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隐零点与极值点偏移问题
7-6
7-6 隐零点与极值点偏移问题.............................................................................................................................1
一、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 隐零点问题.................................................................................................................................2
题型二 极值点偏移问题......................................................................................................................12一、分类题型
题型一 隐零点问题
导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存
在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过
整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
【例题精析1】 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【例题精析2】 已知函数 ．
(1)若 时，函数 有2个极值点，求 的取值范围；
(2)若 ， ，方程 有几个解？
【例题精析3】 已知函数 .
(1)若 ，证明： 存在唯一的极值点.
(2)若 ，求 的取值范围.
【例题精析4】 已知函数 ．
(1)设 ，求 在 上的最大值；
(2)当 时，求证： ．
【例题精析5】 已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)设 ，若 ， ，都有 ，求实数 的取值范围．零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f′(x)＝0，并结合f′
0
(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适
当缩小．
【对点精练1】 已知函数 （k为常数，且 ）．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上存在极值，求实数k的取值范围．
【对点精练2】 已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 在 上的单调性．
【对点精练3】 已知函数
(1)若 ，求 的极小值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时， 恒成立，求 的最大整数值．
【对点精练4】 设函数 ， ， ，已知曲线 在点 处的切线
与直线 垂直．
(1)求a的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若 对 成立，求b的取值范围．
【对点精练5】 已知函数 ．
(1)若 ，求 的极小值．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，证明： 有且只有 个零点．题型二 极值点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极
值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，
计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特
色．
【例题精析6】 （2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【例题精析7】 已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 有两个不同的零点 ，求 的取值范围，并证明： ．
【例题精析8】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性和最值；
(2)若关于 的方程 有两个不等的实数根 ，求证： .
【例题精析9】 已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x＋x>(<)2x型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)；对结论
1 2 0 0
xx>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
1 2
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明．【对点精练6】 （2023·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： .
【对点精练7】 设向量 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ，若 存在两个极值点 ，证明：
.
【对点精练8】 已知函数 有两个零点 、 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： .
