文档文本内容
培优点02 指对同构问题
题型方法
题型一 同构法的理解
题型二 同构法的应用
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这
个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题．
【题型一】同构法的理解
【例1】若
(a，b 为变量)成立，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方法一利用对数的运算性质同构
，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D 错误；
方法二利用对数的运算性质同构
，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D 错误；
【详解】方法一：
题型梳理
知识清单
题型方法
对于A、B，由
，
可得
，
令
，则
，
因为
在R 上是增函数，所以
，故A 正确，B 错误；
对于C，取
，符合
，但
，故C 错误；
对于D，取
，符合
，但
，故D 错误.
方法二：
对于A、B 由
，
可得
，
令
，则
，
因为
在
上是增函数，
所以
，即
，
对于C，取
，符合
，但
，故C 错误；
对于D，取
，符合
，但
，故D 错误.
故选：A.
解题技巧
利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单
调性进行研究．
【举一反三】【变式1】（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于
的方程
（
，
，
）可化为同构方程，则
，
．
【答案】 3 8
【分析】两个方程分别取自然对数，转化后由同构的定义求得
，然后利用新函数的单调性得
关系，从而求得
的值．
【详解】对
两边取自然对数得
①．对
两边取自然对数得
，即
②．
因为方程①，②为两个同构方程，所以
，解得
．
设
（
），则
，
所以函数
在
上单调递增，所以方程
的解只有一个，所以
，
所以
，故
．
故答案为：3；8．
【变式2】（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式
结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结
构的等式或不等式问题.如
与
（可化为
）可以同构为
.若已知
恒成立，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】构造函数
根据导数求解其单调性，即可根据
得
，利
用导数求解
的最值即可.
【详解】令
则
在
单调递增，
由
可得
，
则
，
由于
，所以
，故
，
记
，
当
单调递增，当
单调递减，
故
，
因此
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛；构造函数
将不等式同构为
，得
，利用
导数求解
的最值.
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数.
【答案】同构变形见解析，
【分析】对不等式
运用不等式性质，结合指数对数运算进行同构变形即可.
【详解】首先将不等式
进行处理，
因为
，不等式两边同时除以
可得：
，
令
，则
，原不等式可化为
，即
.
进一步变形为
.
考虑函数
，则不等式左边为
，对于右边
，可变形为
，即
.
所以不等式
同构变形为
，同构函数为
.
【题型二】同构法的应用
【例2】（2022·河南·模拟预测）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不等式同构变形，然后构造函数
，由导数确定单调性，由单调性确定结论．
【详解】设
，
，
，当
时，
恒成立，
所以
在
上是增函数，
原不等式变形为
，即
，所以
．
故选：B．
解题技巧
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t 进行指对互化．
【举一反三】【变式1】（2020·陕西榆林·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知不等式变形可得
，构造函数
，其中
，分析函数
在
上的单调性，可得出
，结合函数
的单调性可得出
，再结合对数函数的单调性逐
项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为
，
令
，其中
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
所以，函数
在
上为增函数，
因为
，即
，故
，则
，
所以，
，则
，A 错B 对；
无法确定
与的大小，故
与
的大小无法确定，CD 都错.
故选：B.
【变式2】（2025·河南郑州·三模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最小值为 ．
【答案】-1
【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出
，然后构造新函数
，对其求导
判断单调性和最小值，从而求出
的最小值.
【详解】对函数
求导得：
.
因为直线
为曲线
的一条切线，
设切点为
，令
，即
①.
又
②，用①除以②得：
.
所以
.
所以
,所以
.
设
，则求导得
.
当
时，
，所以
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，所以
，此时
在
上单调递减.
所以
，所以
的最小值为-1.
故答案为：-1.
【变式3】（2024·内蒙古·三模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得
，分类讨论可求单调区间；
（2）由已知可得
，令
，可得
，进而由
单调性可得
，求
得函数
的最大值即可.
【详解】（1）
的定义域为
.
关于
的方程
，
当
时，
，
，所以
在
上单调递增.
当
时，
，此时
，
，所以
在
上单调递增.
当
时，则
是方程
的两根.
又
，所以
，
令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由
，可得
，即
.
令
，易知
单调递增.
由
，可得
，则
，即
.
设
，则
，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，所以
，
所以
，则
的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛：本题第2 小问的解决关键是，转化
得
，从而利用同构法即可得解.
一、单选题
1．（2020·河南焦作·一模）已知对任意的
，
都有
恒成立，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】B
【解析】通过构造函数，把问题转化为
，进而转化为
对任意的
恒成立，然后，对
进行分类讨论，进而可得解
【详解】解析：∵
，∴
，
∴
.
好题必刷
设
，问题转化为
对任意的
，
恒成立，则有
时为
对任意的
，
仍然成立，则问题转化为
对任意的
恒成立，当
时，显然成
立；当
时，
，所以
；当
时，
，
.
综上
.
故选：B
【点睛】关键点睛：把不等式变形，得到
，进而构造函数
，
问题转为
对任意的
，
恒成立，进而转化为
对任意的
恒成立，考查转化的思想，
难度属于中档题
2．（2025·海南·模拟预测）已知函数
，设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数值的大小，
通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系.
【详解】由题意得，
，代入
得
，解得
，可得
，
，
令
，
，
可知在
上，
，
在
上单调递增，
在
上，
，
在
上单调递减，在
处取得最大值，
，
所以在
上
，则
，所以
在
上单调递减，
设
，可知
，
则当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，所以
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，当
时，
，
在
上单调递减，
由
可知，当
时，
，即
，所以
在
上单调递增，得
，
即
，
综上可知，
，由
在
上单调递减得
.
故选：D.
3．（2022·陕西西安·模拟预测）已知
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，根据单调性即可确定
的大小.
【详解】设函数
，
，当
，此时
单调递增，当
，
此时
单调递减，由题
，
，
，得
，因为
，所以
，则
，且
，所以
.
故选：A.
【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，
先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.
二、多选题
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】设点在函数上结合对称性得出函数关系，再构造函数得出不等式恒成立判断A，B，再化简计算判断C，D.
【详解】设
为函数
的图象上任意一点，则
，
设
关于直线
的对称点为
，则
则
，
所以
，即
，
令
单调递增，所以
，所以
，
令
单调递增，所以
，
所以
，即
，所以A 选项不正确，B 选项正确；
则
，即
成立，所以C 选项正确；
又
，当
时等号成立，
，
当
时等号成立，则
（等号不能同时成立），
所以
，即
，所以D 选项正确，
故选:BCD
5．（2023·广东茂名·一模）e 是自然对数的底数，
，已知
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】构建函数
根据题意分析可得
，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据
的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为
，
构造函数
，则
，
∵
，
当
时，
，则
，即
；
当
时，
，则
，即
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
对于A：取
，则
∵
在
上单调递增，故
，
即
满足题意，但
，A 错误；
对于B：若
，则有：
当
，即
时，则
，即
；
当
，即
时，由
在
时单调递增，且
，
故
，则
；
综上所述：
， B 正确；
对于C：若
，则有：
当
，即
时，
显然成立；
当
，即
时，令
，
∵
，当且仅当
，即
时等号成立，
∴当
时，所以
，即
，
由
可得
，即
又∵由
在
时单调递增，且
，
∴
，即
；
综上所述：
，C 正确；
对于D：取
，
，则
，
∵
在
上单调递减，故
，
∴故
，
满足题意，但
，D 错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：
，
①构造形式为：
，构建函数
；
②构造形式为：
，构建函数
；
③构造形式为：
，构建函数
.
（2）商型：
，
①构造形式为：
，构建函数
；
②构造形式为：
，构建函数
；
③构造形式为：
，构建函数
.
三、填空题
6．已知a，b，
，且
，
，
，则a，b，c 的大小关系是 .
（用“<”号连接）．
【答案】
【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案.
【详解】构造函数
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
，
，
，
因为
，所以
，即
，
而
，b，
，所以
，
故答案为：
.
7．已知函数
，若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先等价转化为
，再设
，利用导数和隐零点法得到
，最后得到不等式
，解出即可.
【详解】不等式
对
恒成立，
等价于
，所以
，
设
，其中
，则
，令
得
，
所以当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，又
，
所以存在
使得
，
所以若
，则
或
，即
或
，
，
所以在
上，
单调递增，
在
上，
单调递减，
所以
，所以只有
才能满足要求，
即
，又
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：等价转化为
，再设
，利用导数和隐零点法得到
，从而有
，解出即可.
8．已知
，若对于任意的
，不等式
恒成立，则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】先利用同构法将题设不等式转化为
，再构造函数
，利用导数与函
数单调性的关系得到
，从而将问题转化为
，再次构造函数
求得最值即可得解.
【详解】因为
，
所以
可化为
，
令
，则
，
所以
在
上递增，
因为
，
，所以
，
，
，
所以
可化为
，则
，
即
在
上恒成立，即
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为
，从而构造函数
得到
，由此得解.
9．（2025·重庆·三模）已知
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用
可得
时满足题意，然后令
，由题可得
，由
单调性可得
，最后注意到
不满足不等式
，据此可得答案.
【详解】对于
，
，
则
，
得
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
；
对于
，
，
则
，
得
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
.
则当
时，
，满足题意；
当
时，令
，由
，
令
，则
在
上单调递减，
又注意到
，则
.
下证对
，
，即
，
，
由
，可得
，由
，可得
.
则
，则
时，命题成立；
当
，令
，由
，
但此时
，
，与题意不符，故
不满足题意.
综上可得
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用思想为分离参数，将问题转化为求相关函数的最值，也可构造函数，由函
数最值得到关于参数的表达式.
四、解答题
10．（2025·山东济南·三模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)记
的极小值为
，证明：
．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把
代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，按
分类讨论求出函数的单调性.
（3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程的为
.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，
上单调递增，
所以当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，
上单调递增.
（3）由（2）知，若
有极小值，则
，极小值
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，且
，
则当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，
上单调递增，则
，即
，
所以
.
11．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的最小值；
(3)求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）分离参数，构造函数，求导根据导数判断函数的单调性与最值，进而确定参数范围；
（3）由（2）可得
，所证不等式即可转化为
，构造函数
，求导根据导数
判断函数单调性与最值，进而得证.
【详解】（1）由已知
，
则
，
则
，
又
，
所以函数
在
处的切线方程为
，
即
；
（2）由已知
，
恒成立，
则
对
恒成立，
设
，
，
则
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
即
的最小值为
；
（3）由（2）可知
时，
，
又
，所以
，
则
时，
，
设
，
，则
，
设
，则
，
所以当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上单调递增，
即
，
所以
，
，
即
，
综上所述
.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注
意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
．
(1)求实数
的值
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1） 先求导数得出切线斜率结合点在切线上及切点在曲线上列式求解；
（2）先构造函数
，得出单调性进而得出不等式
，进而构造
即可证明不等式.
【详解】（1）由题意可知，
，
因为
，所以
，
所以
，
解得
；
（2）设
，
，
所以
在
上单调递增 且
，
所以当
时，
单调递减
当
时，
，
单调递增
所以
，所以
设
，所以
，
在
上单调递减，在
上单调递增 ，
所以
，所以
，
又因为
与
等号成立的条件不一致，
所以
．
13．（2023·广东汕头·三模）设
，
，
(1)证明：
；
(2)若存在直线
，其与曲线
和
共有3 个不同交点
，
，
，求
证：
，
，
成等比数列.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数的单调性，进一步求出最值范围即可证明；
（2）由
和
的单调性分析三个交点的位置情况，构造
，根据零点存在定理，可
得
在
内存在唯一零点，所以
，即
，再利用交点函数值相等得到
，
，进而得出
，根据等比中项性质即可证明结论.
【详解】（1）因为
，
，所以
等价于
，
即
，
令
，则只需证
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
故
，即
成立，
所以
成立，即
得证；
（2）记
，则
，
当
时，
；当
时，
．
故
在
内单调递增，在
内单调递减，故
；
记
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
内单调递增，在
内单调递减，故
.
所以函数
与函数
有相同的最大值，画出
与
的图象如下图：
可知，
且
，又当
时，
，故
，
当
时，直线
与两条曲线
和
各有两个不同的交点，
则直线
与曲线
的两个交点分别位于区间
和
，
而直线
与曲线
的两个交点分别位于区间
和
，
构造
，当
时，
；当
时，
，
当
时，1-x<0，
，
，
，
故
在
内单调递减，又
，
，
结合零点存在性定理可知：
在
内存在唯一零点，
故曲线
和
在
有唯一一个公共点，
由图可得：若直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点
，
，
，其中
，即
，即
，
，
，
，
由
，又
，
结合
在
内单调递增，故
，
由
，又
，
，
结合
在
内单调递减，故
，
故
，故
，
，
成等比数列.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于
，即
，利用
，且
在
内单调递增，求得
，同理利用
，且
在
内单调递减，求得
，即可用等比中项证明
，
，
成等
比数列.
14．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数
．
(1)证明：
；
(2)证明：
在其定义域内为减函数；
(3)若在
的定义域内，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令
，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
的单调区间，进可求得
的最小值，即可求解；
（2）对
求导，得到
，利用（1）中结果可得
恒成立，即可求解；
（3）根据条件得到
，令
，利用导数求出
的单调区间，进而求出
的
最大值，即可求解.
【详解】（1）令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，故
.
（2）因为
，易知
，则
，
令
，由（1）知
，
则
在区间
上恒成立，又
，
所以
恒成立，故
在其定义域内为减函数.
（3）易知
，由
，得到
，即
，
令
，则
，
由（1）知
，当且仅当
时取等号，
所以当
时，
，当
时，
，
即
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，故
，得到
，
所以实数
的取值范围为
.
15.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
；
(3)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对函数求导，根据参数
的取值，分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性；
（2）求导得
，设
，得函数
在
上单调递增，利用零点存在定理，
得到存在
，满足
，推得
的单调性，即得
，从而证得结论；
（3）由
转化为
，设
，求得
，再设
，判断其单调性得到
，即得参数
的取值范围.
【详解】（1）由
，可得
，
当
时，
，即函数
在
上为增函数；
当
时，由
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，函数
在
上为增函数；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）因函数
的定义域为
，
，
令
，则
，
即函数
在
上单调递增，当
时，
，且
，
故存在
，使
，则得
.
当
时，
，即
，故函数
在
上单调递减；
当
时，
，即
，故函数
在
上单调递增.
故
，
因
，故得
，即
，故
.
（3）由
可得
，即
，
设
，则
，故函数
在
上单调递增，则
.
再设
，则
，
当
时，
，故函数
在
上单调递减；
当
时，
，故函数
在
上单调递增，
故
，故得
，即
的取值范围是
.
16.（2025·青海海东·三模）已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)当
时，讨论
的单调区间；
(3)若
，
，求
的取值范围．
【答案】(1)极小值为
，无极大值；
(2)单调递减区间为
，无递增区间；
(3)
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，求出
在
处取得极小值，极小值为
，
无极大值；
（2）求定义域，求导，得到导函数小于0 恒成立，故单调递减区间为
，无递增区间；
（3）变形得到
，构造
，则
，求导，考虑
和
两种情况，结合单调
性，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）
的定义域为
，
故
，
令
，即
，解得
，
令
，即
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，极小值为
，无极大值；
（2）
，
，定义域为
，
，
故
的单调递减区间为
，无递增区间；
（3）
，
，即
，
所以
，
其中
，令
，则
，
，
若
，则
，其中
在
恒成立，
故
在
上单调递增，
所以
，即
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递增，
故
，即
，所以
，与
取交集，故
，
若
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
时，
恒成立，
时，
恒成立，
所以
，满足要求，
综上，
