文档文本内容
培优点11 利用导数解决直线与曲线间的距离问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：曲线上一点到定点的距离最短............................................................................................4
题型二：曲线上一点到直线的距离最短............................................................................................5
题型三：曲线上一点与抛物线上一点的距离最短............................................................................7
题型四：曲线上一点与圆上一点的距离最短..................................................................................10
题型五：互为反函数的两曲线上两点距离最短..............................................................................14
题型六：非反函数的两曲线上两点距离最短..................................................................................16
题型七：水平方向距离最短..............................................................................................................18
题型八：竖直方向距离最短..............................................................................................................21
题型九：平移切线法..........................................................................................................................23
04 课时精练........................................................................................................................................26
高考中导数中的“距离”问题常结合函数与几何，考查化归转化与数形结合能力。核心思路为将距离
问题转化为函数最值问题，常见题型包括曲线与直线距离、两曲线间距离等。例如，求曲线上的点到直线
的最小距离时，可通过导数求曲线的切线，使切线与给定直线平行，进而确定切点，再利用点到直线距离
公式计算最小距离。此外，还可通过构造函数，利用导数研究函数单调性，进而求解距离的最值。此类问
题需考生熟练掌握导数的几何意义、函数单调性与极值，以及距离公式等知识点，通过综合运用这些知识，
灵活解决高考中的“距离”问题。
在导数涉及的“距离”问题求解中，化归转化与数形结合思想是重要工具，可将问题转化为点到直线
距离或两点间距离问题，再借助导数法求距离最值。
方法一是转化化归。当处理动点间距离问题时，可将其转化为点到直线的距离问题。这里的“点”通
常通过导数求得切点。例如，已知曲线和直线，要求曲线上一点到直线的最小距离，可先对曲线求导，找
到与直线平行的切线，进而确定切点，再计算切点到直线的距离，此距离即为所求最小距离。
方法二是构造函数。根据距离问题的条件，构造合适的函数，然后求该函数的导数，通过分析导数的
正负性，确定函数的单调性，进而找到函数的极值点，该极值点对应的函数值就是距离的最值。这两种方
法巧妙结合导数知识，为解决导数中的“距离”问题提供了有效途径。
题型一：曲线上一点到定点的距离最短
【例1】（2025·广东广州·一模）若点
与曲线
上点
的距离的最小值为
，则实数的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为
,所以
由题意得
以A 为圆心，
为半径的圆与曲线
相切于点B,设
,则在B 点处切线的斜率为
，所以
，选D.
【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）设点
，P 为曲线
上动点，若点A，P 间距离的最小
值为
，则实数t 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，记
，
，易知
是增函数，且
的值域是
，
∴
的唯一解
，且
时，
，
时，
，即
，
由题意
，而
，
，
∴
，解得
，
．
∴
．
故选：C．
【变式1-2】（2025·高三·安徽芜湖·期末）若点
与曲线
上点
距离最小值为
，则实数为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
的坐标为
，根据直线
与曲线
在点
处的切线垂直，得到关于
的表达
式，再利用两点间的距离公式结合
的最小值为
，求出
的值，即可得出实数的值.设点
的坐标
为
，对函数
求导得
，
由题意可知，直线
与曲线
在点
处的切线垂直，则
，
得
，
由两点间的距离公式得
，
由于
的最小值为
，即
，
，解得
，因此，
.
故选：C.
题型二：曲线上一点到直线的距离最短
【例2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
【答案】B
【解析】设曲线
在点
处的切线与直线
平行，
由
，得
，则
或
，
则动点
到直线
的距离的最小值为
.
所以点
到直线
的距离的最小值为
，
故选：B.
【变式2-1】函数
图象上的点到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
，令
，得
（负值已舍去）．
因为
，所以曲线
在点
处的切线与直线
平行．
因为点
到直线
的距离为
，所以所求最小值为
．
故选：C.
【变式2-2】动直线分别交直线
和曲线
于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设过曲线
上的点
的切线方程与直线
平行，
则
，所以
，解得
或
（舍），
即
，则切点为
，
切线方程为
，化简可得
，
则
的最小值即为切线与直线
的距离，
所以
.
故选：C
【变式2-3】已知
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】D
【解析】由题意可知
在
的图象上，
在
的图象上，
由
，得
，
所以
可转化为函数
图象的点到直线
上的点的距
离，
对于
，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
；当
时，由于
增加的速度小于x 增加的速度，故
；
由此可作出
和
的图象，如图：
结合图象可知
有最小值，无最大值，AB 错误；
又因为与直线
平行的直线的斜率为
，
令
，解得
，
则
的与
平行的切线的切点坐标为
，
所以
到直线
的距离为
，
所以
的最小值为
，此时
，所以D 正确，C 错误，
故选：D
题型三：曲线上一点与抛物线上一点的距离最短
【例3】（2025·安徽·三模）已知
且
，若定义
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】
设
，
，
，
垂直于直线
，
为垂足，
为抛物线
的焦点，
易得曲线
过点
的切线为
，与之垂直的直线方程为
，恰好通过点
，
所以
.
故选：D.
【变式3-1】（2025·湖南衡阳·二模）设
.
，则
的最小值为
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】由题可得：设
，所以
为
上任意一点到
上任一点及抛物线焦点的
距离之和，所以距离表达式为
,令
，
，显然在
递减，
递增所以
，故
最小值为
【变式3-2】（2025·湖北·一模）设
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
，
，
由
表示两点
与点
的距离，
而点
在抛物线
上，抛物线的焦点
，准线为
，
则
表示
与
的距离和
与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得
表示
与
的距离和加上1，
由图象可知
三点共线时，且
为曲线
的垂线，此时
取得最小值，
即
为切点，设
，
由
，可得
，
设
，则
递增，且
，可得切点
，
即有
，则
的最小值为
，
故选：B.
【变式3-3】（2025·湖北·模拟预测）设
，其中
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，则点
在函数
图象上，
在函数
的图象上，
容易知道
图象是抛物线
图象的上半部分，
记抛物线焦点为
，过
作抛物线的准线
的垂线，垂足为
，如图所示：
则
，
当且仅当
在线段
上时，取最小值.
设这时
点坐标为
，又
，
所以有
，解得
，即该点为
，
所以
，因此
.
故选：A.
题型四：曲线上一点与圆上一点的距离最短
【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知点
，点
，则
的最小值为
．
【答案】
/
【解析】易知点
在函数
上,
设
,化简得
,即
则点
在以
为圆心,半径为1 的圆周上,
如图所示,可知
两点间的最小值,即为点
到圆心
得最小值减去半径即可.
设圆心为
,可知
,
设函数
,求导得
易知
为单调增函数,且
,
所以当
时，
,
在
单调递减, 当
时，
,
在
单调
递增,
在
上有最小值,最小值
,
所以
的最小值为
.
故答案为:
.
【变式4-1】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得
，即圆心
在
上，半径为
，
故
的最小值等于
的最小值减去半径
，
设
，由于
与
关于
对称，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，
由
，可得
，令
，解得
，
故
在点
处的切线与
平行，此时
到
的距离最小，
最小值为
，
故
的最小值为
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
【变式4-2】（2025·广东佛山·一模）若
分别是曲线
与圆
上的点，则
的最小值
为 .
【答案】
【解析】设圆
圆心为
，如下图所示，
由题意可知，
取得最小值时，
取得最小值，
当
垂直于曲线
在点
处的切线时，
最小，
设
，则对
求导得
，
所以
，即
，
由于
时满足上式，且
在
单调递增，
所以
有唯一解
，
所以
，此时
，所以
故答案为：
【变式4-3】已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线段
长度的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心
到函数
图象上一点的距离的最小值．
设
图象上一点
，令
图象上一点
的切线为
由
的导数为
，即切线的斜率为
，
当
时，圆心
到函数
图象上一点的距离最小，
此时
，即有
，
由
，可得
，
递增，又
，
所以
，
，
所以点
到点
的距离最小，且为
，
则线段
的长度的最小值为
，
故选：A．
【变式4-4】已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线
段
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，圆心为
，设
点的坐标为
，
则
，
设
，
，
令
，则
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以
，故
，
所以
时，
且
，
所以
时，
，函数
单调递减，
当
时，令
，则
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
则
，即
，
所以
时，
单调递增，即
单调递增，
所以
，故当
时，函数
单调递增，
所以
，
故
的最小值为
，
则线段
的长度的最小值为
．
故选：B．
题型五：互为反函数的两曲线上两点距离最短
【例5】已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线对称，若
，
分别为它们图象
上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
为函数
图象上任意一点，则
，
关于直线
的对称点为
，
又
，即点
在函数
的图象上，
所以函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
所以这
，
两点之间距离的最小值等于点
到直线
距离最小值的
倍，
由
，则
，
函数
在点
处的切线斜率为
，令
，解得
，
，
所以点
到直线
距离的最小值为
，
所以这
，
两点之间距离的最小值为
.
故选：D
【变式5-1】（2025·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点
分别是曲线
和曲线
上的
任意一点，则线段
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
与
互为反函数，所以其图象关于直线
对称，
先求出曲线
上的点到直线
的最小距离，该距离的2 倍即为所求.
设与直线
平行且与曲线
相切的直线切点为
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，即切点为
，
点P 到直线
的距离
，
所以线段
的最小值为
.
故选：B
【变式5-2】设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
与
互为反函数，其图像关于直线
对称
先求出曲线
上的点到直线
的最小距离．
设与直线
平行且与曲线
相切的切点
，
．
，
，解得
．
．
得到切点
，点P 到直线
的距离
．
最小值为
．
故选：B．
【变式5-3】设点
在曲线
上，点
在曲线
上，若
的最小值为
，则
.
【答案】-1
【解析】因为
与
互为反函数，其图象关于直线
对称，
又点
在曲线
上，点
在曲线
上，
的最小值为
，
所以曲线
上的点
到直线
的最小距离为
，
设与直线
平行且与曲线
相切的切线的切点
，
，解得
，所以
，
得到切点
，点
到直线
即
的距离
，
解得
或3.
当
时，
过点
和
，
过点
和
，
又
，
，所以
与
相交，不符合题意；
当
时，令
，则
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
恒成立，
所以
与
不相交，符合题意.
综上，
.
故答案为：-1.
题型六：非反函数的两曲线上两点距离最短
【例6】设
是曲线
上的动点，
是曲线
上的动点，则
的最小值为_______．
【答案】
【解析】设
，
，
则
所以
，当且仅当
时，
．
【变式6-1】已知
是曲线
：
上任意一点，点
是曲线
：
上任意一点，则
的最小值
是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】（1）曲线
：
，求导得
，易知
在点
处切线方程为
.
下面证明
恒成立：
构造函数
，求导得
，则
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
故函数
，即
恒成立，有
为下凸曲线
（2）曲线
：
，求导得
，当
时，
，且
过点
故
在点
处的切线方程为
.
下面证明
在
上恒成立：
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
则
，即
在
上恒成立，有
为上凸曲线
（3）由
在
处切线
与
在B
处的切线
，知：它们相互平行
又直线AB 的斜率k = -1，即可知：直线AB 与两条切线同时垂直
∴综上，知：
最小时，A 即为P 点，B 即为Q 点，故
∴
故选：D
【变式6-2】（2025·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q 分别在函数
，
上
运动，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又
，
在定义域上分别单
调递增、单调递减，所以函数
递增的速度由慢到快，
递增的速度由快到慢，设动点
，
，当且仅当满足：
时，
取得最小值，由图象的示意图不难发
现，该方程组有唯一一组
，
，所以
，
，所以
的最小值为
．
故答案为：
.
题型七：水平方向距离最短
【例7】已知直线
分别与直线
、曲线
交于点
、
，则线段
长度的最小值为 .
（其中常数
，是自然对数的底数）
【答案】
【解析】由直线
分别与直线
、曲线
交于点A、B，
得
，由
，易得
恒成立，
即曲线
在直线
的上方，
设
，则
设
，则
，
则
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
故函数
在
为减函数，在
为增函数，
即
.
故答案为:
【变式7-1】（2025·陕西安康·三模）已知直线
分别与直线
、曲线
交于点A，B，则
线段AB 长度的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
所以直线
在曲线
的上方，由
，则
，
由
，则
，则
．
令
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
．
故选：C．
【变式7-2】已知函数
，
的图象与直线
分别交于
，
两点，则下列说法错误
的是（ ）
A．
B．
，曲线
在点
处的切线总与曲线
在点
处的切线相交
C．
的最小值为1
D．
，使得曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线
【答案】B
【解析】设A，B 两点的横坐标分别为
，
，则
.
由于
，故
.故选项A 正确.
当
时，
，
.因为
，
，所以
，
，所以曲线
在点A 处的切线总与曲线
在点B 处的切线斜率相等，两切线
不相交.故选项B 错误.
，由
，得
，
，
当且仅当
时取等号，由于
，所以
，
当且仅当
时取等号，所以
.故选项C 正确.
曲线
在点A 处的切线方程为
，
若此切线同时也是曲线
的切线，可设切点为
，则
消去
，
得
，设
，则
，
，
.
因为
的图象是连续的，所以
至少有两个零点，故
有解，
进而得到
的值存在且大于零，故选项D 正确.
故选：B.
【变式7-3】直线
分别与曲线
，与
交于点
，则
的最小值为
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】直线
分别与曲线
，与
交于点
，
设
.
有：
，
所以
所以
.
令
当
时，
,
单调递增；
当
时，
,
单调递减；
.
即
的最小值为1.
故选B.
题型八：竖直方向距离最短
【例8】直线
分别与曲线
和曲线
交于
，
两点，则
的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可设
，
，即可表示出
，构造函数
并求得
，令
求得极值点并判断函数的单调性，即可求得
的最小值.直线
分别与曲线
和曲线
交于
，
两点，
设
，
，
且
，
，
，
．
，
，
，
令
解得
，
（舍），
当
时
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增．
所以
，
综上可知
的最小值为
．
故选：D.
【变式8-1】动直线
与函数，
，
的图象分别交于点A，B，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
则
，
当
时，
，当
，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以当
时，
取得最小值
，
所以
的最小值为
，
故选：A.
【变式8-2】动直线
（
）与函数
，
的图象分别交于点A，B，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
则
，
当
时，
，当
，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以当
时
取得最小值
，
所以
的最小值为
，
故选：A
【变式8-3】设动直线
与函数
，
的图象分别交于点
，已知
，
则
的最小值与最大值之积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设函数
，
所以
，
令
，则
，在
，
，所以函数在
上单调递减；
在
，
，所以函数在
上单调递增；
所以当
时，
，
又当
时，
，
时，
，因为
，所以
，
所以
，故
的最小值与最大值之积为：
.
故选：D.
题型九：平移切线法
【例9】已知点
，点
在曲线
（
）上，点
在直线
上，
为
线段
的中点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分析：求导，利用导数的几何意义求出曲线与直线
平行的切线方程，写出中点所在的
直线方程，再利用两条平行线间的距离公式进行求解．
因为
，
所以
，
令
，得
或
，
则与直线
平行，
且与
的图象相切的直线为
或
，
则
的中点
所在直线为
或
，
则点
到直线
和
的距离为
或
，
即
的最小值为
.故选B．
【变式9-1】已知实数
，
，，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．16
【答案】B
【解析】由
得，
，
，即
，
，
的几何意义为曲线
上的点
到直线
上的点
连线的距离的平方，
不妨设曲线
，直线
，设与直线
平行且与曲线
相切的直线方程为
，
显然直线
与直线
的距离的平方即为所求，
由
，得
，设切点为
，
，
则
，解得
，
直线
与直线
的距离为
，
的最小值为8．
故选：B.
【变式9-2】已知直线
分别与直线
：
及曲线
：
交于
两点，则
两点间距离的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】A
【解析】联立方程组
，解得
，
联立方程组
，解得
，
∴
，
令
，则
，
∴当
时，
，当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
∴当
时，
取得最小值18，
∴
的最小值为
.
故选：A.
【变式9-3】已知直线
与曲线
，
分别交于点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【解析】设与直线
垂直，且与
相切的直线为，
设与直线
垂直，且与
相切的直线为
，
所以，
，
设直线与
的切点为
，
因为
，所以
，解得
，
，即
，
设直线
与
的切点为
，
因为
，所以
，解得
，
，即
，
此时
，
所以，当直线
与直线
重合时，
最小，最小值为
.
故选：B
1．（2025·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系
中，点
，
，向量
，
且
，若
为抛物线
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，因为
，且
，
所以
，
消去得：
即
.
因为抛物线
，即
，则
，
由
，此时
.
因为点
到直线
的距离为：
，即为
的最小值.
故选：A
2．已知点
是曲线
上的一动点，则点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】联立
得
，则
，
所以直线
与曲线
不相交，
因此当曲线在点
处的切线与直线
平行时，点
到该直线的距离最小.
因为
，直线
的斜率
，所以
，解得
，则
，
所以
到直线
的距离最小，最小值为
.
故选：C
3．已知点
在曲线
上，点
在
直线上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，函数在
上单调递减，
当
时，
，函数在
上单调递增，
作出
和
的图象如图：
令
，可得
，
（舍去），
所以曲线
上斜率为3 的切线的切点为
，
该切线方程为
，与直线
平行，
两平行线间的距离即为
到直线
的距离
，
即
的最小值即为
．
故选：A．
4．（2025·高三·辽宁鞍山·期末）已知
，若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．8
【答案】C
【解析】由题意，点
在曲线
上，点
在直线
上，
的几何意义就是曲线
上的点
与直线
上的点
两点间的距离的平方.
当点
为曲线
平行于直线
的切线的切点，
且直线
垂直于直线
时，
两点间的距离才可能最小.
又
，令
，解得
或
（舍去），
所以切点为
.切点
到直线
的距离
就是所要求的曲线
上的点与直线
上的点之间的最小距离，
故
的最小值为
.
故选：C.
5．已知A 是函数
图象上的一点，点B 在直线
上，则
的最小值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】设
上一点
处的切线与
平行，
则
，则
，
令
，显然
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
恒成立，易知
只有1 个零点，即0，
所以
，故
点坐标为
，
的最小值为
到直线
的距离，即
，
故选：D
6．已知实数
，
，，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由已知
，
则
，即
为直线
上的点，
为函数
上的点，
则
，
设
与
相切，由
，
则
，可得
，所以切点为
，则
，
则切点
到直线
的距离为
，
所以
最小值为2.
故选：B.
7．（2025·高三·天津河东·期中）设动直线
与函数
，
的图象分别交于点
，
，
则
能取最小值时，以下符合条件的
的区间为( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
，
不妨令
，则
，易知
在
上单调递增，
因为
，
，
所以
，使得
，
从而当
时，
；当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得最小值，此时
，
即
.
故选：A.
8．（2025·甘肃·模拟预测）已知
，
分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值
为 .
【答案】
/
【解析】由题意得
的最小值为曲线上点
到直线
距离的最小值，
此时点
就是曲线与直线
相切的切点，
对
求导有
，由
可得
，即
，
故
.
故答案为：
.
9．若
，
分别是函数
与圆
上的点，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】设圆
的圆心为
，半径为
，
当
垂直于抛物线在点
处的切线时，
取得最小值，为
，如图所示，
设点
，则直线
的斜率为
，且
，
由
知，
，
所以在点
处的切线的斜率为
，
因为直线
与切线垂直，所以
，所以
，
所以
，即
，
因为
恒成立，所以
，即
，
此时
，
所以
，即
的最小值为
．
故答案为：
．
10．设
，当a，b 变化时，
的最小值为 .
【答案】
.
【解析】
，
函数表示点
和
的距离加上
的纵坐标，
画出
和
的图像，如图所示：
故
，当
共线时等号成立.
设
，则
，
，
当
时，
，故
，函数单调递增；
当
时，
，故
，函数单调递减.
，故
.
综上所述：
的最小值是
.
故答案为：
.
11．点
是曲线
上任意一点则点
到直线
的最短距离为 ．
【答案】
【解析】设直线
与函数
的图象相切于点
．
∵
，∴
，
，解得
，
，
∴点
到直线
的距离为最小距离
．
故答案为：
．
12．已知点M，N 为圆
上两点，且
，点P 在直线
上，点Q
为线段
中点，则
的最小值为
【答案】2
【解析】由题意，圆
可化为
,
∴圆C 是以
为圆心，半径
的圆，
∵
，点Q 为线段
中点，
∴
，
即Q 在以
为圆心，1 为半径的圆上，
∴求
的最小值，转化为求
的最小值，
∵圆心
到直线距离
，
∴
，
∴
，
故答案为：2.
13．已知直线
，分别与直线
和曲线
交于点M，N 两点，则线段MN 长度的最小值
是 ．
【答案】
【解析】设与
平行且与
相切的直线的切点为
，
因为
，
，切点为
，
切线方程为
，即
，
长度的最小值就是
被
与
截得的弦长，
则有
，
故答案为：
.
14．若直线
分别与曲线
，
交于
，
两点，则线段
长度的最小值为 ．
【答案】
，其中
.
【解析】设
，
，则
，故
，
，
，
.
故
，
设
，
则
在区间上为增函数，且当
时，
，且
，
故在区间
上存在
使得
，即
，故
则当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
故
有最小值
，其中
故答案为：
，其中
.
15．已知直线
与函数
，若直线
与直线、曲线
分别交于
点
，则当
取最小值时，
．
【答案】
【解析】易知直线
与直线垂直，
所以当与直线平行的直线
与曲线
相切于点
时，
取最小值，
由
，得
，
设
，则
，解得
，
则
，所以
，
又切点
在直线
上，所以
，则
.
故答案为：
.
16．已知直线y = a 分别与曲线y = 3x + 2，y = 2x + ln x 交于A，B 两点，则∣AB∣的最小值为 ．
【答案】1
【解析】设
，
，则
，
所以
令
，则
当
时，
，当
时，
，
∴函数在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
时函数的最小值为
，
故答案为：．
17．（2025·湖北·一模）已知直线
与曲线
分别交于
两点，则
的最小值为
．
【答案】1.
【解析】令
，
，显然为增函数，且
所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
所以
.
故答案为1.
18．设动直线
与函数
，
的图象分别交于点
，
，则线段
长度的最小值为
．
【答案】
【解析】构造函数
，
则
，
所以
在
上递增，令
解得
.
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
的最小值为
.
也即
的最小值为
.
故答案为：
19．（2025·高三·辽宁锦州·期末）实数
，
满足
，
，则
的最小值是 ．
【答案】2
【解析】
.
对于
，
，则
在R 上单调递增，
又
，则
，故
，
表示函数
图象上一点到直线
上一点距离的平方，
则最小值为函数
图象与直线
平行切线上一点到直线
的距离的平方.
，令
，
则与直线
平行切线对应的切点为：
，其到直线
距离为
.
则最小值为2.
故答案为：2
20．（2025·高三·上海闵行·期中）已知
，
，则
的最小值为 ．
【答案】2
【解析】
，
设
，则
在函数
的图象上，
在函数
的图象上，且
与
关于直线
对称，
所以问题转化为求
与
图象上两点距离的平方的最小值，
，令
，则
，由对称性可得
最小时，
，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：2.
21．已知实数
，且函数
，则函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得
，
设
，
，
则点
在曲线
上，点
在抛物线
上，
的几何意义为
，
两点间距离
与点
到
轴的距离
之和．
设抛物线
的焦点为
，
则由抛物线的定义知
，
所以
，
所以
，
问题转化为求曲线
上的点到点
的距离的最小值，
设曲线
上的点
，
到点
的距离最小，
则
与曲线在点
处的切线垂直，
即
，
所以
，
作出函数
与函数
的图象，如图所示：
由图象知，两函数图象只有一个交点
，
所以方程
的解为
，则
．
所以
，
所以函数
的最小值为
．
故答案为：
．
22．设
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由两点距离公式的几何意义可知
表示点
到
的距离，
表示点
到
的距离，
而
是
上的点，
是
上的点，
是
上的点，且
与
关于
直线
对称，
所以
的最小值可转化为
图像上的动点与
图像上的动
点最小距离，
显然，
与平行
的切线的切点
，和
与平行
的切线
的切点
，它们之间的距离
就是所求最小距离，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
对于
，设切点为
，有
，则
，故
，则
，故
，
所以
，所以题设式子的最小值为
.
故答案为：
.
