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第 14 练 三角函数的图像和性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．如果函数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数 满足 ，所以 的图象关于 对称，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的最小值为 .
故选：B
2．已知函数 ，则f（x）（ ）
A．在（0， ）单调递减 B．在（0，π）单调递增
C．在（— ，0）单调递减 D．在（— ，0）单调递增
【答案】D
【详解】
，
故当 时， ，所以 不单调，AB错误；
当 时， ， 在 上单调递增，
故D正确
故选：D
3．函数 的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．B． 是奇函数
C．f（x）在[ ， ]上单调递增
D． 的图像关于直线 对称
【答案】C
【详解】
由 可知， ,由此可知选项 不正确；
由 可知， ，
即 是偶函数，由此可知选项 不正确；
由 ，解得 ,
当 时，区间 上为单调递增，由此可知选项 正确；
由 ，解得 ，
则直线 不是 的对称轴，由此可知选项 不正确；
故选： .
4．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设 ，因为 ，
所以该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，显然排除AD；
当 时， ，所以 ，排除C，
故选：B
5．对任意 ，用 表示不超过x的最大整数，设函数 ，则
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
故 .
故选：A.
6．函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为 ，令 ，即 ，当 时显然不成立，
当 时 ，作出 和 的图象，如图，它们关于点 对称，
由图象可知它们在 上有4个交点，且关于点 对称，每对称的两个点的横坐
标和为 ，所以4个点的横坐标之和为 ．
故选：C．
7．已知函数 ，若 在区间 内单调递减，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 在区间 内单调递减，所以 ， 在区间 内
单调递增，
由 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，
依题意得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
由 得 ，由 得 ，所以 且 ，
所以 或 ，
当 时， ，又 ，所以 ，
当 时， .
综上所述： .
故选：C.
8．已知以 为周期的函数 ，其中 .若方程 恰有5
个实数解，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：作出函数 和 的图象如图：
若方程 恰有5个实数解，
则直线 处在函数 在 内的曲线切线和 之间．
函数 是周期为4的周期函数，，此时 ．
， ，
此时两个函数不相交．
当 ， 时， ， ，
， ， ．
由 ，得 ，
则由 ，得 ，
整理得 ，解得 ，
当 ， 时， ， ，
， ， ．
即 ，将 代入整理得 ，
即 ，
由判别式 得
要使方程 恰有5个实数解，则 ，
即 的取值范围为 ，
故选：B．
二、多选题
9．已知函数 图象的一条对称轴方程为 ，与其相邻
对称中心的距离为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小正周期为
C． D．
【答案】AC
【详解】
因为 图象相邻的对称中心与对称轴的距离为 ，所以最小正周期 ，故A正确，
B不正确；因为 ，且 ，所以 ，故C正确，D不正确，
故选：AC.
10．已知函数 的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为
，图象沿x轴向左平移 单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数图象的一个对称中心为
B．当c 到时，函数 的最小值为
C．若 ，则 的值为
D．函数 的减区间为
【答案】BCD
【详解】
根据相邻两条对称轴之间的最小距离为 ，可知周期 ，故 ；
图象沿x轴向左平移 单位后，得到 是偶函数，所以
，故
当 ， ，故A错.
时， ， ，故B对.
，其中 ，
故 ，C对.
令 ，故函数 的减区间为
，D对.
故选:BCD11．已知 是函数 图像的一个最高点，
B，C是与P相邻的两个最低点．若 PBC为等边三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．
△
B． 的最小正周期为8
C．
D．将 图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到 的图像， 是 图像
的一个对称中心
【答案】BC
【详解】
连接BC，设BC的中点为D，与P相邻的函数 的图像与x轴的交点为E，F，即E，F
为函数 图像的两个对称中心，连接PB，PD，则由题意知 ，故选项A错误；
易知 ， ，所以 ， ，则 的最小正周期为8，
故选项B正确；
因为 ，则 ， ，且 ，所以 ，故选项C正确；
因为 ，则将 图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到
的图像，易知 不是 的图像的对称中心，故选项D错误 ，
故选：BC．
12．（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是
函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学
模型是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 在 上是增函数C． 的最大值为 D．若 ，则
【答案】BCD
【详解】
对于A，因 ，则 的图象关于 对称，不关于
对称，A错误；
对于B，因 与 在 上都是增函数，则 在 上是增函
数，B正确；
对于C，因 ，即 是奇函数，
又 与 的最小正周期分别为 与 ，则 的正周期为 ，
当 时， ，令 ，得 ，即
，
当 时， ，当 时， ，则 在 上递增，在 上
递减，
因此， 在 上的最大值为 ，由 是奇函数得 在 上的最大
值为 ，
由 的正周期为 ，则 在R上的最大值为 ，C正确；
对于D，由选项C得， ， ，
，
又 ，则
，
所以当 时， ，D正确．
故选：BCD三、解答题
13．已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在 上的最值.
【答案】(1) (2)最大值为 ，最小值为
【解析】(1)
解：∵ ，
∴ ，即函数 的最小正周期为 ．
(2)解：在区间 上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ， 的最小值为 ．
14．已知函数 ，且函数 的最小正周期为
.
(1)求 的解析式，并求出 的单调递增区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，求函数 的最大值
及 取得最大值时x的取值集合.
【答案】(1) ， ;
(2) ， .
【解析】(1)
由函数 的最小正周期为 ,则 ，故 ，
令 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 .
(2) ，
则 的最大值为 ，
此时有 ，即 ，
故 ，解得 ，
所以当 取得最大值时 的取值集合为 .
15．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和对称中心；
(2)若 ，方程 有两个实数解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)最小正周期 ，对称中心为
(2)
【解析】(1)
=
=
=
=所以，最小正周期 ，
由 ，得
所以，对称中心为 ．
(2)
因为 ，所以 ，
由正弦曲线可得 ．
16．已知函数 .
(1)求函数 在 上单调递增区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来
的 ，向上平移1个单位长度得到函数 的图象，求函数 在 上的最值.
【答案】(1)函数 的单调递增区间是 ；
(2)最小值为 ，最大值为
【解析】(1)
，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递递增，函数 在 上单调递增.
(2)由将函数 的图象向右平移 个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来
的 ，向上平移1个单位长度得到函数 的图象，得： ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 上的最小值为 ，最大值为 .
