文档文本内容
培优点07 指对同构问题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................5
题型一：双变量地位同等同构............................................................................................................5
题型二：指对同构法的理解................................................................................................................7
题型三：同构方程..............................................................................................................................10
题型四：加法同构..............................................................................................................................13
题型五：乘法同构..............................................................................................................................16
题型六：利用同构法解决零点问题..................................................................................................19
题型七：求函数的最值问题..............................................................................................................27
题型八：不等式问题..........................................................................................................................31
题型九：朗博同构放缩......................................................................................................................34
题型十：公切线方程中的隐形同构..................................................................................................40
04 课时精练.........................................................................................................................................43
同构法是一种解决等式或不等式问题的有效方法。其核心思路是对给定的等式或不等式进行变形，让等式
或不等式的左右两边在结构与形式上达成完全一致，进而构造出一个函数。由于该函数具有单调性这
一重要性质，我们可以借助函数的单调性来处理问题。同构法在处理含有指数和对数混合的等式或不
等式问题时优势明显。通过同构法，能够将复杂的指数、对数混合问题转化为对函数单调性的研究，
简化问题求解过程，帮助我们更高效地找到问题的答案，为解决此类数学问题提供了清晰且实用的思
路与途径。
一、八大同构函数图像
①
，②
，
③
，④
，
⑤
，⑥
，
⑦
，⑧
．
二、同构
1、常规变形方式
①
；②
；③
；④
；⑤
．
2、变形同构
①
；
②
；
③
④
⑤
3、双变量同构
(1)
为增函
数．
(2)
为减函数．
题型一：双变量地位同等同构
【例1】已知函数
，若对于任意
，都有
成立，则实
数a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】
即
，
即
，
令
，由
，得
，从而
，
记
，
由
及
得，
在
上单调递增，
令
，
又
在
上单调递增，由复合函数单调性可知，
函数
在
上单调递增，且
恒成立，
故
，则
，
故实数a 的取值范围为
．
故选： C．
【变式1-1】（2025·福建莆田·三模）已知函数
，
，若对区间
内任意两个实
数
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】假设
，因为
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
令
，则
在区间
内单调递增，所以
，
因为
在区间
上单调递增，所以
的最小值为
，故
，即
；
令
，则
在区间
内单调递增，所以
，
所以
，
令
，则
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
，即
．
综上所述，
．
故选：A．
【变式1-2】若对
都有
成立，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2 C．e D．2e
【答案】 B
【解析】由
，得
，
则
，即
，
有
，令
，
所以
，令
，
所以函数
的增区间为
，减区间为
，
所以当
时，
，
所以
，故a 的取大值为2．
故选： B．
【变式1-3】已知
，向量
与
的夹角为
，若对任意的
，当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】由条件可知，
，
，
即
恒成立，即
，两边同时除以
，
整理为
，
，
设
，
，
，得
，
当
，
，
单调递增，当
，
，
单调递减，
由题意可知，
在
单调递减，
所以
．
故选： D
题型二：指对同构法的理解
【例2】已知
是方程
的一个根，则
．
【答案】3
【解析】因为
是方程
的一个根，则
，所以
，
即
．
令
，则
，所以
在
上单调递增．又
，即
，所以
，所以
．
【变式2-1】阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题．已知
实数
，
满足
，则
的最小值是多少？
解析：
，
有
，
得
，
设函数
，则
在
上单调递增，
因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立．
阅读参考以上材料，解答下列问题：
(1)判断函数
在
上的单调性，并用定义证明；
(2)已知
，求
的值．
【解析】（1）函数
在
上的单调递增，证明如下：
设
且
，
所以
，
因为
且
，所以
，
，
则
，
所以
，即
，即
，
所以
在
上的单调递增；
（2）由
，则
，即
，
显然
，即
，
因为
，所以
，
，所以
，则
，
由（1）知
在
上的单调递增，所以
，
即
，即
．
【变式2-2】对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数．
【解析】首先将不等式
进行处理，
因为
，不等式两边同时除以
可得：
，
令
，则
，原不等式可化为
，即
．
进一步变形为
．
考虑函数
，则不等式左边为
，对于右边
，可变形为
，即
．
所以不等式
同构变形为
，同构函数为
．
【变式2-3】对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数．
【解析】显然
，则
，
∴
．
【变式2-4】对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
．
【解析】（1）显然
，则
，
同构函数为
；
（2）显然
，则
，同构函数为
；
（3）显然
，则
，
同构函数为
；
（4）显然
，则
，
同构函数为
；
（5）
，
同构函数为
；
（6）
，
同构函数为
．
题型三：同构方程
【例3】（2025·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构
式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于
的方程
（
，
，
）可化为同构方程，则
，
．
【答案】 3 8
【解析】对
两边取自然对数得
①．对
两边取自然对数得
，即
②．
因为方程①，②为两个同构方程，所以
，解得
．
设
（
），则
，
所以函数
在
上单调递增，所以方程
的解只有一个，所以
，
所以
，故
．
故答案为：3；8．
【变式3-1】同构式通俗讲是结构相同的表达式，如:
， 称
与
为同构式． 已知实数
满足
， 则
．
【答案】3
【解析】函数
在R 上单调递增，且
，
由
，得
，则
，
即
，因此
，则
，
所以
．
故答案为：3
【变式3-2】（2025·高三·安徽·开学考试）对任意实数
，恒有
成立，关于
的方程
有两根为
，
，则下列结论正确的为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】构造函数
，则
，由题意得出
，则
．
且
．
①当
时，即当
时，对任意的
，
，函数
在
上单调递增，此时，函数
没有最小值；
②当
时，即当
时，令
，得
．
当
时，
；当
时，
．
此时，函数
在
处取得极小值，亦即最小值，即
，
，得
．
由题意可知，关于
的方程
有两个实根，即
有两个实数根．
方程
的其中一个实根为
，则
，
，
即
，又方程
的另一个实根为
，
，因此，
，
故选 B．
【变式3-3】已知实数
，
满足
，
，其中e 是自然对数的底数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
．
联立
，
所以
与
是关于x 的方程
的两根．
构造函数
，该函数的定义域为
，且该函数为增函数，
由于
，所以
，又
，
所以
，即
，解得
．
故选： D．
【变式3-4】（2025·江苏南京·模拟预测）已知实数
，
满足
，
，其中是自然对数的底
数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】由
可得，
，即
，也即
，
由
可得
，所以
，
即
，
构造函数
，
在
恒成立，
所以函数
在定义域
上单调递减，
所以
，即
，
又因为
，所以
，所以
，解得
，
故选: B．
题型四：加法同构
【例4】（2025·四川·模拟预测）已知当
时，
恒成立，则实数
的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】由
，可得
．
令
，则
，
当且仅当
时，等号成立，故
在
上单调递增，
由
，可得
，
所以
，则
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，故
，
所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
【变式4-1】任意的
，不等式
恒成立，则
的范围是 ．
【答案】
【解析】由已知条件可得
，再利用换元法令
，将问题转化为研究直线
恒在曲线的上方，即可得到答案；
，
令
，
，
①，
令
，
①
对
恒成立，
对
，
对
，
令
，则
，
，
，
在
单调递增，在
单调递减，
当
与
相切时，设切点为
，
或
，
直线要恒在曲线的上方，
直线斜率的取值范围为
，
故答案为：
．
【变式4-2】（2025·湖北·三模）若不等式
恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】因为
，所以
，
令
，则
恒成立，
则
恒成立，
令
，则
，
当
时，
；
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故a 的最大值为2．
故选： B．
【变式4-3】（2025·海南·模拟预测）已知当
时，函数
恒成立，求
实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】当
时，
，所以
不符合题意；
当
由
，即
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
在
上恒成立，
，令
，
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
即
，
,
故选： B．
题型五：乘法同构
【例5】（2025·河北廊坊·模拟预测）当
时，关于
的不等式
恒成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】由
得
，
即
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
由
，
可得
，
，即
在
时恒成立，
令
，则
，令
得
，
当
时
，
单调递增，
当
时
，
单调递减，
所以
，所以
．
故选： D．
【变式5-1】（2025·江西宜春·二模）若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】不等式
可化为，
，又
，
所以
，故
，
由已知不等式
在
上恒成立，
因为
有意义，故
，又
，所以
，
当
时，不等式
恒成立，
设
，
，
则
，
因为
，所以
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，故
，
令
，则
，
令
，可得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
，
故
，
所以
，
所以
的取值范围为
故选： C．
【变式5-2】已知
对
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
．
∵
时，
，
，∴
，故
在
上单调递增．
∵
对
恒成立，∴当
时，
，则有
，
当
时，
可等价变形为
．
∵
在
上单调递增，且
，
（
），
∴由
可得
，即
对
恒成立．
设
，则
．
当
时，
，
，
，故
．
∴
在
上单调递减，
∴当
时，
．
∵
对
恒成立，
∴
，即实数
的取值范围是
．
故选：A．
【变式5-3】已知
对
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】由
，
可知，
，
，
则
，即
，
设
，
，得
，
当
时，
，
单调递增，
，
，则
，则
，
则
，
恒成立，
设
，
，令
，得
，
当
，
，
单调递增，当
，
，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，
，
则
．
故选： B
题型六：利用同构法解决零点问题
【例6】已知函数
和
，证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】证明：由题
，
，
所以
时
，
时
，
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
当
时，考虑
和
的解的个数，
设
，则
，
当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，而
，
设
，则
，所以
在
上为增函数，
所以
，故
，
故
有两个不同的零点，即
的解的个数为2，
设
，则
，
所以
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，而
，
所以
有两个不同的零点，故
的解的个数为2；
同理可得，当
时，由
可知
、
均仅有一个解；
当
时，由
可知
、
均无解．
故若存在直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点，则
．
设
，则
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，即
，
所以
，所以
在
上单调递增，
而
，
故
在
上有且仅有一个零点
，且
，
当
时
，即
，即
，
当
时
，即
，即
，
因此存在直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点，且
，
此时
有两个不同的根
，
有两个不同的根
，
故
，
，
，
，
所以
即
，即
，
故
为方程
的解，同理
为方程
的解，
又
可化为
，
所以
即
，
故
为方程
的解，同理
也为方程
的解，
所以
，而
，
故
，即
，故
成等差数列．
【变式6-1】已知函数
．
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若函数
只有一个零点，求
的取值范围；
(3)若
，证明：方程
有唯一解
，且直线
与两条曲线
和
共
有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列．
【解析】（1）由题意，
在
中，
若
，
，定义域为
，
，令
，解得
，
当
变化时，
和
的变化情况如下表:
1
-
不存在
-
0
+
单调递
减
不存在
单调递
减
e
单调递
增
所以，
在
和
单调递减，在
单调递增
（2）由题意及（1）得，
方法一：
在
中，定义域为
，
当
时，解得：
．
-
不存在
-
0
+
单调递
减
不存在
单调递减
单调递增
因此，
在
处取得极小值，为
（i）当
时，由（1）知，
当
时，
，不存在零点；
当
时，
，不存在零点．
（ii）当
时，
当
时，
恒成立，不存在零点；
当
）时，
单调递减，至多存在一个零点．
当
时，
；
当
时，又
，
所以
在
上存在一个零点；
当
时，又
，
所以
在
上存在一个零点；
（当
时，
，当
时，
）
所以，
在
上存在一个零点．
（iii）当
时，
当
时，
恒成立，不存在零点．
当
时，若只有一个零点，则极小值
令
，
∴函数在
上单调递减，
，解得：
综上，
的取值范围为
或
方法二：
只有一个零点等价于
在
只有一个零点，
又
，
则
在
上只有一个零点，
，
（i）当
时，
恒成立，不存在零点．
（ii）若
，则
对任意
恒成立，可知
在
上单调递增，
且
，
令
，所以
在
上存在一个零点；
（iii）若
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
．
若只有一个零点，则
，
又
，则
．
又
在
单调递减，解得
综上，
的取值范围为
或
（3）由题意及（1）（2）得，
在
中，
，
，
令
，解得：
．
∴在
上，
，
单调递减；
在
上，
，
单调递增．
所以
．
由（1）知，
在
单调递减，在
单调递增，
，
则直线
与
、
最多有4 个交点．
令
，
当
时，
，所以
恒成立．
当
时，
令
，则
，
令
，则
，
∴
在
上单调递增，
，
∴
在
上单调递增，
，
∴
，即
，
在
中，
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
所以
恒成立．
当
时，
在
上单调递增．
当x→1 时，
，
，
则
在
有唯一的零点
，即存在
，使得
，
直线
与
、
恰有三个交点，分别记为
，
，
，
不妨设
，
由
得
，即
，
要证
，即证
，
而
，即
．
由
得
，即
，
又
，
，
，而
在
单调，
∴
，
又由
得
，即
，
又
，
，而
在
单调，
所以
．
由
，
得
，得证．
【变式6-2】（2025·高三·上海青浦·期中）已知函数
和
，
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若函数
和
有相同的最小值，
①求
的值；
②证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）由
，得
，
所以
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）①
的定义域为
，而
，
若
，则
，此时函数
在
上单调递增，无最小值，不符合题意，故
．
令
，得
，
当
单调递减，
当
单调递增，
所以
．
的定义域为
，而
．
当
单调递减，
当
单调递增，
所以
．
因为
和
有相同的最小值，
故
，整理得到
，其中
，
设
，则
，
故
为
上的减函数，而
，
故
的唯一解为
，故
的解为
．
综上所述，
．
②证明：由①知
，
且
在
上单调递减，在
上单调递增；
在
上单调递减，在
上单调递增，且
．
设
，
则
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，因为
，
所以当
时，
恒成立，即
在
时恒成立，
所以
时，
，
因为
，函数
在
上单调递增，
，函数
在
上单调递减，
所以函数
与函数
的图象在
上存在唯一交点，设该交点为
，
此时可作出函数
和
的大致图象，
由图象知当直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点时，
直线
必经过点
，即
，
因为
，所以
，即
，
令
得
，
解得
或
，由
，得
，
令
得
，解得
或
，
由
，得
，
所以当直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
，
成等差数列．
所以存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
题型七：求函数的最值问题
【例7】（2025·高三·甘肃兰州·期中）已知函数
，
，若
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，则
，
于是
，
，所以
，
构造函数
，且
，当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，于是
，
又
，当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递
减，
所以
，故
，当且仅当
，即
（
舍去）时取到最小值，
所以
，
故答案为：
．
【变式7-1】已知函数
，
，若
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
，
所以
，
令
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
当且仅当
时等号成立．
故选：A
【变式7-2】已知函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】
，即
，
构造函数
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
因为
，所以
，此时
，
令
，令
，解得
，
所以当
时，
，所以
单调递减，
当
时，
，所以
单调递增，
所以
的最小值为
，
综上
的最小值为
．
故选： B．
【变式7-3】（多选题）（2025·高三·黑龙江佳木斯·期中）已知函数
，
，若存在
，
，使得
成立，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，
的最大值为
【答案】A C D
【解析】由已知，当
时，即
，
，
，
，
所以有
，A 正确；
取
，则
，此时令
，则有
，
，
B 项错误；
∵
，
∴
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
所以，
的图象如图所示．
又
，即
．当
时，如图易知，
与
只有一个交点，
由
可得，此时
，
，
．
则
．
令
，则
．
当
时，
，即
在
上单调递增；
当
时，
，即
在
上单调递减．
所以，
在
处有最小值
， C 项正确；
当
时，
．令
，
．
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，
，即
在
上单调递增．
所以，
在
处有最大值
， D 项正确．
故选：A C D．
题型八：不等式问题
【例8】（2025·福建三明·模拟预测）已知e 为自然对数的底数，a， B 均为大于1 的实数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】由
，可得
，即
，
设
，可得
，
因为
，可得
，
又因为
，所以
，即
，所以
，
当
时，
，可得函数
在
为单调递增函数，
所以
，即
．
故选： B．
【变式8-1】设a， B 都为正数，为自然对数的底数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】由已知
，即
．
设
，则
，
．
，
，
．
当
时，
，
在
上单调递增，所以
．
故选： B．
【变式8-2】若
，则 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】对于A， B 作出
图象如图所示，可见
时，既有单调减函数区间，
单调增函数区间，故都不正确；对于 C，设
，作如图所示，因
，此时，
在
上为减函数，故有
，得
，故 C 正确， D 不正确，故选 C．
【变式8-3】若
(a， B 为变量)成立，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方法一：
对于A、 B，由
，
可得
，
令
，则
，
因为
在R 上是增函数，所以
，故A 正确， B 错误；
对于 C，取
，符合
，但
，故 C 错误；
对于 D，取
，符合
，但
，故 D 错误．
方法二：
对于A、 B 由
，
可得
，
令
，则
，
因为
在
上是增函数，
所以
，即
，
对于 C，取
，符合
，但
，故 C 错误；
对于 D，取
，符合
，但
，故 D 错误．
故选：A．
【变式8-4】已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
时，求证：
在
上恒成立；
（3）求证：当
时，
．
【解析】（1）法1：函数
的定义域为
，
，
当
时，
在区间
成立，故
，即
在
单增；
当
时，
，
在区间
成立，故
，∴
在
单增；
当
时，
，设两根为
，则
，
当
或
时，
，
，当
时，
，
，故
在
单
减，在
和
单增．
综上：当
时，
在
上是增函数；
当
时，
在
单减，在
和
单增．
法2：
函数
的定义域为
，
∵
，
当
时，
，
在
上是增函数；
当
时，
，解得
，
，解得
或
．
∴
在
单减，在
和
单增．
（2）当
时，
在
单增，故
在
单增，
所以
．所以
在
上恒成立；
（3）法1：由（2）知，当
时，
，即
，当
时，
．
要证
，只需证
，只需证
．
令
，
，
，
，
∴
在
单增，
即
．
法2：
要证
，只需证
，只需证
．
设
，只需证
．
则
令
，则
，
，
，∴
在
单减．故只需证
即可．
，
，
．
所以原不等式成立．
题型九：朗博同构放缩
【例9】已知函数
，（其中是自然对数的底数），若
在
上恒成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】解法1：要使
在
上恒成立，只需
即可．
，又
，易知：
在
上递增．
因为当
趋向于0 时，
趋向负无穷，当
趋向正无穷时，
趋向正无穷，
所以，
在
上存在唯一的零点
，满足
，
所以
，且
在
上单调递减，在
上单调递增，
于是
．
由
得：
，必有
，
，
两边同时取自然对数，则有
，即
．
构造函数
，则
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以
，即
，故
，
于是实数m 的取值范围是
．
解法2：要使
在
上恒成立，等价于
在
上恒成立．
令
，则只需
即可．
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，
，
所以
有唯一的零点
，且
，
在
上单调递减，在
上单调递增．
因为
，两边同时取自然对数，则有
，即
．
构造函数
，则
，
所以函数
在
上单调递增，又
，即
，即
．
即
．
于是实数m 的取值范围是
解法3：（切线放缩，避开零点）要使
在
上恒成立，等价于
在
上恒成立．
先证明
，令
，则
，
于是，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，所以
，故
（当且仅当
时取等号），
所以，当
时，有
，所以
，
即
，当且仅当
时取等号，于是实数m 的取值范围是
．
解法4：（切线放缩，避开零点）
先证明
，令
，
所以在区间
上
单调递减；在区间
上
单调递增，
所以
，所以
．
∵
∴
，当
时，等号成立；
而
在
上单调递增，且
，
所以存在
，使得
成立．
【变式9-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
，
，若
恒
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
令
，
则
，令
，
，
∵
，∴p(x)在(0，+)上单调递增，
∵
，
∴当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增；
∴
，
∴
≥
恒成立，则
．
故选：A
【变式9-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围．
【解析】（1）求导得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，无极大值．
（2）方法一：由题知不等式
在
上恒成立，
则原问题等价于不等式
在
上恒成立，
记
，
则
，
记
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，又
，
所以存在
，使得
，
即当
时，
，此时
；当
时，
，此时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
，得
，
即
，
所以
，
①当
时，
因为
，所以不等式恒成立，
所以
；
②当
时，
因为存在
，使得
，而
，
此时不满足
，
所以
无解．
综上所述，
．
方法二：由题知不等式
在
上恒成立，
原问题等价于不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立．
记
，则
，当
单调递减，
单
调递增，
因为
即
，
①当
时，
因为
，所以不等式恒成立，所以
；
②当
时，令
，显然
单调递增，且
，
故存在
，使得
，即
，而
，此时不满足
，
所以
无解．
综上所述，
．
【变式9-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若过点
作曲线
的切线有且仅有一条，求实数t 的值；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【解析】（1）设切点
，由
，求导得
，
根据导数的几何意义，得
，
化简可得，
，依题意方程
仅只一个实根，
于是
，解得
或
，
所以当
或
时，过点P 作曲线
的切线有且仅有一条．
（2）设
，
，则
恒成立，
于是
在
上单调递增，则
，即
，
因此当
时，恒有
成立，
则有
，
当且仅当
时等号成立，
令
，
，则
恒成立，
即
在
上单调递增，又
，
，
根据零点存在定理可得，
，使得
，
于是
在
上恒成立，
所以当
时，
，即
成立；
当
时，存在
满足
，即
，
此时，
，不合题意，
综上，a 的取值范围是
．
题型十：公切线方程中的隐形同构
【例10】（2025·高三·福建漳州·开学考试）已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则k 的最大值是（ ）
A．
B．
C．2e
D．4e
【答案】 B
【解析】因为
是
和
的公切线，
设切点分别为
和
，则
，
由
，可得
，则
又由
，可得
，且
，则
，
所以
，可得
，
即
，显然
同号，不妨设
，
设
，（其中
），
可得
，令
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
要使得
有解，则需要
，即
即
，解得
，所以
，即
的最大值为
．
故选： B．
【变式10-1】（2025·辽宁沈阳·二模）若直线
与直线
是曲线
的两条切
线，也是曲线
的两条切线，则
的值为（ ）
A．
B．0 C．-1 D．
【答案】 C
【解析】由
和
互为反函数可知，
两条公切线
和
也互为反函数，
即
满足
，
，即
，
，
设直线
与
和
分别切于点
和
，
可得切线方程为
和
，
整理得：
和
，则
，
，
由
，得
，且
，
则
，所以
，
所以
,
故选： C
【变式10-2】已知直线
既是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】 C
【解析】设直线与曲线
的切点为
且
，
与曲线
的切点为
且
，
又
，
，
则直线
与曲线
的切线方程为
，即
，
直线
与曲线
的切线方程为
，即
，
则
，解得
，故
．
故选： C．
【变式10-3】（2025·福建龙岩·三模）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】设曲线
上的点
，
，
；
曲线
上的点
，
，
；
，
，
，
．
故选： D．
1．（2025·甘肃金昌·三模）若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】由题设有
，
当
即
时，不等式
恒成立；
当
即
时，设
，则
，
故
在
上为增函数，而
即
因为
，故
即
在
上恒成立，
而
时，
恒成立即
恒成立，
故
在
上恒成立，
设
，则
，
当
时，
；当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，故
，故
，
故
，
故选： B．
2．（2025·海南·模拟预测）已知当
时，函数
恒成立，求实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】当
时，
，所以
不符合题意；
当
由
，即
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
在
上恒成立，
，令
，
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
即
，
,
故选： B．
3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数
，若任意两个不相等的正实数
，
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】不妨设
，则由
，
也就是说，函数
在
上单调递减，
因为
，由题意
恒成立，
即
恒成立，令
，
求导得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
所以实数
的取值范围为
．
故选： D．
4．已知
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】由
，可得
，即
，也即
，
由
可得
，
即
，
构造函数
，由
和
都为
上的单调递减函数，
所以函数
在定义域
上单调递减，
所以
，即
，
又因为
，所以
，所以
，解得
．
故选： B．
5．（2025·高三·山西吕梁·期末）已知实数
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】由题知
，
所以
，
所以
令
，则
，
因为，
恒成立，
所以，
在
上单调递减，
所以，
，即
因为
，
所以
，即
故选： C
6．（多选题）已知
，
，a>0．若y=f(x)，y=g(x)图象有公共点P，且在
该点处的切线重合，则 B 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A B C
【解析】设公共点
，由
求导得：
，由
求导得：
，
于是得
，因
，解得
，由
得：
，
因此，
，令
，则
，
当
时，
，当
时，
，即
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，于是得
，即 B 可以取
或
或
．
故选：A B C
7．（多选题）已知函数
，
，
，若
，
图象有公共
点P，且在该点处的切线重合，则实数 B 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A B
【解析】设函数
与
图象的公共点为
，
可得
，即
，
又由
与
，可得
与
，
又因为点
处切线重合，可得
，即
，
解得
或
，
因为
，所以
，
将
代入
，可得
，其中
，
设
，可得
，
令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
极小值，也是最小值，即为
，
即
，所以
，解得
，
结合选项，可得A、 B 符合题意．
故选：A B．
8．（多选题）（2025·广东广州·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B C D
【解析】对于A 选项，当
时，
．
设
，其中
．
则
，故
在
上单调递增．
又
，
，则
，使
．
即存在
，
，使
．
但此时，
．故A 错误．
对于 B 选项，
．设
，其中
．则
．
得
在
上单调递增．
注意到
．
则
．又
在
上递增，
则有
．故 B 正确．
对于 C 选项，由 B 选项可知
，则由
，
有
．故 C 正确．
对于 D 选项，因
，
，
则
．设
，其中
．
则
．
设
，其中
．则
，
得
在
上单调递增．
（1）若
，注意到
，
，则
，使
．
即
，
则
，设
，则
，
得
在
上单调递减，则
．
（2）当
，
，注意到
．
则
，此时
．
（3）当
，注意到
则
，又由（1）分析可知
在
上单调递增．
则
．
综上，有
．故 D 正确．
故选： B C D
9．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，称
与
为同构式．已知实数
满足
，
，则
．
【答案】8
【解析】
，
令
，易知
在R 上单调递增，
又
，
所以
．
故答案为：
10．（2025·江西赣州·一模）若a，
，自然对数的底数为e，则
的最小
值为 ．
【答案】2
【解析】由
，
设
，求导，
，令
，解得：
，
令
，解得
，令
，解得
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
，故
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立．
故答案为：2
11．（2025·高三·安徽六安·期末）已知函数
，
，若
，
，
则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】由
得：
；
由
得：
，
；
，
令
，
，
，
在
上单调递增，
；
令
，则
，
则当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，即
的最大值为
．
故答案为：
．
12．已知函数
和
．
(1)分别求函数
和
的最大值；
(2)若
，求证：曲线
和
有唯一公共点
，且直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并探究这三个交点（从左向右）的横坐标是否成等比数列？
【解析】（1）由函数
，可得
，
当
时，
，所以
在
单调递增；
当
时，
，所以
在
单调递减，
所以
的最大值为
．
由
，定义域为
，则
令
得
，
当
时，
当
时，
，所以
在
单调递增；
当
时，
，所以
在
单调递减；
所以
的最大值为
，
当
时，
当
时，
，所以
在
单调递减；
当
时，
，所以
在
单调递增；
所以
无最大值；
当
时，
，所以
的最大值为0，
综上知，函数
的最大值为
，
当
时，
的最大值为
；
当
时，
无最大值；
当
时，
的最大值为0；
（2）当
时，
，
故
时，曲线
和
无交点；
当
时，
，而
，
故
时，曲线
和
无交点．
设
，
当
时，
．
设
，则
，
当
时，
，故函数
在
单调递增，
所以
时，
，故
，
故
时，曲线
和
无交点；
当
时，
．
又
，
，所以
，故函数
在
单调递增．
又
，
，
由函数零点存在定理，可知
在区间
上存在唯一零点
，
且
，故
，
又
，所以
，
所以曲线
和
有唯一交点
．
设
，则
，
当
时，
，
在
单调递增，
又
，
，
所以在区间
上，函数
存在唯一零点
，即
与曲线
在区间
上有一个交点．
设
，则
．
当
时，
，故
在
单调递减，
又
，
又
，所以
．
设
，
，
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，
故
时，
，
因此，由
，则
，
所以
，
所以在区间
上函数
存在唯一零点
，
即
与曲线
在区间
上有一个交点．
综上，直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点，
横坐标为
，且
，如图：
所以
．
又
，
由
在
上单调递增，
又
，
，可得
，
因此，由
，可得，
，
由
在
上单调递减，
又
，
，可得
，
因此，由
，可得
，
由
，可得
．
又
，所以
，所以
成等比数列．
13．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若函数
，且
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）
，
若
，则
，函数
在R 上单调递增；
若
，则
时
，
时
，
即函数
的增区间为：
，减区间为：
；
若
，则
时
，
时
，
即函数
的增区间为：
，减区间为：
．
（2）
，设
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，即
，易知
，则
．
设
，
，所以
，所以
．
于是
．
由（1）可知，①
时，
在
上单调递增，于是
，符合题意；
②
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．显然，若
，则
，
不合题意；
③
时，
在
上单调递增，于是
，符合题意；
④
时，
在
上单调递增，于是
，符合题意．
综上：
．
14．（2025·江西赣州·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若对于一切
，恒有
成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，则
，
故
，
，
从而曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
（2）由
知：
且
，
即
，
构造
，
，
则
在R 上单调递增，
不等式
等价于
，
结合
的单调性得：
，即
，
令
，
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
，
即实数a 的取值范围为
．
15．（2025·内蒙古·三模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）
的定义域为
．
关于
的方程
，
当
时，
，
，所以
在
上单调递增．
当
时，
，此时
，
，所以
在
上单调递增．
当
时，则
是方程
的两根．
又
，所以
，
令
，解得
或
，
令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由
，可得
，即
．
令
，易知
单调递增．
由
，可得
，则
，即
．
设
，则
，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，所以
，
所以
，则
的取值范围为
．
16．设
，若对任意的
，
恒成立，求a 的范围．
【解析】设
，
所以在区间
上
单调递减，在区间
上
单调递增，
所以
，所以
（当
时等号成立）
依题意，对任意的
，
恒成立，
即
恒成立，
而
，
当
时等号成立．
而函数
在
上单调递增，
，所以存在
，使得
成立．
所以
，
即
的取值范围是
．
