文档文本内容
培优点06 极值点偏移
题型方法
题型一 对称化构造函数
题型二 比值代换
知识点01 极值点偏移的概念
已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点
左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有x0≠，这种情况称为极值点偏移．
知识点02 极值点偏移问题的一般题设形式
(1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)>0；
(4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0.
【题型一】对称化构造函数
【例1】（2024·云南·二模）已知常数
，函数
.
题型梳理
知识清单
题型方法
(1)若
，求
的取值范围;
(2)若
、
是
的零点，且
，证明:
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意
，即可求出
的取值范围；
（2）由（1）不妨设
，设
，利用导数说明函数的单调性，即可得到
，结合
及
的单调性，即可证明.
【详解】（1）由已知得
的定义域为
，
且
，
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，
，即
在
上单调递增.
所以
在
处取得极小值即最小值，
，
，
，即
的取值范围为
.
（2）由（1）知，
的定义域为
，
在
上单调递减，在
上单调递增，且
是
的极小值点.
、
是
的零点，且
，
、
分别在
、
上，不妨设
，
设
，
则
当
时，
，即
在
上单调递减.
，
，即
，
，
，
，
，
又
，
在
上单调递增，
，即
.
【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，
利用函数的单调性可比较大小；
（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值
相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.
解题技巧
对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．
(2)对结论x1x2>x 型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是
两边取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可
【举一反三】【变式1】（2023·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据
和
分类讨论，即可得出函数的单调性；
（2）由
可得，
是方程
的两不等实根，从而可将问题转化为
是方
程
的两不等实根，即可得到
和
的范围，原不等式等价于
，即极值点偏移问题，根据对称化构
造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
.
由
得：
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）因为
是方程
的两不等实根，
，
即
是方程
的两不等实根，
令
，则
，即
是方程
的两不等实根.
令
，则
，所以
在
上递增，在
上递减，
，
当
时，
；当
时，
且
.
所以0
，即0
.
令
，要证
，只需证
，
解法1（对称化构造）：令
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上递增，
，
所以h
，所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
.
解法2（对数均值不等式）：先证
，令
，
只需证
，只需证
，
令
，
所以
在
上单调递减，所以
.
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
.
【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对
数均值不等式等方法证出．
【变式2】（2022·四川南充·一模）已知函数
有两个不同的零点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用导数求单调区间，结合图象可解；
（2）利用单调性将问题转化为证明
，然后构造差函数
，利用导数证
明
即可.
【详解】（1）
的定义域为
，
因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得最小值
.
又当x 趋近于0 或
时，
趋于
，
所以，要使
有两个不同的零点
，只需满足
，即
.
所以实数
的取值范围为
.
（2）不妨设
，由（1）可知，
，则
，
要证
，只需证
，
又
在
上单调递增，所以只需证
，即证
.
记
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
又
，
所以
，即
.
所以
.
【点睛】本题第二问为极值点偏移问题，关键在于构造差函数
，然后利用导数讨论其
单调性，单调性结合
即可证明.
【变式3】（2024·山东日照·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不相等的实数根
，且
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分
和
两种情况，结合导数符号判断函数单调性；
（2）根据题意分析可知：
在
内单调递增，在
内单调递减，
，利用极值点
偏离证明
和
，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：
的定义域为
，
，
且
，令
，可得
，
当
，即
时，可知
在
内恒成立，
即
在
内恒成立，所以
在
内单调递增；
当
，即
时，由
解得
或
，
由
可知
，
若
，
；若
，
；
所以
在
内单调递增，在
内单调递减；
综上所述：当
时，
在
内单调递增；
当
时，
在
内单调递增，在
内单调递减.
（2）当
时，可得
，
，
由（1）可知：
在
内单调递增，在
内单调递减，
由题意可得：
，
因为
，
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递减，
则
，即
；
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递增，
则
，即
；
由
和
可得
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数
；
（3）利用导数研究
的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
【题型二】比值代换
【例2】（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
，求实数a 的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.
(3)已知
有两个零点
，
，求实数a 的取值范围并证明
.
【答案】(1)
(2)
(3)
，证明见解析
【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有
，解方程即得实数a 的值；
（2）依题意
在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可；
（3）求出函数
的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a 的取值范围；通过分析法要证明
，只需证
，构造函数
即可证得
【详解】（1）因为
，所以
.
所以
，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
，
所以
，解得
..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以
在（0，+∞）上恒成立.
即
恒成立.
，即
，
令
，所以
，
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
.
（3）
定义域为
当
时，
，所以
在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当
时，
在（0，
）上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
，
函数
存在两个零点的必要条件是
，
即
，又
，
所以
在（1，
）上存在一个零点（
）.
当
时，
，所以
在（
，+∞）上存在一个零点，
综上函数
有两个零点，实数a 的取值范围是
.
不妨设两个零点
由
，所以
，
所以
，所以
，
要证
，
只需证
，
只需证
，
由
，
只需证
，
只需证
，
只需证
，
令
，只需证
，
令
，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴
，
即
成立，
所以
成立.
【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧.
解题技巧
比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明
【举一反三】【变式1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知
．
(1)当
时，讨论函数
的极值点个数；
(2)若存在
，
，使
，求证：
．
【答案】(1)函数
的极值点有且仅有一个
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，然后分
和
两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案；
（2）由
可得
（*），通过证明
单调递增，
（*）转化为
，接着证明
成立，即可求解
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，不存在极值点；
当
时，令
，则
总成立，
故函数
即
在
上单调递增，
且
，
，所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
故在
上存在唯一极值点，
综上，当
时，函数
的极值点有且仅有一个．
（2）由
知
，
整理得，
（*），
不妨令
，则
，故
在
上单调递增，
当
时，有
，即
，
那么
，
因此，（*）即转化为
，
接下来证明
，等价于证明
，
不妨令
（
），
建构新函数
，
，则
在
上单调递减，
所以
，故
即
得证，
由不等式的传递性知
，即
．
【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式
证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在区间
上单调递减，求实数
的取值范围；
(2)若方程
有两个实根
，
，且
，求证：
.
参考数据：
，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求
的导数，对a 分类讨论，根据函数的单调性求a 的取值范围.
（2）由
，
是方程的两个根，令
，将
和
分别用t 表示，构造函数
，对函数求导求
最值证明不等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，由题意，
.
当
时，
，函数
在
上单调递增，不合题意；
当
时，由
得
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
又函数
在区间
上单调递减，所以，
，即
.
因此，实数
的取值范围是
.
（2）由题意
，
于是
，令
，则由
可得，
.
于是
，即
.从而
.
另一方面，对
两端分别取自然对数，则有
，
于是，即证
，即
，其中
.
设
，
.则
，
设
，
.
则
在
上恒成立，
于是，
在
上单调递增，从而
.
所以，
，即函数
在
上单调递增，于是
.
因此，
，即原不等式成立.
【点睛】令
，结合方程组
，可得
，
.
分析要证
，两边取对数，只要证
，从而构造出函数
，
.
【变式3】（2023·江西南昌·二模）已知函数
，
．
(1)当
时，
恒成立，求a 的取值范围．
(2)若
的两个相异零点为
，
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究
的最小值不小于0 即可.
（2）消去参数a 及比值代换法后得
，运用导数研究
在
上最小值大于0 即可.
【详解】（1）当
时，
恒成立，
即当
时，
恒成立，
设
，
所以
，即
，
，
设
，
则
，
所以，当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，
若
恒成立，则
．
所以
时，
恒成立，a 的取值范围为
.
（2）由题意知，
，
不妨设
，由
得
，
则
，
令
，
则
，即：
．
要证
，
只需证
，
只需证
，
即证
，
即证
（
），
令
（
），
因为
，
所以
在
上单调递增，
当
时，
，
所以
成立，
故
．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论
型，构造函数
；对结论
型，
构造函数
，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换
化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
一、解答题
1．（2022·河南平顶山·模拟预测）已知函数
有两个零点．
(1)求a 的取值范围；
(2)设
是
的两个零点，证明：
．
【答案】(1)
；
好题必刷
(2)证明见解析.
【分析】（1）等价于
有两个零点，设
，求出函数的最小值利用零点存在性定理分
析即得解；
（2）不妨设
，等价于证明
，再利用极值点偏移的方法证明.
【详解】（1）解：由
，得
，
设
，则
，
，
因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
又因为
，所以
，
，
，
所以a 的取值范围是
．
（2）证明：不妨设
，
由（1）知
，则
，
，
，
又
在
上单调递增，
所以
等价于
，即
．
设
，
则
．
设
，则
，
设
，则
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，又因为
，
，
，
所以存在
，使得
，当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
又因为
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，
单调递减，
因为
，所以
，
所以
，即原命题得证．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握.
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
，且
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，分
和
两种情况，得到函数的单调性；
（2）变形为
是方程
的两个实数根，构造函数
，得到其单调性和极值最值情况，结合
图象得到
，再构造差函数，证明出
.
【详解】（1）
的定义域为R，
由题意，得
，
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增；
当
，且当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
（2）证明：由
，得
，
是方程
的两个实数根，
即
是方程
的两个实数根．
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
．
因为当
时，
；当
时，
，
，所以
．
不妨设
，因为
，
是方程
的两个实数根，则
．
要证
，只需证
．
因为
，
，
所以只需证
．
因为
，
所以只需证
．
令
，
，
则
在
恒成立．
所以
在区间
上单调递减，
所以
，
即当
时，
．
所以
，
即
成立．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.
3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
为其极小值点．
(1)求实数
的值；
(2)若存在
，使得
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
求出
，再根据极小值点的定义加以验证即可；
（2）分类讨论
和
，转化为证明当
，
时，
，继续转化为证明当
时，
，构造函数
，利用导数判断单调性可证不等式成立.
【详解】（1）
的定义域为
，
，依题意得
，得
，
此时
，
当
时，
，
，
，故
，
在
内单调递减，
当
时，
，
，
，故
，
在
内单调递增，
故
在
处取得极小值，符合题意.
综上所述：
.
（2）由（1）知，
，
不妨设
，
当
时，不等式
显然成立；
当
，
时，不等式
显然成立；
当
，
时，由（1）知
在
内单调递减，因为存在
，使得
，所以
，
要证
，只要证
，
因为
，所以
，又
在
内单调递减，
所以只要证
，又
，所以只要证
，
设
，
则
，
令
，则
，
因为
，所以
，
在
上为减函数，所以
，
即
，
所以
在
上为减函数，
所以
，即
.
综上所述：
.
【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：
①比值代换：设
，将不等式化为关于的不等式，再构造函数，利用导数证明即可；
②构造函数
，其中
为极值点，利用导数判断单调性，根据单调性证明即可.
4．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导得
，然后分
讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，将原式变形为
，然后构造函数
，
，求导可得函数
在
上单调递增，即可证明.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
若
，则
，无极值；
若
，由
，可得
，
若
，当
时，
，则
单调递减，当
时，
，则
单调递增，
此时，函数
有唯一极小值
，无极大值；
若
，当
时，
，则
单调递增，当
时，
，则
单调递减，
此时，函数
有唯一极大值
，无极小值；
所以当
时，函数
无极值；
当
时，函数
有极小值
，无极大值；
当
时，函数
有极大值
，无极小值；
（2）证明：由
，两边取对数可得
，即
，
当
时，
，
，
由（1）可知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
而
，
时，
恒成立，
因此，当
时，存在
且
，满足
，
若
，则
成立；
若
，则
，
记
，
，
则
，
即有函数
在
上单调递增，所以
，即
，
于是
，而
，
，
，
函数
在
上单调递增，因此
，即
.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数极值问题以及极值点偏移问题，难度较大，解决本题的关键在
于构造函数
，
，结合其单调性证明.
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，判断
在区间
内的单调性；
(2)若
有三个零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；
（2）（i）原条件可转化
有三个不等实根，从而构造函数
，研究该函数即可得；（ii）借助的
单
调性，得到
，从而将证明
，转化为证明
，再设
，从而将三个变量的问题转化为单
变量问题，即可构造函数
，证明其在
上大于
即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
令
，
，
令
，可得
，
则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）（i）
有三个零点，即
有三个根，
由
不是该方程的根，故
有三个根
，且
，
令
，
，
故当
时，
，当
时，
，
即
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
，当
时，
，
时，
，
当
时，
，
时，
，
故
时，
有三个根；
（ii）由
在
上单调递增，
，故
，
由（i）可得
，且
，
即只需证
，设
，则
，
则有
，即有
，故
，
，
则
，即
，
即只需证
，
令
，
则
恒成立，
故
在
上单调递增，
则
，即得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数
存在两个零点
且
，求证：
（
为函数
的极值点）；
2.若函数
中存在
且
满足
，求证：
（
为函数
的极值点）；
3.若函数
存在两个零点
且
，令
，求证：
；
4.若函数
中存在
且
满足
，令
，求证：
.
6．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性．
(2)假设存在正实数
，满足
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
【答案】(1)函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导，由导数符号即可求解；
（2）（i）由题意知，问题转换成
有两根，通过取对数，同构，构造函数
，通过其单调性
即可求解；（ii）构造函数
，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解；
【详解】（1）由题意知，
，
令
，解得
，
令
，解得
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）（i）由题意知，
在
上有两个不相等的实数根，即
，
两边取对数，可得
．记
，易知
在
上是增函数，
故
可等价于
，即
．
记
，则
，得
在
上单调递减，在
上单调递增，
有最小值
，故
，即
．
（ii）根据题意得
，不妨设
．
构造函数
，
则
．
当
时，
，则
，得
在
上单调递减，
有
，即
．
将
代入不等式，得
，又
，
故
，
又
在
上单调递增，
故
，即
．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数
存在两个零点
且
，求证：
（
为函数
的极值点）；
2.若函数
中存在
且
满足
，求证：
（
为函数
的极值点）；
3.若函数
存在两个零点
且
，令
，求证：
；
4.若函数
中存在
且
满足
，令
，求证：
.
7．（2023·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到
，构造
，利用导函数得到其单调性，极值和
最值情况，得到
；
（2）转化为
有2 个不同的实数根，构造
，得到其单调性，得到
，且
，求
出
，换元后即证
，构造
，求导后得到
在
上单调递
增，
，得到证明.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，所以
成立，等价于
成立.
令
，则
，
令
，则
，所以
在
内单调递减，
又因为
，所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值也是最大值.
因此
，即实数
的取值范围为
.
（2）
有2 个不同的零点等价于
有2 个不同的实数根.
令
，则
，当
时，解得
.
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值为
.
又因为
，当
时，
，当
时，
.
且
时，
.
所以
，且
.
因为
是方程
的2 个不同实数根，即
.
将两式相除得
，
令
，则
，
，变形得
，
.
又因为
，
，因此要证
，只需证
.
因为
，所以只需证
，即证
.
因为
，即证
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
即当
时，
成立，命题得证.
【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常
常利用
进行变形，可构造关于
的函数，利用导函数再进行求解.
8．（2023·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当
时，若
，求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，分
与
两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性；
（2）先结合（1）中函数单调性得到
，构造
，求导得到其单调性，从而
证明出
，得到结论.
【详解】（1）
的定义域为
，
因为
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增；
当
时，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）当
时
，
，定义域为
，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，所以
，
设
，
则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
所以
， 即
，
又因为
，
，所以
，
又因为
在
上单调递减，
所以
，即
．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相
同，将特征不等式变形，如常常利用
进行变形，可构造关于
的函数，利用导函数再进行求解.
9．（2024·四川眉山·三模）已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
②当
时，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)①
；②证明见解析.
【分析】（1）求出函数
的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数
，探讨函数
有两个零点的
的值范围.
（2）①由
有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线
与函数
图象有两个公
共点的
的值范围；②由方程根的意义可得
，分析所证不等式，换元并证明
即
可.
【详解】（1）依题意，
，
设过点
的直线与曲线
相切时的切点为
，斜率
，
切线方程为
，而点
在切线上，
则
，即有
，
由过点
可作曲线
两条切线，得方程
有两个不相等的实数根，
令
，则函数
有2 个零点，
求导得
，
①若
，由
，得
或
，由
，得
，
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，
又
，
当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
②若
，
恒成立，函数
在
上单调递增，
因此函数
最多1 个零点，不合题意；
③若
，由
，得
或
，由
，得
，
即函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值；当
时，
取得极小值，又
，
显然当
时，
恒成立，因此函数
最多1 个零点，不合题意；
④若
，显然
，当
时，
，当
时，
，
函数在
上单调递增，在
上单调递减，当
时，
取得最大值
，
要函数
有2 个零点，必有
，得
，
当
时，
，
而函数
在
上的值域为
，因此
在
上的值域为
，
当
时，令
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，
，
而函数
在
上单调递减，值域为
，
因此函数
在
上的值域为
，
于是当
时，函数
有两个零点，
所以过点
可作曲线
两条切线时，
的取值范围是
.
（2）①由（1）知，
，
由函数
有两个极值点
，得
，即
有两个实数根
，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
上单调递减，
，
且
，当
时，函数
恒成立，因此当
时，
有两个实数根
所以函数
有两个极点时，
的取值范围是
.
②由
，即
，得
，
要证明
，只需证明
，
而
，
令
，则
，欲证明
，
即证明
，只需证明
即可，
令
，
求导得
，
则
在
时单调递增，故
，
则
，令
在
时单调递增，则
，
因此
，即
，
所以
.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双
