文档文本内容
培优点1 集合中的创新问题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................4
题型一：集合中的新概念....................................................................................................................4
题型二：集合中的新运算....................................................................................................................5
题型三：集合中的新性质....................................................................................................................6
04 课时精练...........................................................................................................................................9
数学思维创新是思维品质的巅峰层级。在新高考命题里，以集合为背景的创新问题备受青睐，成为创
新型试题热点。这类题目聚焦“问题”本身，引导学生以“探究”为手段，踏上“发现”的征程。依托集
合构建题目情境，重点考查学生能否精准理解问题，以及能否跳出传统思维框架，有效解决创新型数学问
题的能力。
1、新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加
以创新，可以利用原有集合的相关知识解题．
2、新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原
有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等进行解答．
3、新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．在新环境下研究“旧”性质．
主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点．
4、通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，
要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解
题的目的；
5、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照
章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
题型一：集合中的新概念
例1．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组
，有序数组
，定义“间
距置换”：
，
，
．已知有序数组
，经过一次“间距置换”
后得到新的有序数组
（
），且S 中所有数之和为2025，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就
之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式
表示和除以的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．定义1：对于一个数集A，定义一种运算，对任意
都有
，则称集合A 关于运算是
封闭的（例如：自然数集N 对于加法运算是封闭的）.
定义2：对于一个数集A，若存在一个元素
，使得任意
，满足
，则称a 为集合A 中的
零元，若存在一个元素
，使得任意
，满足
，则称b 为集合A 中的单位元（例如：0 和1
分别为自然数集N 中的零元和单位元）.
定义3：对于一个数集A，如果满足下列关系：
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集A 是一个数域.
(1)指出常用数集N，Z，Q，R 中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合
，证明：集合A 关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合
，证明：集合A 是一个数域.
变式1．（2025·湖北武汉·三模）用符号
表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且
，
，定义两个集合：①和集
；
②邻差集
，其中
为集合中元素按照从小到大排列．
(1)已知集合
，
，求
，
的值；
(2)已知集合
，
，求
的值；
(3)若与都是由
个实数构成的集合，证明：
的充要条件是
．
题型二：集合中的新运算
例4．（多选题）（2025·河南郑州·三模）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G 是一个非空
集合，“•”是G 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的
，有
；②对
任意的
，有
；③存在
，使得对任意的
，有
，称为单位
元；④对任意的
，存在
，使
，称a 与b 互为逆元．则称G 关于“•”新构成一个群．
则下列说法正确的有（ ）
A．
（为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集关于数的加法构成群
C．
关于数的除法构成群
D．正实数集
关于数的乘法构成群
例5．（多选题）（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：
且
，
.若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2025·浙江宁波·三模）设维向量
，
，定义运算：
.
(1)当
时，若
且
，
，试比较
与
的大小；
(2)已知
，记
且
和
均为
的某一排列}.
（ⅰ）求
，
；
（ⅱ）若
，求
.（提示：
.）
变式2． 定义一类集合：对于集合
，若
都满足
，则称
为
“单位有界集”；在集合
中定义一种运算：若
，
，定义
.现对单位有界集
进行如下操作：第一步，从
中任取两个元素、
，将
中除了、
以外的元素构成的集合
记为
，令
；第二步，若集合
还是单位有界集，则继续任取两个元素
，
将
中除了
以外的元素构成的集合记为
，令
；依次类推……
(1)对于任意的单位有界集
，判断
是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例；
(2)证明：若
，则
；
(3)当
时，对集合
进行步上述操作，当
只有一个元素时停止，求所有满
足条件的
．
题型三：集合中的新性质
例7．（2025·北京房山·一模）设为正整数，集合
，对于集合
中2 个元素
，若
，则称
具有
性质
．记
为
中的最小值．
(1)当
时，若
，判断
是否具有性质
．如果是，求出
；
如果不是，说明理由；
(2)当
时，若
具有性质
，求
的最大值；
(3)给定不小于3 的奇数，对于集合
中任意2 个具有性质
的元素
，求
的最大值．
例8．（2025·高三·湖北·期中）已知正实数构成的集合
(1)若定义
，当集合
中的元素恰有
个数时，称集合具有性质.
①当
，
时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合
，其中数列
为等比数列，
且公比为2，判断集合是否具有性质并说
明理由.
(2)若定义
，当集合
中的元素恰有
个数时，称集合具有性质
.设集合具有性质
且
中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？
若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
例9．（多选题）设A 是非空数集，若对任意
，都有
，
，则称A 具有性质P.下列命
题为真命题的是（ ）
A．若A 具有性质P，则A 可以是有限集
B．若
具有性质P，且
，则
具有性质P
C．若
具有性质P，则
具有性质P
D．若A 具有性质P，且
，则
不具有性质P
变式3．（2025·安徽·模拟预测）对于非空数集，
，若
，则称数集具有性质
.
(1)若数集具有性质
，证明：
；判断
，
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
满足①
；②
，当
时，都有
.
（i）判断“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质
且
，
，求数集具有性质
的概率.
1．对于集合
，
，定义
且
，
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·内蒙古包头·二模）已知集合
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·北京丰台·二模）已知
是平面直角坐标系
中的点
集．设是
中两点间距离的最大值，是
中的点与原点连线的斜率，是
表示的图形的面积，给
出下列四个结论：①
；②
；③
；④
．其中所有正确结论的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（多选题）（2025·四川·三模）已知集合
，则称集合
为
分集．下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
是唯一的
分集B．对任意
，总存在至少一个
分集
C．若是
分集，则
D．若是
分集，则
5．（多选题）（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知集合
，若对于任意
，以
及任意
，满足
，则称集合为“一字集”，记
为“一字集” ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．若
，则
6．（多选题）（2025·浙江温州·三模）已知数列
满足
，定义：集合
，使得
，并记该集合的元素个数为
，则以下说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．存在数列
，其中有一项
能使得
且
D．若任取数列
的两项
，
恰好是
元素的概率大于，则
7．（多选题）（2025·四川·模拟预测）已知
，
，设集合A，B，C 是
的三个不同的
子集，若真包含于B，则称子集A，B 是S 的一个“二阶链条”， 若A 真包含于B，B 真包含于C，则称
子集A，B，C 是S 的一个“三阶链条”.记S 的“二阶链条”的个数为
，S 的“三阶链条”的个数为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）（2025·山西·二模）记
表示
个元素的有限集合，
表示
非空数集
中所有元素的和.若集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则的最小值为14
9．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）对于集合，若存在集合的两两不同的子集
满足
，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数
时，下列说法正确的是（ ）
A．集合的最长“链”的长度为
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当
时，该集合的任意两条长为4 的“链”中一定具有相同集合
D．集合的最长“链”的总数为
10．（多选题）（2025·江苏南通·二模）设有限集合
，其中
，
，非空集合
，
，若存在集合
，使得
，
中的所有元素之和相等，则称集合
是“可拆等和
集”，则（ ）
A．集合
不是“可拆等和集”
B．若集合
是“可拆等和集”，则的取值共有6 个
C．存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是“可拆等和集”
D．若
，
，数列
是等差数列且公差
，则集合
是“可拆等和集”
11．定义集合的
运算：已知集合
，则
.若集合
，
，
则集合
的真子集个数的一个可能取值是 .
12．按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为
；已知全集
的子集
满足
.若
恰有两个元素，则这样的集合列
有 个；所有满足条
件的集合列
有 个.
13．（2025·湖南·三模）已知集合
且中至少含有2 个元素，若对于中的任意两个不同元素
，
都有
，则称具有性质
，若
，且同时具有性质
和
，则中至多有
个元素.
14．（2025·安徽马鞍山·三模）已知S 是全体复数集的一个非空子集，如果
，总有
，则称S 是数环．设
是数环，如果①
内含有一个非零复数；②
且
，
有
，则称
是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记
，证明：
是数域；
(3)若
是数域，判断
是否是数域，请说明理由．
17．（山东省济宁市2025 届高三考前押题联合检测数学试题）设
，为整数，且
.已知集合
，集合为的一个含有个元素的子集.
(1)设
，
，写出2 个不同的，使得中任意2 个元素之差都不等于另2 个元素之差；
(2)设
，
，
，且
，
，
，证明：若
，则
；
(3)设集合
，证明：若
，则中存在4 个元素，
，
，
，且中存在4 个元素
，，，，使得
.
18．（2025·山东·二模）对集合A，B，定义集合
，记
为有限集合X
的元素个数．以下给定正整数
，并记集合
(1)设
为有限集合，证明：
；
(2)给定自然数和
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设（其中
）为正整数，
的子集
满足
均有
．证明：
．
19．（2025·北京海淀·二模）记
表示有穷集合
的元素个数．已知
是正整数，集合
．
若集合序列
满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①
，其中
；
②
⫋，其中
；
③对于中的任意两个不同元素
，都存在唯一的
，使得
．
(1)设
，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知
且集合序列
是“平衡序列”，对于
，定义：
证明：
（i）当
时，
；
（ii）
．
20．（2025·江西·三模）已知数列
共
项，对于
中的项
，若对任意的
，都
有
，则称为
中的一个“局部
一项”，记
是
中所有“局部
一项”组成的集合.
(1)已知数列
共5 项，且
.
（i）若
为
，求
；
（ii）若
的值为1 和
的概率均为
，记
中有
个元素，求
.
(2)若数列
满足
为大于1 的偶数，
，
，求
中元素个
数的最大值.（结果用
和
表示）
21．已知集合
且满足
与
恰有一个成立．对于T 定义
．
(1)若
求
的
值及的最大值；
(2)从
中任意删去2 个数，记剩下的
个数之和为M，求证：
；
(3)求证：对于满足
的每一个集合T，集合S 中都存在3 个不同的元素e，f，g，
使得
．
22．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然
后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如
的“交替和”是
的“交替和”是5.
(1)求集合
的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合
，求集合
所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合
，其中
求集合
所有非空子集的交替和的总和.
23．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
24．（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，
，
、
是
的非空子集.记集合
除以
的余数
.若正整数
满足：存在非空集合
、
，使得
两两的交集
为空集，且
，则称
为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
25．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
元正整数集合
，取出
的
个互不相同的非空
子集：
构成集合
，若
中任意
个元素的并集均真包含于
，任意
个元素的并集均等于
，我们称
合理覆盖
(1)若
，问
是否合理覆盖
？请简要说明理由；
(2)若存在
合理覆盖
，求
的最小值；
(3)是否存在
合理覆盖
，且
构成公差为1 的等差数列（
表示集合
中的元素个
数）？若存在请给出一个
，若不存在请说明理由．
26．（2025·山东济南·模拟预测）记数集M 的所有元素之和为
（当M 为空集时，规定
）.已
知非空有限集合
，若对于任意正整数
，总是存在A 的两个相异子集P，Q，使得
，则称A 为理想集.
(1)从集合
的所有非空子集中随机抽取一个集合，求该集合为理想集的概率；
(2)已知正整数
，且集合
为理想集.
（ⅰ）设
，证明：当
为理想集时，
的最大值为
；
（ⅱ）证明：
.
27．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知有穷数列A：
，
，…，
（
，
），设
，记S 中元素的个数为
．
(1)若数列A：0，2，4，12，求集合S，并写出
的值；
(2)若A 是单调数列，求证：“
”的充要条件是“A 为等差数列”；
(3)若
，
，数列A 由1，2，3，4，…，n，2n 这
个数组成，且这
个数在数列A
中至少出现一次，求
的取值个数．
