为2，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：函数 的最小正周期为2，
则 ，解得 ；
所以 ．
故选： ．
7．（2022秋•九龙坡区校级期末） 的值可能是
A．2 B．3 C． D．0
【解答】解：①当角 在第一象限时，
， ， ，
；
②当角 在第二象限时，
， ， ，；
③当角 在第三象限时，
， ， ，
；
④当角 在第四象限时，
， ， ，
；
故选 ．
8．（2021春•工业园区校级月考）已知函数 ，则下列说法中正确的有
A．函数 的值域为
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．函数 的最小正周期为
D．函数 在 上是增函数
【解答】解：由三角函数性质可知当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ．
所以 ， ，，所以函数 的一个周期为 ，
作出函数 在 ， 上的图象如图所示，
由图可知 错误， 正确， 正确， 错误．
故选： ．
9．（2022春•碑林区校级期末）给出下列命题：
①函数 不是周期函数；
②函数 在定义域内为增函数；
③函数 的最小正周期为 ；
④函数 ， 的一个对称中心为 ， ．
其中正确命题的序号为 ①④ ．
【解答】解：①函数 不是周期函数；它是偶函数，不是周期函数，正确；
②函数 在定义域内为增函数；在每一个单调区间是增函数，定义域内不是增函数．
③函数 的最小正周期为 ；它的周期是 ，所以不正确；
④函数 ， 的一个对称中心为 ， ．把 ， 代入函数成立，正确．
故选①④
10．（2022秋•松山区校级期末）已知函数 ，（1）求函数 的最小正周期；
（2）函数 的单调递增区间和对称轴方程．
（3）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数
， ，
函数 的最小正周期为 ；
（2）令 ， ，
解得 ， ，
函数 的单调递增区间为 ， ， ；
令 ，
解得 ， ，
对称轴方程为 ， ；
（3）当 ， 时， ， ，
， ，
时， 取得最小值为 ；
当 时， 取得最大值为 ；
函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ．1．若对任意实数 ，函数 在区间 ， 上的值 出现不少于4次且不多
于8次，则 的值为
A．2 B．4 C．3或4 D．2或3
【解答】解：函数在一个周期内有且只有 2个不同的自变量使其函数值为 ，因此该函数在区间 ，
（该区间的长度为 上至少有2个周期，至多有4个周期，
因此， ，即 ， ，解得 ，
又 ，从而 或3．
故选： ．
2．已知函数 ，给出下列四个命题：
①若 ，则 ② 的最小正周期是 ；
③ 在区间 上是增函数； ④ 的图象关于直线 对称；
⑤当 时， 的值域为 ．
其中正确的命题为
A．①②④ B．③④⑤ C．②③ D．③④
【解答】解：由题意可得： ，
① ，但是不满足 ，所以①错误．
②根据周期公式可得： 的周期为 ．所以②错误．③ 的单调增区间为 ， ， ，显然③正确．
④ 的所有对称轴为 ，显然④正确．
⑤ ，因为 时，所以 ，所以 ，所以 的值域为
．所以⑤错误．
故选： ．
3．关于函数 有下列命题：
① 的周期为 ；② 是 的一条对称轴；③ ， 是 的一个对称中心；
④将 的图象向左平移 个单位，可得到 的图象，其中正确的命题序号是 ①③ ．
（把你认为正确命题的序号都写上）
【解答】解：
所以周期为 ，故命题1正确．
对称轴为 所以命题2错误．命题3正确．
的图象向左平移 个单位，可得到 的图象，所以命题4错误．
故答案为①③．
