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⾼三冲刺笔记-导数（⼋）
考点归纳：极值点偏移（⼀）-判定定理
r
i
,
⼀⼀
-1
⼀、极值点偏移:
1 . 含义
若拟满⾜定义域内任意⾃变量ㄨ都有fnkfwn
, 则拟关于直线Xmn对称,
可以理解为拟在对称轴两侧
, 函数值变化快慢相同
, 若拟为单峰函数,
则恸
必为扣的极值点
,
若㨥= c 的两根中点为
"
,
则刚好有
如
之
⼆加,
即极值点在两根正中间
, 也就是极值点, 没有偏移。
⼈
⼋
⼋
抋1
拟1
yicflxi.fm
flxi
˙
˙
f灬y: (
•
。
y = C
。
•
•
•
>
>
x,
必
收
⼩
X
X。
⽕'
xnxx.tn/X2(xo1
如
2
2
极值点⽆偏移
极值点在偏移
极值点在偏移
X.tk
X
=
2
x > 达
加
加
⼈为坂
苦相等变为不等
, 则为极值点偏移
, 若单峰函数和的极值点为x
,且拟
满⾜定义域内Fm 左侧的任意⾃变量x , 都有f N) > f ( 2110
- x) 或抛⼈加仔们
则函数拟极值点
, 为在右侧变化快慢不同。
,
若
为⼈迦
, 则称为极值点
在偏; 若⼼必"
, 则称为极值点在偏
。
2
.
极值点偏移问题的⼀般题这形式
:
1
若拟存在两个零点Xi
, ⼩
, 且X.tk
, 求证
:
X.tl/272Xoz
茬和存在
X
, ⼩
, 且X.tk
, 满⾜⼩刈冰州
, 求证
: x.tk
> 2110
了
若拟存在两个零点xxz
, 且㶥⽕
,
令x
= f
, 求证: fix.in
4
若拟存在
X , ⼩
, 且X_X ,
满⾜flx.it 1们
, ⽗加
⼆
"
, 求证
: fix.is
⼆、判定定理求极值点偏移
1
、
求出抛极值点⼩
;
2
、构造
- 元差函数Fcxifcxotx7.fix_x) 或下必以必扣为为
3
、确定FM 单调性;
4 、结合下(0) = 0
, 判断FM 符号
, 从⽽确定flxotxi.fi x_x) 关系。
三、答题模版
:
第⼀步
:
过论拟单调性并求加1 极值点Xo
,
第三步
:
构造下cxrflxotxj-fcx.mx) 或FM-fxl.kzx_x 了
第三步:
通过求导
下闪过论下⼼单调性
, 判断下仍在某段区间上的正负
, 并得出
flx.tl/)5fcxo-xi 的⼤⼩关系。
第四步
:
不妨放⽔Xo
⼈ㄨ2
. 通过拟单调性
, 拟对版)
, flxotx) 与我。州⼤⼩关系
得出结论。
第五步
;
若要证明f
'
( 逖) 们
,
还需进⼀步过之⼼如
与⼼的⼤⼩
, 得出如"
所在
单调区间
, 从⽽得出该处函数导数值正负
, 从⽽结论得证。
> eg :
若已知拟满⾜fcxr.fm
, x。为极值点
, 求泣
州⼈从为
解
假这拟在c.no
, 们
,
在(加, ⼼⼭
下必
构造
下灬fM
-f ( 2⼩们
假设
下凶在lo.to⼼
"代⼊
"
'
。
ie.FM
> FND-flxol.fm。)
= 0
x,
x.it
> ⼩时
,
fN)
> f (2x_x)
fM
④
@
且XKXoax.fm,以则
改写
"
i
)
,
"
改写
"
,
xxok.ifcxi-fcxi-fIX.tn/z-Xo)J7fIXo-Cxz-xDJ=fl2Xoxj
和
和
i
>
b
!
X
加
汉
x
、加
i
x <
2为
⼀认
"
2xo-X2.ix.sn
2.x,
⼀加
>
X.tk
⼈2为
得证
、
州"
< x,
且fm 在
(⼼,
o) ↳
ㄡ
. :
州加
⼈边。
'
z
i f
'
( 过⽕
了⼼
, 得证。
📍
题型训练：判定定理求极值点偏移问题
🌶
🌶
🌶
解由fmithx 单调性宁知
: 拟在10 1
2 ) ↳
在(2 、切上
拟
令下(⾮扣)⼀对(4
- x)
2
i
i
i
i
i
下必i
thx
-
4.x
tlncttx)
2
1
8 ( x-2)
2
X
2灶⽕
,
加
2
则Fixk-x-c4.pt it
4
-x
=
- iaxi "
FM
i.FM?FC2)=O
i.FM 在⼼2) ↳且下⼀
jgi.fm
)
> f (4
- 灯
者flx.it贩)
, 则⼼有从2 < ⼼
,
471172
,
i.fm )
= f (州
> f (4 - 们
ixas.4-xiix.tl/274
得证
,
解: 由拟单调性可知拟在v0 ,
⻔⼭
, 在( 1 , 切)
↳
.fm 极值是利主
令FM-futxj-fcrxkcltxj.ci ""
⼀(ix).⼼
,
则FIXKXIe.ME"们
,
当X7 0 时
, 下
" 们> 0 ,
吓⼼在1 0 , ⼼f.
且下
⻔
,
i.FM 7 0
, 即fmx )
> f (
1
- x)
i
i
fMYX.tk
, 这XKXiiflxrfcxji.MN
ㄨ271
iiiixz2.ifcxjifcxakf.lt
(⼼) ]
> f I 1
-
(X
- 1 )]
=f ( 2 - M
" 加1
i
2 ㄨ2 4
i
X 1
7 2- X 2
7 X.tl/z72.
得还
.LI
解
由题和在⼼
, 1) ↳在( 1
, ⼀⼼⼼
( 省略了第⼀问1
"
令Fcxrfci-xj.fi Hxl
, 则下个⼩动( e
'"
- e
'"
)
, 当x> o 时
,
Fixko-iFM.FI
》
: 0
.
即f(ix)
< f ( 计》
⼀:
由flxmflx.li/-ICl-(l-xnafIlt(rxD=f(2- 刈
即f贩) < f (2.x:)
且2.x ,
> I
i
i
i
i
i
i ,
从⼈2.x
>
X.tk
< 2
X.MX ,
加
2
🌶
解
, 当a
- 1
时
, fcxl-d-x.fi/):eMifcx) 在( -0,07 ↳
在co.to)1
姒有极⼩值扣1 =
1
ix. 中
加,
且f.以仁⼦(双)
,
则
⼩
⼈042 ,
(不妨这⼩伙)
这FcxrfM-fc-xi-ex-X-letxl-ex-ei-2xcxaoyli.FM
= d
t a
- 2
.
" 当⽕0时
, 0⼼< l
i d t I > 2
. i
当⽕0时FMzo.it ix) 在
ho.si
Fcx) <
F ( 0)
= o
.
即当ko.fm afex)
,
i.
oixxo.i.fm )
< f ( - X :)
X.MX?X22R-:flxiKfcxj..f(XaKf(-xi1
⼜冰灯在co.tn)
t.I-X.TK
>
x.tk
们
解
由glxrfntf.in
有不同零点✗,
⽕
、
纹
o <x < 双
故乐必) = 9 1的
⼈物
= tnxii.AM 在1 0 1 1 )
⼭
在
cl.to/siosxxKxalix)=9M-f(2-x),XE(Oil)FM=_f-MC2X7
YXECO.Di-lnx70.ie (ix)
2
(2 - 们
iFixjy-MX-MC2xli.hn [ X (2 -x )]
( 2 -Y )
(2.x2)
70
-
下⼼在1 0 .
1)
O'
i
下⼼<
下( 1) : 0
-
即
FCXKO.iq
(X)
-
9 (2 -X )
,
"
乐⼼)
=
g (加1
X 1
1
灶⽕
加
2
i
9 (刈
⼈
乐( 2
-x )
2 - X 1 7 1
. :
2
- X I
< X 2
ix.tk
> 2
_
