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函数中的构造问题
7-3
7-3 函数中的构造问题...........................................................................................................................................1
一、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 利用导数求函数的极值问题.................................................................................................2
命题点1 利用f(x)与x构造.....................................................................................................2
命题点2 利用f(x)与ex构造.....................................................................................................2
命题点3 利用f(x)与sin x、cos x构造............................................................................3
题型二 同构法构造函数........................................................................................................................3
题型三 洛必达法则.................................................................................................................................4
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、分类题型
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 利用f(x)与x构造
【例题精析1】 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析2】 函数 是定义在 上的偶函数，当 时 （其中 是 的导函数），若
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例题精析3】 已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，
则不等式 的解集为______．
【例题精析4】 定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析5】 函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，若
不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题精析6】 设定义R在上的函数 ，满足任意 ，都有 ，且 时，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．C． D．
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
【对点精练1】 设函数 是定义在 上的可导函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练2】 （多选）已知函数 满足 ， .则当 时，下列说法中
正确的是（ ）
A． B． 只有一个零点
C． 有两个零点 D． 有一个极大值
【对点精练3】 定义在 上的可导函数 的导函数记为 ，若 为奇函数且 ，当
时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【对点精练4】 （多选）已知定义在 上的函数满足 ，则下列不等式一
定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练5】 设定义在 上的奇函数 的导函数为 ，已知 ，当 时，
，则不等式 的解集为________．命题点2 利用f(x)与ex构造
【例题精析7】 已知 是 的导函数，且 ， ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析8】 是定义在 上的函数，满足 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
【例题精析9】 已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B． C． D．
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
【对点精练6】 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练7】 已知函数 的导函数为 ，且 若 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．【对点精练8】 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练9】 已知定义在 上的函数 满足 ，且有 ，则 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【对点精练10】 （多选）定义域为 的函数 的导数为 ，若 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
命题点3 利用f(x)与sin x、cos x构造
【例题精析10】 已知函数 对任意的 满足 （其中 是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析11】 （多选）定义在 上的函数 ，已知 是它的导函数，且恒有
成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析12】 已知函数 及其导函数 的定义域均为 , ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【例题精析13】 已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有 成立，则下列不
等式成立的（ ）
A． B．
C． D．
函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝，F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x)＝，F′(x)＝.
【对点精练11】 设 是定义在 的奇函数，其导函数为 ，且当 时，
，则关于 的不等式 的解集为_________.
【对点精练12】 函数 定义域为 ，其导函数是 ，当 时，有 ，则关
于 的不等式 的解集为__________．
【对点精练13】 （多选）已知函数 对于任意的 ，均满足 ，其
中 是 的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点精练14】 （多选）已知函数 是偶函数，对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A． B．
C． D．
题型二 同构法构造函数
【例题精析14】 若存在x，y∈(0，＋∞)使得xln(2ax)＋y＝xln y，则实数a的最大值为( )
A. B. C. D.
【例题精析15】 (2022·河北联考)已知当x≥e时，不等式xa＋－ ≥aln x恒成立，则正实数a的最小值为(
)
A．1 B. C．e D.
同构法的三种基本模式：
①乘积型，如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex；
②比商型，如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝；
③和差型，如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x.
【对点精练15】 (多选)(2022·常州模拟)若0<x
1
<x
2
<1，则下列不等式成立的是( )
A． B．
C． >ln x－ln x D． <ln x－ln x
2 1 2 1
【对点精练16】 已知函数f(x)＝ex－－1在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数k＝________.题型三 洛必达法则
【例题精析16】 已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．
【例题精析17】 已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值．
(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函
数的最值，但在求最值时如果出现“”型的代数式，就设法求其最值．“”型的代数式，是大学数学中的不定
式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝0及lim g(x)＝0；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝A，那么lim
＝lim ＝A.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝A，那么lim
＝lim ＝A.
【对点精练17】 已知f(x)的定义域为R，f(1)＝2 023，且f′(x)≥6x恒成立，则不等式f(x)>3x2＋2 020的解集为(
)
A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【对点精练18】 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a＝f(1)，b＝，c＝，则
a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．a>c>b
【对点精练19】 (2022·青铜峡模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意
实数x，有f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
【对点精练20】 已知a＝ln ，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．a>c>b
C．a>b>c D．b>a>c
【对点精练21】 若e－2b＋(a－1)2＝e－a＋(2b－1)2，则( )
A．a>2b B．a＝2b
C．a<2b D．a>b2
【对点精练22】 (多选)已知a，b∈(0，e)，且a<b，则下列式子中可能成立的是( )
A．aeb<bea B．aeb>bea
C．aln b<bln a D．aln b>bln a
【对点精练23】 已知a，b，c∈(0,1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，其中e是自
然对数的底数，则a，b，c的大小关系是________．
【对点精练24】 若不等式xex－a≥ln x＋x－1恒成立，则实数a的最大值为________．
