文档文本内容
4.3 三角函数的性质（精练题组版）
题组一 周期
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
的最小正周期
.故选：D
2．（24-25 北京海淀）下列函数中，既是偶函数又是周期为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
是偶函数，但不是周期函数，故A 错误；
是偶函数，最小正周期为
，故B 错误；
是偶函数，最小正周期为
，故C 正确；
是奇函数，最小正周期为
，故D 错误.
故选：C
3．（24-25 山东聊城·期中）下列函数中，以
为最小正周期的奇函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
是偶函数，故不成立，
对于B，
是奇函数，且最小正周期
，故成立，
对于C，
是奇函数，且最小正周期为
，故不成立，
对于D，
是偶函数，故不成立.
故选：B
4．（24-25 北京·阶段练习）最小正周期为
的偶函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A．
是最小正周期为
的偶函数，符合题意；
B．
是最小正周期为
的奇函数，不符合题意；
C．
是偶函数，但不是周期函数，不符合题意；
D．
是最小正周期为
的偶函数，不符合题意；
故选：A．
5．（24-25 辽宁沈阳·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又是周期为
的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
是奇函数，周期为
，故A 错误；
对于B，
是奇函数，周期为
，故B 正确；
对于C，
是奇函数，周期为
，故C 错误；
对于D，
是偶函数，周期为
，故D 错误；
故选：B．
6．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数
的最小正周期为10，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】
，
又
的最小正周期为10，所以
，解得
，
则
，则
.
故选：C.
7．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以
为周期，且其图象关于点
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A：
的最小正周期为
，对称中心为
，故A 错误；
对于B：
的图象是由
将
轴下方部分关于
轴对称上去，
轴上方及
轴部分不变，
所以
的最小正周期为
，没有对称中心，故B 错误；
对于C：
，则最小正周期
，
且当
时
，所以函数图象关于点
对称，故C 正确；
对于D：
，最小正周期
，故D 错误.
故选：C
8．（2025·四川成都）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
又
，可得
，
即
，且
、
，故
.
故选：C.
9．（2025·甘肃白银·三模）函数
的最小值和最小正周期分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以当
时，函数
取最小值
，
函数
的最小正周期为
．
故选：C
10．（2025·贵州黔东南·一模）若
是最小正周期为
的偶函数，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
为常函数，故最小正周期为
错误；
对于B，
，奇函数，故错误；
对于C，由周期公式可知：
的最小正周期为：
，
所以
，故周期为
，故错误；
对于D，
，偶函数，由周期公式可得最小正周期为
，故正确；
故选：D
题组二 单调性
1．（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为
，且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】选项A 中
，选项B 中
，选项C 中
，选项D 中
，排除AB，
时，
，
递减，则
递增，
时，
，
递增，则
递减，
故选：C．
2．（2025·浙江宁波·三模）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
的最小正周期为
，
的最小正周期为
，A、D 不符；
由
在
上单调递增，C 不符；
以
为最小正周期，且在区间
上单调递减，B 符合.
故选：B
3．（2025·山东·二模）已知函数
在
上单调递增，且其图象关于点
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
在
上单调递增，得
，
解得
，由
的图象关于点
对称，得
，
解得
，于是
，
，
所以
.
故选：C
4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，且在
上
为增函数，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】将
代入
，得
，
所以
，得
．
因为函数
在
上为增函数，此时
，
所以
，解得
，
所以当
时，
，
故选：A.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知当
时，函数
不单调，其中
，则实数
可能的取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
单调递增，
且函数
不单调，结合
,
，
，
故选：D
6．（2025·湖南湘潭·三模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】已知
，令
，则
，
因为
，所以
．
故原条件等价于已知函数
在区间
上单调，
而函数
在区间
上单调，所以
，解得
，
又因为
，故
，
故选：B．
7．（2025·江西赣州·二模）若函数
在区间
上单调，且
，则正
数
的值为 ．
【答案】2
【解析】由函数在
上单调，且
，
所以函数的一条对称轴
，一个对称点为
，且
，
所以
，可得
，故正数
的值为2.
故答案为：2
题组三 奇偶性
1．（2025·四川德阳·三模）已知函数
的图象向右平移
个单位长度后，得到
的
图象，若
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知
，
因为
是奇函数，则
，所以
，因为
，所以
.
故选：C
2．（24-25 上海·阶段练习）
的奇偶性是（ ）
A．偶函数
B．奇函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】令
，
，
又
，
所以函数
是偶函数.
故选：A.
3．（2025·安徽·模拟预测）函数
．若存在
，使得
为奇函数，则实数
的值
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，
存在
，函数
为奇函数，则
或
，
当
时，
为奇函数，则函数
是偶函数，
于是
，解得
，当
时，
，C 符合，ABD 不符合；
当
时，
，此时
或
，当且仅当
时为奇函数，与
矛盾，
所以实数
的值可以是
.
故选：C
4．（2025·天津南开·一模）已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】
是奇函数，
由
得
，
所以
恒成立，则
，解得
.
故选：C
5．（24-25 高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的定义域为R，
且
，
故
为偶函数，A 正确；
B 选项，
的定义域为R，
，
，故
不为偶函数，B 错误；
C 选项，
的定义域为R，
，
故
是奇函数，C 错误；
D 选项，
的定义域为R，
且
，
故
为奇函数，D 错误.
故选：A
6．（2025·广西·三模）已知函数
，若函数
为偶函数，则
的最大负值是
.
【答案】
【解析】由
，则
，
由函数
为偶函数，则
轴为该函数图象的对称轴，
即
，
，化简可得
，
，
当
时，
取得最大负值为
.故答案为：
题组四 伸缩平移
1．（2025·天津和平·二模）函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，要得到
的图象，只需将函数
的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度
C．横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
D．横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度
【答案】A
【解析】由图可知，
，得
，
又
，由
解得
；将点
代入
，得
，
在函数单调减区间上，则
，
，解得
，又
，所以
，.
得
.将
的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度，得
的图象.故选：A
2．（24-25 广东佛山·阶段练习）将函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到
函数
的图象.再将
的图象向右平移
个单位长度，得到
的图象，则函数
的解析
式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到
，
再向右平移
个单位长度，得到
.
故选：D
3．（2025·甘肃白银·三模）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，
且
的图象关于点
对称，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【解析】
，
又
的图象关于点
对称
，即
，
，即
，
，
的最小值为4．
故选：B.
4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数
，将
的图象向右平移
个单位后，得到
函数
的图象，若
的图象与
的图象关于
轴对称，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，
由
的图象与
的图象关于
轴对称，得
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
因此
，解得
，而
，
则
.
故选：B
5．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象．若
的图象与
的图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，
所以
，
因为
的图象与
的图象关于
轴对称，
所以
，即
，
所以
或
（不合题意），
解得：
，又因为
，所以
的最小值为
.
故选：B
题组五 最值
1．（2024·湖北·二模）函数
，当
取得最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
其中
，
而
，
等号成立当且仅当
，此时
.
故选：B.
2．（2025·福建宁德·三模）若函数
在区间
上的最小值为
，最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】AB 选项，
时，
，
其中
，
显然
的最小值为-2，只需
内有
即可，
当
时，
取得最大值，最大值为
，
故
，A 错误，B 正确；
CD 选项，同理
的最大值为2，只需
内有
即可，
当
时，
取得最小值，最小值为
，
故
，CD 错误；
故选：B
3．（2025·重庆·三模）函数
在
上的值域为 .
【答案】
【解析】由题意可得：
，
因为
，则
，
可得
，即
，
所以所求函数的值域为
.
故答案为：
.
4．（2025·上海青浦·模拟预测）函数
的值域是 .
【答案】
【解析】
，
其中
，则其值域为
故答案为：
.
5．（23-24 上海奉贤·期中）已知函数
的最大值为3，则实数
的值为 .
【答案】
【解析】
，
因为函数
的最大值为3，
所以
，
（舍去），
所以实数
的值为
.
故答案为：
.
6．（24-25 上海长宁·期中）函数
，
的值域是 ．
【答案】
【解析】因为
，
设
，则
，
且
，所以
，
则
，
所以函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当
时，
取最大值，即
，
当
时，
；当
时，
，所以
.
因此，函数
的值域为
.
故答案为：
.
7．（24-25 四川成都·期中）函数
的值域为 .
【答案】
【解析】
，
令
，则
，
故
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
8．（24-25 江苏苏州·期中）已知函数
，若
在区间
内没有最值，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
，
函数
的单调区间为
，
由
，
所以函数
在
上单调，
因为
在区间
内没有最值，则函数
在
上单调，
所以
，则
，
取
时，且
，所以
，
取
时，且
，所以
，
所以
的取值范围是
，
故答案为：
题组六 函数性质的综合应用
1．（2025·海南海口·模拟预测）（多选）已知函数
在区间
上的最大值为4，
则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．点
是
图象的一个对称中心
D．
在区间
上单调递减
【答案】BC
【解析】选项A，
的最小正周期
，故A 错误；
选项B，由
，知
，所以
，所以
的最大值为
，而
得
，故B 正确；
选项C，令
，则
，所以
图象的对称中心为
，所以点
是图象的一个对称中心，故C 正确;
选项D，由
得
，所以
在
上单调递增，故D 错误.
故选：BC.
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）（多选）若
，则（ ）
A．初相为
B．
的最小正周期为
C．
在
上单调递增
D．
为奇函数
【答案】ABD
【解析】对于函数
，初相为
，A 正确；
最小正周期为
，B 正确；
时，
，
由于
在
上单调递减，故
在
上单调递减，C 错误；
，该函数为奇函数，D 正确，
故选：ABD.
3．（2025·江苏常州·模拟预测）（多选）函数
的图象关于点
对
称，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数
图像的一条对称轴为直线
C．函数
在区间
上是增函数
D．函数
的图像可由函数
的图像向左平移
个单位得到
【答案】ACD
【解析】对于A，由题得
，又
图象关于点
对称，
所以
，即
，
由
得，
，所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，当
时，
，
因为
在
上单调递增，所以函数
在区间
上是增函数，故C 正确；
对于D，函数
的图像向左平移
个单位得，
，故D 正确，
故选：ACD．
4．（2025·山东潍坊·二模）（多选）已知函数
，函数
的图象由
的图象向
左平移
个单位得到，则（ ）
A．
与
在
上有相同的单调性
B．
的图象关于直线
对称
C．设
，则
的一个对称中心为
D．当
时，
与
的图象有6 个交点
【答案】ACD
【解析】易知
的图象向左平移
个单位可以得到
，
对于A，当
时，
，
由正弦函数和余弦函数图像性质可知，
与
在
上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，可
得A 正确；
对于B，由
可知，令
，解得
，
因此可得
的图象关于直线
对称，即B 错误；
对于C，易知
，
令
，解得
，
即则
的对称中心为
，
当
时，可知
的一个对称中心为
，即C 正确；
对于D，当
时，
，又
；
画出函数
的图象如下图所示：
结合图像可知，
与
的图象有6 个交点，即D 正确.
故选：ACD
5．（2025·江西宜春·二模）已知函数
，则（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
的最小值为
D．
在
上单调递减
【答案】BD
【解析】
，
不是偶函数，故A 错误；
令
，则
，当
时，
，
所以
是函数
的对称轴，故B 正确；
，故C 错误；
令
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递减，故D 正确.
故选：BD.
6．（2025·四川雅安·二模）（多选）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递增
D．将
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A，在函数
中，
的最小正周期
，故选项A 正确.
对于选项B，对于余弦函数
，其对称轴方程为
.
令
，解得
.令
，解得
，故选项B 错误.
对于选项C，对于余弦函数
，其单调递增区间为
.
令
，解不等式得：
当
时，
，所以
在
上单调递增，故选项C 正确.
对于选项D，将
的图象向左平移
个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到
.化简
.
根据诱导公式，可得
，故选项D 正确.
故选：ACD.
7．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．点
是
图象的一个对称中心
C．方程
在区间
上有2026 个实数解
D．若
，则
的单调递增区间为
【答案】AB
【解析】由函数图象可知，最小正周期
满足
，即
，所以
，
又因为函数图象过点
，将其代入函数可得
，
即
，解得
，
又因为
，所以
，
，
所以
，故A 正确；
对于B，因为函数
的对称中心是
，
所以令
，可得
，当
时，
，
所以，点
是
图象的一个对称中心，故B 正确；
对于C，令
，得
.
当
时，即
，则在区间
上，
共有1013 个实数解；
当
时，即
，则在区间
上，
共有1012 个实数
解.
综上，方程
在区间
上有
个实数解，故C 错误；
对于D，由函数
定义域可知，
，
又因为函数
在
上单调递减，所以要使函数
单调递增，即函数
单调递减，且
，
所以
，解得
.
所以，
的单调递增区间为
，故D 错误.
故选：AB.
8．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．直线
是曲线
的一条对称轴
C．
在区间
的最小值是
D．将
的图象上各点先向右平移
个单位（纵坐标不变），再将横坐标变为原来的3 倍（纵坐标
不变），得到函数
的图象
【答案】ABD
【解析】因为
关于点
中心对称，
所以
，解得
，
又因为
，所以
，即
，
对于A，当
时，
，
此时
单调递减，故A 正确；
对于B，
时，
，
所以直线
是曲线
的一条对称轴，故B 正确；
对于C，当
时，
，
当
时，
取最小值-1，故C 错误；
将
的图象上各点先向右平移
个单位（纵坐标不变），得到函数
的图象，再将横坐标变为原来的3 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，
故D 正确；故选：ABD.
9．（2025·福建·模拟预测）（多选）函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
是奇函数 B．
是偶函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由题意，可得
，所以
，
根据得图象过点
，可得
，解得
，
令
，可得
，所以
，
由
，
为奇函数，所以A 正确；
由
，
是偶函数，所以B 正确；
由
，周期为2，
，
，
因为函数
单调递减，所以
，所以
，所以C 不正确；
由
，所以D 正确.
故选：ABD .
10．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的图象可以由
的图象向左平移
个单位长度得到
B．
的图象关于
对称
C．
在
上单调递增
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，将
的图象向左平移
个单位长度，得
的图象，故A 正确；
对于B，因
，所以B 不正确：
对于C，由
，可得
，
因
在
上单调递增，故
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，当
时，
，则
，
因
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，所以
，故D 正确.
故选：ACD．
题组七 零点或交点
1．（2025·甘肃白银·二模）设函数
，则
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，易知定义域为
，
显然当
时，
，所以
时，
无零点，
故只需考虑
的情况，由
，得
，
即
，且
，
由
，得到
，即
，
又
，得
，
令
，
，
如图，在同一直角坐标系中作出函数
和函数
的图象，
由图知，两个函数的图象在
上有三个公共点，所以
有三个零点，
故选：B.
2．（2025·河北·三模）若函数
在
上恰有两个零点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
令
得：
，
因为
，所以
，
则在
轴右侧方程的相邻三根依次为
，解得
，
由题意可知
，即
，
故得
，即
的取值范围是
.
故选：B.
3．（2025·河南郑州·二模）函数
与函数
的图象交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
通过五点法
作出周期函数
的图象，
再通过两点法
作出单调函数
的图象，
因为
，所以通过图象可判断它们有个交点，
故选：A.
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数
，则函数
在区间
上的零点个数
为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】C
【解析】由题意得
，其关于原点对称，
因为
，所以
为奇函数，则
，
因为
，所以由二倍角公式得
，
化简得
，
令
，则
，易得
，
当
时，得到
在
上单调递减，
则
，故
，
则令
，可得
，得到
，
解得
，或
，故
在
上有两个零点，
由奇函数的性质可得
在
上也有两个零点，
综上，
共有5 个零点，故C 正确.
故选：C
5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）当
时，方程
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由题意得，
，得
，
又
在
内无解，
故
，且在题设给定范围内有唯一解.
故选：B
6．（2025·浙江·三模）若函数
（
，
）的最小正周期为
，其图象的一条对称
轴的方程为
，则函数
在
上的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由题
，得
，
又
，
，得
，
，
因为
，所以
，
令
得
，
，即
，
，
当
，
，0，1 时，
，
，
，
，
得
在
上有4 个零点．
故选：D.
7．（2025·陕西汉中·模拟预测）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】曲线
与
的图像如下，
所以交点个数为3，
故选：B.
8．（2025·四川凉山·三模）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，则实数m 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，显然
，故
，
，
若
，解得
，
若
，解得
，
若
，解得
，
综上，
.
故选：C
9．（24-25 高三下·江西赣州·期中）不等式
在区间
上的整数解的个数是（ ）
A．674
B．676
C．1352
D．1348
【答案】A
【解析】因为
，
由题意可得
，可得
，
因为
的最小正周期为
，
且
，
可知满足
在
内的整数解为4，5，即一个最小正周期内有2 个整数解，
则不等式在
内无整数解，在
有
个整数解.
所以不等式在
有
个整数解.
故选：A.
10．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
满足：当
时，
的
最小值为
，且
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】令
，则
，解得
，
而
，故
，
此时
，
即曲线
在对称中心处的切线的斜率的绝对值最大①，
考虑正弦函数
，
，若
时，
则由①可得当且仅当
时，
最小且最小值为
即为周期的
，
而当
时，
的最小值为
，
类比可得
的周期为
，故
，
故
，而由
可得
为对称轴，
故
，而
，故
，故
，
当
时，
，
因
在
的零点为
，
故
在区间
内的零点个数为4 个，
故选：A.
题组八 ω 的求法
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【解析】函数
的图象向左平移
个单位，
得到函数
,
由
为奇函数，则
，
因为
，所以
的最小值是，
故选：B.
2．（2025·辽宁·三模）函数
，其
，若对于
，都有
恒成立，则
的
取值不可能是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】依题意，函数
在
上单调，函数
图象对称轴为
，
，解得
，
由
，解得
，又
，则
或
，
所以
或
，
的取值不可能是
.
故选：C
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x 的方程
在（0，π）内恰有2 个不相等的实数
根，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
，
所以
，由
，可得
，
因为方程有2 个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得
，
解得
，所以ω 的取值范围
．
故选：C．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，若集合
恰有
3 个元素，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
令
，得：
，
则
或
解得
①或
②，
①②中，分别取
，因为
，从小到大排列得
，
因为集合
恰有3 个元素，
所以需满足：
，解得：
，
故选：
.
5．（2025·河南·模拟预测）将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐
标不变，得到函数
的图象，若
在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则
．
由
，得
．
因为
在
上单调，所以
，得
．
故选：A.
6．（2025·河南·模拟预测）已知函数
的图象经过
，
两点，
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】因为图象经过
，
两点，故
，
故
，故
，
若
，则
，而
，
故
，故
，其中
，而
，此时
无解；
若
，则
，而
，
故
，故
，其中
，而
，
此时
，故
，此时
，
，
，
故
符合，故正数
的最小值为
.
故选：
7．（2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调，
所以
，则
，解得
，
当
时，
，
且
，
，
所以
，解得
，结合
，得
的取值范围为
．
故选：D．
8．（2025·河北唐山·三模）已知函数
在区间
上恰好存在5 个零点，则正整
数
.
【答案】5
【解析】令
，即
，当
时，
，
因为
，故
或
，其中
，
从小到大，设函数零点分别为
，
则有
，
，
，
，
，
由题意知
，解得
，故正整数
.
故答案为：5
9．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若A，B，C，D 四点
在同一个圆上，则
.
【答案】
【解析】由题意可设
，
，则
，
，
，
，
则
、
中点与
、
中点均为
，
，
由
，
，
，
四点在同一个圆上，故
为圆心，
，
则
，
，
即有
，则
，又
，则
.
故答案为：
.
10．（24-25 山东日照·期中）已知函数
若方程
在区间
内无实
数解，则实数ω 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对
进行化简，可得：
令
，则
.
根据正弦函数的性质，可得
，
，解关于
的方程：
即
，
.
当
时，
；当
时，
.
因为方程
在区间
内无实数解，所以
或
（
不成立，舍去）.
解不等式
，得
，因为
，解得
.
故答案为：
.
