文档文本内容
培优点03 洛必达法则
题型方法
题型一 用洛必达法则处理0
0型函数
题型二 用洛必达法则处理型函数
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需
要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则．
洛必达法则：
法则1 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝0 及lim g(x)＝0；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，
那么lim ＝lim ＝l.
法则2 型
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
题型梳理
知识清单
(1)lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.
注意：
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不
满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
lim ＝lim ＝lim ，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【题型一】用洛必达法则处理0
0型函数
【例1】我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷
小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母
分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
．
【答案】
/0.5
【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.
【详解】
故答案为：
解题技巧
题型方法
用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值
【举一反三】【变式1】（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，当
时，
.已知函数
，
.
(1)证明：
在区间
上单调递减；
(2)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)
，证明：
（附：
）.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求函数的导函数，再结合分
分别求出导函数正负得出函数单调性即可证明；
（2）先把不等式恒成立转化为
，再结合函数单调性得出函数值范围即可求参；
（3）构造函数
，根据导函数得出函数单调性即可证明不等式
再结合累加法及等比
数列求和即可证明.
【详解】（1）
，
令
，则
，
令
，则
，
若
，则
单调递减，
单调递减，
，
在
上单调
递减，
若
，则
单调递增，
，即
存在唯一
，使得
，且在
上，
单调递减，在
上，
单调
递增，
且
，
在区间
上单调递减，且
在
上连续，
综上，
在区间
上单调递减.
（2）当
时，
，成立.当
时，由
可得
，
令
，
由（1）可知
在
上单调递减，
.
由洛必达法则：
，
.
（3）当
且
时，
，令
，
则
，令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
在
上单调递增，
（当
时取等号），
，
，
，
，
即
.
【变式2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函
数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函
数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
【答案】(1)
不是区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造
，再结合
即可得到结果；
（3）通过换元令令
，则原不等式等价于
，再通过构造函数
，
根据题干中函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数的定义证出
，即可证明结论.
【详解】（1）设
，
由于
，
所以
不成立，
故
不是区间
上的2 阶无穷递降函数.
（2）设
，则
，
设
，
则
，
所以
，得
.
（3）令
，则原不等式等价于
，
即证
，
记
，则
，
所以
，
即有对任意
，均有
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的
转化.
【变式3】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果
，
，则
，
，若B≠0，则
；ii)洛必达法则：若函数
，
的导函数分别为
，
，
，
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对
，均有
成立，则称函数
为区间
(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
，
.
【答案】(1)
1
①；②
(2)是，证明见解析
【分析】（1）① 根据题干中洛必达法则进行计算即可得解；②设
，根据洛必达法则求出
，利
用变换
得解；
（2）方法一，
，均有
，同理可得
，利用洛必达法则1 可得
，得
证；
方法二，利用导数可得
在
上单调递增，又由
，得证．
【详解】（1）①根据洛必达法则，
；
②设
，两边同时取对数得，
，
设
，
，
∴
，∴
（2）∵
，
，
∴
，
，
，
∴
∴
，均有
，
∴
是区间
上的2 阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得
，
由①
，得
∴
，
.
方法二：
设
，
，
则
设
，
，则
∴
在
上单调递增，又
，∴
在
上恒成立，
∴
∴
在
上单调递增，∵
，
∴
在
上但成立，∴
，
∴
在
上单调递增，
又
∴
，
.
【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1 小题，构造函数
，根据洛必达法则求出
，得解； 第2 小题，方法1 先证明
是区间
上的2 阶无穷递降函数，同理可得
，根据洛必达法则可得
；方法2，利用导数可判断
在
上单调递增，
再根据洛必达法则求出
，即可.
【题型二】用洛必达法则处理型函数
【例2】两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则，
即在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如
､
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】利用洛必达法则直接求解即可.
【详解】
.
故选：B.
解题技巧
用洛必达法则处理型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现型式子；(3)运用洛必达法则求值．
【举一反三】【变式1】（24-25 高二下·河南商丘·期末）“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，
洛必达法则之一的内容是：若函数
，
的导数
都存在，且
，如果
是常数）时，
或
或
，且
（是常数），则
时，
．
已知函数
．
(1)证明：
时曲线
在点
处的切线与曲线
也相切；
(2)若函数
有两个零点
，函数
有两个零点
．
①指出
的大致范围（不必说明理由），并求出
的取值范围；
②试探究
与
的大小关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
，
的取值范围是
；②
【分析】（1）对函数
分别求导，分别求出在点
的斜率和函数值，进而求出切线方程.
（2）①构造新函数，求导，判断单调性，进而可判断零点范围；②构造新函数，求导，判断单调性，比较零点大小.
【详解】（1）证明：
时，
，
因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程是
，即
．
因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程是
，即
．
所以
时曲线
在点
处的切线
与曲线
也相切．
（2）①
．
由
，得
，
令
，则
与
的零点相同，
与
的零点相同，
又
，
时，
单调递增；
时，
单调递减；
时，
单调递增；
时，
单调递减，
所以
和
在
上都是增函数，在
上都是减函数，
所以
时，
时，
，
因为
有两个零点，即
有两个零点，
所以
，且
解得
．
当
时，
，
又
时
，
根据洛必达法则可知，
时
，
所以
时
，
所以
时，
在区间
和
上各有一个零点，所以
，
因此，若函数
各有两个零点，
的取值范围是
．
②令
，则
与
的零点相同，
与
的零点相同，
在区间
上是增函数，
，
令
，则
，
时
单调递减；
时
单调递增；
所以
时
，
于是
时
等号仅当
时成立，
所以
在
上是增函数．
所以
时
，即
时
；
时
，即
时
；
由①知
，所以
，
又
，所以
，
又
在区间
上是增函数，且
，
所以
．同理可证
，
于是
．
【变式2】（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式
型或
型极限的一种重要
方法，其含义为：若函数
和
满足下列条件：
①
且
（或
，
）；
②在点
的附近区域内两者都可导，且
；
③
（
可为实数，也可为
），则
．
(1)用洛必达法则求
；
(2)函数
（
，
），判断并说明
的零点个数；
(3)已知
，
，
，求
的解析式．
参考公式：
，
．
【答案】(1)
(2)仅在
时存在1 个零点，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；
（2）构造函数
，结合
的单调性求解即可；
（3）利用累乘法求出
的表达式，然后结合
，利用洛必达法则求极限即可.
【详解】（1）
（2）
，
，
所以
，
．
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
，
，
当
时，
，所以仅在
时存在1 个零点．
（3）
，所以
，
，…，
将各式相乘得
，
两侧同时运算极限，所以
，
即
，
令
，原式可化为
，又
，
由（1）得
，
故
，由题意函数
的定义域为
，
综上，
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数
，从而利用
洛必达法则求极限.
【变式3】极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，
.如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定
式，并分别简记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方
法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
①直接写出
解析式；
②求
的取值范围.
【答案】(1)
7
①，②2，③
(2)
1
①，②1，③1
(3)①
，②
【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决；
（2）将选择的式子化简结合极限的定义求解；
（3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解.
【详解】（1）①对于
，当
时，分子
，分母
，属于
型，
；
②对于
，属于
型，
；
③对于
，属于
型，
.
（2）①
；
②
；
③
.
（3）①由
，则
，又
，
，得
，
.
②对
，
恒成立，
即
，
令
，则
，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
所以当
和
时，
，当
时，
，
即
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，即
的取值范围为
.
一、单选题
1．（22-23 高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子分母同时趋近于
､
0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定
条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法
､
.如：
，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可
【详解】由题意得
，
故选：B
二、填空题
2．（21-22 高三上·湖北襄阳·期末）我们把分子，分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696 年，洛必达在他的著作《无限小分
析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件
下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：
，则
．
好题必刷
【答案】2
【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.
【详解】由题可得
.
故答案为：2.
三、解答题
3．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，
当
时，
.已知函数
，
.
(1)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)
，证明：
（附：
）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先把不等式恒成立转化为
，再结合函数单调性得出函数值范围即可求参；
（2）构造函数
，根据导函数得出函数单调性即可证明不等式
再结合累加法及等比
数列求和即可证明.
【详解】（1）当
时，
，成立.当
时，由
可得
，
令
，
，
令
，则
，
令
，则
，
若
，则
单调递减，
单调递减，
，
在
上单调
递减，
若
，则
单调递增，
，即
存在唯一
，使得
，且在
上，
单调递减，在
上，
单调
递增，
且
，
在区间
上单调递减，且
在
上连续，
综上，
在区间
上单调递减.
所以
在
上单调递减，
.
由洛必达法则：
，
.
（2）当
且
时，
，令
，
则
，令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
在
上单调递增，
（当
时取等号），
，
，
，
，
即
.
4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，
此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，
其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数
，
满足下列条件：
①
，
；
②在点a 处函数
和
的图像是连续且光滑的，即函数
和
在点a 处存在导数；
③
，其中A 是某固定实数；
则
.”
那么，假设有函数
，
.
(1)若
恒成立，求t 的取值范围；
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意可得
恒成立，然后分
三种情况，根据不等式恒成立，求出t 的取值范
围.
（2）令
，对
求导，判断
的单调性，求出
，进而得到
，结合（1），即可
证明.
【详解】（1）若
恒成立，即
恒成立，
当
时，
，成立，
当
时，
，令
，
，令
，
，
当
时，
，当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
，
所以当
时，
，即
单调递增，
由洛必达法则知：
，
所以当
时，
，所以
,
同理，当
时，可得
，所以
综上所述：t 的取值范围为
.
（2）令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
，
所以当
，
，即
（当且仅当
时，等号成立）
由（1）知，
（当且仅当
时，等号成立）
所以
.
5．（24-25 高三上·湖北·期末）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一
定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数
和
满足下列条件：
①
，
②在点a 的去心邻域内
与
可导，且
③
，那么
据此回答下面问题：
(1)求
的值，并用导数的定义证明：
(2)已知
（i）求函数
的单调递减区间;
（ii）若
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)1，证明见解析
(2)（i）
,
；（ii）
【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等
式成立，分类求出函数的最大值即可.
【详解】（1）
，
依据导数的定义：
（2）（i）因为
，定义域为R，
所以
，
令
，解之得：
，
所以
的单调递减区间为
，
（ii）因为
对任意
恒成立，且当
时，不等式显然成立，
所以，当
时，原式可转化为
恒成立，
令
，即
，
因为
，
令
，
，
当
时，
，
，
在
上单调递减，
所以
，
即
时
，
所以
在
上单调递减，
，
所以
，
当
时，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
综上可知：实数a 的取值范围为
【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒
成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结
合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解
决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
6．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数
，
的导函数分
别为
，
，且
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函
数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)记
，
；求证：
.
【答案】(1)证明见详解；
(2) ；
(3)证明见详解.
【分析】（1）根据k 阶无穷递降函数的定义即可证明；
（2）记
，取对数得
，利用洛必达法则求出
，然后可得
的值；
（3）先证明
是
上的2 阶无穷递降函数，可得
，然后证明
即可得证.
【详解】（1）记
，
因为
，
所以
在区间
不恒成立，
所以，
不是区间
上的2 阶无穷递降函数.
（2）记
，则
，
因为
，
所以
，所以
.
（3）因为
，所以
，
所以
，
即对任意
，均有
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以，
时，
.
【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点：
（1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点；
（2）利用好定义所给的表达式及相关条件；
（3）含有参数时要注意分类讨论.
