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正弦定理、余弦定理
3-6
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
3-6 正弦定理、余弦定理......................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：正弦定理与余弦定理..............................................................................................................1
考点2：三角形中常用的面积公式.....................................................................................................2
【常见结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形...................................................................................4
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用........................................................................................9
命题点1 三角形形状判断...........................................................................................................9
命题点2 三角形的面积.............................................................................................................10
命题点3 与平面几何有关的问题..........................................................................................14
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................................................................................19一、主干知识
考点1：正弦定理与余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝ 2 R sin B ，
c＝ 2 R sin C ； cos A＝；
变形 (2)asin B cos B＝；
＝bsin A， cos C＝
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
考点2：三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
【常见结论总结】
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
1.方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选
择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 .二、分类题型
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例题精析1】 （2021·全国·统考高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，
点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【解答】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，即 ．又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，当 时，（舍去）．当 时， ．所以
．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，即 ，
而 ，即 ，故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，故 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．在 中，由正弦定理得
．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．在 中， ．
在 中 ．因为 ，所以 ，
整理得 ．又因为 ，所以 ，即 或 ．下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．以向量 为基底，有 ．
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，所以 ④
联立③④，得 ．所以 或 ．下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的
性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的
问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将
其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充
分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
【例题精析2】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【解答】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得： ，故原等式成立．
解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含
有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理
都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边
和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进
行判断．
【对点精练1】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【解答】（1）因为 ，即
，而 ，所以 ；（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【对点精练2】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【解答】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ；
（2）解：因为 ，由（1）得 ，
由余弦定理可得 ， 则 ，
所以 ，故 ，所以 ，
所以 的周长为 .题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形形状判断
【例题精析3】 （2022·福建三明·统考模拟预测） 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)若 ，试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 为锐角三角形，其外接圆半径为 ，求 周长的取值范围．
【解答】（1）解：因为 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ， ，则 ，
由已知 ，可得 ， ，此时， 为直角三角形.
（2）解：由正弦定理可得 ，
则
，
因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以， ，则 ，且 ，
因此， .判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A
＋B＋C＝π这个结论．
【对点精练3】 在△ABC中，＝sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【解答】由cos B＝1－2sin2 ，得sin2 ＝，所以＝，即cos B＝.
方法一 由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
方法二 由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，又角C为三
角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．
命题点2 三角形的面积
【例题精析4】 （2021·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，
， ，则 ________．
【解答】由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.故答案为： .
【例题精析5】 （2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【解答】（1）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
【例题精析6】 （2020·福建漳州·统考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且
，若边 的中线等于3，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．取 的中点 ，延长 至点 ，使得 是 中点，
连接 ，则四边形 是平行四边形，在三角形 中， ， ，
， ，
由余弦定理得 ，解得 ，所以三角形 的面积为 ，故选：C.
【例题精析7】 （2023·福建·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；(2)已知 ，求 的面积．
【解答】（1）已知 ，
代入余弦定理， ，
化简得： ，所以 ．
（2）由正弦定理知 即 ，
又 ，故
，
即 ，得 ，故 （ 舍），
此时， ， ，则 的面积 .
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【对点精练4】 （2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【解答】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
【对点精练5】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，
b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【解答】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，则
， ，则 ；（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
命题点3 与平面几何有关的问题
【例题精析8】 （2022·福建漳州·统考二模）如图，在平面四边形 中，对角线 平分 ，
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求B；(2)若 ， 的面积为2，求
【解答】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 所以 ；所以
（2）解：因为 的面积 ，所以 ，
即 ，所以 ，由余弦定理得 ，
所以 ，因为 平分 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以
【例题精析9】 （2022秋·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）如图，在平面四边形 中，
.
(1)证明： ；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.
【解答】（1）证明：在 中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理得 ，
∴ ，所以 ，即 .
（2） ， ，
则
由（1）知： ，代入上式得 ，
， ，∴当 时， 取到最大值14.
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转
化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先
引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、
余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
【对点精练6】 （2023·福建·统考模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求C；
(2)若 ，D为 的外接圆上的点， ，求四边形ABCD面积的最大值.
【解答】（1）因为 ，在 中，由正弦定理得， .又因为
，所以 ，展开得 ，
即 ，因为 ，故 ，即 .
又因为 ，所以 .
（2）解法一：
如图1；设 的外接圆的圆心为O，半径为R，因为 ，所以 ，即
，所以 ，故BD是 的直径，所以 .
在 中， ， ，所以 .
在 中， .设四边形ABCD的面积为S， ， ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立.
所以四边形ABCD面积最大值为 .
解法二：
如图1；设 的外接圆的圆心为O，半径为R， 在 上的投影向量为 ，所以 .又 ，所以 ，
所以 在 上的投影向量为 ，所以 .故BD是 的直径，所以 .
在 中， ， ，所以 ，在 中， .设四
边形ABCD的面积为S， ， ，
则 ， ，所以 ，
当 时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为 .
解法三：
如图1；设 的外接圆的圆心为O，半径为R，因为 ，所以 ，即
，所以 .故BD是 的直径，所以 .
在 中， ， ，所以 .在 中， .设四边
形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，
则 ，当 时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值
为 .
解法四：
设 的外接圆的圆心为O，半径为R，在 中， ， ，故 外接圆 的半径 .即 ，所以 .
如图2，以 外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
则 ， .
因为C，D为单位圆上的点，设 ， ，
其中 ， .所以 ， ，
代入 ，即 ，可得 ，
即 .由 可知 ，所以解得 或 ，即 或
.
当 时，A，D重合，舍去；当 时，BD是 的直径.设四边形ABCD的面积为S，则
，由 知 ，所以当 时，即
C的坐标为 时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为 .【对点精练7】 （2021春·福建南平·高一统考期中）如图，在 中， ， ，点 在 边
上，且 ， .
（1）求 ；（2）求 的长.
【解答】试题分析：（I）在 中，利用外角的性质，得 即可计算结果；
（II）由正弦定理，计算得 ，在 中，由余弦定理，即可计算结果．
试题解析：（I）在 中，∵ ，∴
∴
（II）在 中，由正弦定理得：
在 中，由余弦定理得：
∴
三、分层训练：课堂知识巩固1 ． （ 2023 春 • 新 乡 期 中 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ，
，则 的一定为
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【解答】解：因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
所以 ，可得 ，
则 的一定为等腰三角形．
故选： ．
2．（2023春•三元区校级期中）在 中， ，则 为
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：由正弦定理可得： ，而 ，
所以 ，
则 ，即
易知 ， ，所以
在三角形中 、 ，所以 ．
故选： ．
3．（2023•南岗区校级二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，若角 的内角平分线 的长为3，则 的最小值为
A．12 B．24 C．27 D．36
【解答】解：因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又因 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为12．
故选： ．
4 ． （ 2023• 赤 峰 模 拟 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 是 ， ， ， 已 知
， ， 的面积为 ，则 的周长是
A．4 B．6 C．8 D．18
【解答】解：因为 ，由正弦定理可得： ，
则 ，解得 ，因为 ，所以 ，
因为三角形 的面积为 ，则 ，解得 ，
在三角形 中由余弦定理可得： ，
即 ，所以 ，所以 ，则三角形 的周长为 ．
故选： ．
5．（2023春•郑州月考）已知在 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由余弦定理可得 ，即 ，解得
，
所以 ，
所以 为直角三角形，
则在 中， ．
故选： ．
6．（2023春•仓山区校级期中）在 中，若 ， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：在 中，设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
由题知， ，
又 ， ，
所以 ，由余弦定理有： ，解得 ，
所以由正弦定理有： ，故 ， ， 错误．
故选： ．
7．（2023•河南二模）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
则A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ．
故选： ．
8．（2023春•安徽月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
，则
A．4 B．6 C． D．
【解答】解：因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，即 ，
又 为三角形内角， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ．
故选： ．
9．（2023•铜仁市模拟）锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，由余弦定理得 ，
，即 ，
由正弦定理得 ，
，
，
即 ，
， ， ，
又 为锐角三角形， ，
，解得 ，
又 ， ， ，
，
．
故选： ．
10．（2023•榆林二模）在 中，内角 ， ， 所对应的边分别是 ， ， ，若 的面积是
，则
A． B． C． D．
【解答】解：已知 的面积是 ，利用余弦定理 ，
整理得： ，
所以 ，由于 ．则 ．
故选： ．
11．（2023•江西模拟）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，且
，则 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
【解答】解： ，即 ， ，
，
由正弦定理得： ，即 ，
，
或 ，解得 或 （舍去），
又 为锐角三角形，则 ，
，解得 ，
，
又 ，
，
，
，即 的取值范围 ．
故选： ．
12．（2023春•通州区校级月考）在 中， ， ， 为 边上的中点，且 的长度为 ，则
A． B．4 C． D．6
【解答】解：在 中， ；
在 中， ；
，
，又 ，
，
整理可得： ，即 ，
，
；
在 中， ，
，解得： （舍 或 ，
．
故选： ．
13．（2023•宜川县校级一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
， ，且 ，则 的面积为A． B． C． D．
【解答】解： ，
， ，
又 ， ，
，
，
，
，
因为 ，
， ， ， ．
，，
，
．
故选： ．
14．（2023春•开封月考）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 是边 上一点，
平分 ，且 ，若 ，则 的最小值是
A． B．6 C． D．4
【解答】解：由 ，
则 ，
即 ，
又 ，则 ，
又 ，
则 ，
又 平分 ，且 ，
则 ，
又 ，
则 ，
即 ，
则 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
即 的最小值是 ，
故选： ．
15．（2023春•梅州期中）在 中，若三边之比 ，则 等于
A． B． C．2 D．
【解答】解：因为 中，三边之比 ，
设 ， ， 分别为 ， ， ， ，
由正弦定理可得 ．
故选： ．
16．（多选）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， 的角平分线交
于 ， ，则A． B． C． D．
【解答】解：因为 是角 的平分线，
所以 ．
由题意可知 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故 错误；
在 中， ，即 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，故 正确；
由正弦定理得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 正确；由正弦定理 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 正确．
故选： ．
1．（2023•柳州模拟）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ，则
面积的最大值为
A． B． C． D．6
【解答】解： 中， ， ，由正弦定理得 ，
所以 ， ，
故，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 面积的最大值为 ．
故选： ．
2．（2023春•和平区校级期中）在等边 中， 为 上一点， 为 上一点，且 ，
， ，则 的边长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：设等边 的边长为 ，
因为 是等边三角形，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 的边长为3．
故选： ．3．（2023春•仓山区校级期中）一艘海轮从 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 的方向直线航
行，2小时后到达 处，在 处有一座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方向是南偏东 ，在 处观察灯
塔，其方向是北偏东 ，那么 ， 两点间的距离是
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【解答】解：由题意作出图形： ， ，则 ，
由图知： ，则 ，又 ，
所以 ，则 海里．
故选： ．
4．（2023春•山西月考）如果一架飞机向西飞行 ，再向东飞行 ，记飞机飞行的路程为 ，位
移为 ，那么
A． B． C． D．
【解答】解：路程 ，位移大小是 ，
故 ．
故选： ．
5．（2023•高新区校级模拟）矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好
寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，
在和它底部位于同一水平高度的共线三点 ， ， 处测得铜雕顶端 处仰角分别为 ， ， ，且
，则四门通天的高度为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以四门通天的高度为 ．
故选： ．6．（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影
而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径 是一寸，筒长 是八尺时
（注 一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满
竹管的内孔．”如图所示， 为竹空底面圆心，则太阳角 的正切值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，设 ，则 ，
所以 ．
故选： ．7．（2023春•泉州期中）为了测量河对岸两点 ， 间的距离，现在沿岸相距 的两点 ， 处分别
测得 ， ， ， ，则 ， 间的距离为
A． B．2 C． D．4
【解答】解：因为 ， ，
所以 是正三角形，
所以 ，
因为 中， ， ，
所以 ，
利用正弦定理得 ，
，
中， ，所以 ，
所以 ，即 、 间的距离为 ．
故选： ．
8．（2023春•台州期中）在 中，已知 ， ， ，则角 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：在 中，已知 ， ， ，
由正弦定理可知 ，
，
， 或 ，
，
．
故选： ．
9．（2023•温州模拟）已知 内有一点 ，满足 ， ， ，则
．
【解答】解：在 中，由三角形内角和定理，有 ，
又因为 且 ，
可得 ，所以 ，
在 中，由正弦定理 ，得 ．
1．（2023春•长宁区校级期中）如果△ 的三个内角的余弦值分别等于△ 的三个内角的正弦值，则
A．△ 和△ 都是锐角三角形
B．△ 和△ 都是钝角三角形
C．△ 是钝角三角形，△ 是锐角三角形
D．△ 是锐角三角形，△ 是钝角三角形
【解答】解：因为△ 的三个内角的正弦值均大于0，
所以△ 的三个内角的余弦值也均大于0，则△ 是锐角三角形．
若△ 是锐角三角形，由：
，
得： ；
；
；，
那么， ，这与三角形内角和是 相矛盾；
若△ 是直角三角形，不妨设 ，
则 ，所以 在 范围内无值．
所以△ 是钝角三角形．
故选： ．2．（2019春•永州期末）设 ， ， 为 中的三边长，且 ，则 的取值范
围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：记 ， ， ，则
， ，
又 ， ， 为 的三边长，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ．
另一方面 ， ， ，
由于 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ， ， ，
不妨设 ，且 ， ， 为 的三边长，
所以 ．
令 ，则 ，所以 ，
从而 ，
当且仅当 时取等号．
故选： ．
3．（2017秋•高邮市校级月考）若在锐角 中 ， ， 分别为内角 ， ， 的对边），满足
，且 ，则角 的值为 ．
【解答】解：由正弦定理有： ，
由余弦定理有： ①
又 ②
由①②得
，
又 ，
．
故答案为
