文档内容
必刷大题 9 解三角形
1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
解 (1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，
则BC＝，
由正弦定理可得
sin∠ABC＝＝＝.
(2)由三角形面积公式可得
＝＝4，
则S ＝S
△ACD △ABC
＝×＝.
2．(2024·唐山模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，acos C＋
asin C＝b.
(1)求A；
(2)若点D在BC边上，AD平分∠BAC，且AD＝，求△ABC的周长．
解 (1)由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B，
在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A，
则sin Asin C＝sin Ccos A，
又C∈(0，π)，sin C≠0，∴tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)依题意得S ＝bc·sin∠BAC＝AD·csin∠BAD＋AD·b·sin∠CAD，
△ABC
即bc＝(b＋c)，
由余弦定理得4＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－(b＋c)＝4，解得b＋c＝，
∴△ABC的周长为＋2.
3．(2023·烟台联考)已知在平面四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD，∠BAD＝2∠BCD.
(1)求∠ABC；
(2)若CD＝4，∠ABD＝∠ADB，求四边形ABCD的面积．
解 (1)如图，在△ABD中，由正弦定理可得＝，在△BCD中，由正弦定理可得
＝.
因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC，
所以＝.
而BC＝AD，∠BAD＝2∠BCD，
故＝，
又sin 2∠BCD＝2sin∠BCDcos∠BCD，
所以cos∠BCD＝.
因为0°<∠BCD<180°，
故∠BCD＝30°，故∠ABC＝150°.
(2)因为∠BAD＝2∠BCD＝60°，
且∠ABD＝∠ADB，
故AB＝AD＝BD，△ABD为等边三角形．
所以∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝150°－60°＝90°，
因为CD＝4，∠BCD＝30°，所以BD＝2，
故四边形ABCD的面积S＝S ＋S ＝×2×2×sin 60°＋×2×4×sin 60°＝3.
△ABD △BDC
4．(2023·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(acos C－
b)＝csin A.
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为2，D为BC边上一点，且BD＝2CD.求AD的最小值．
解 (1)由3(acos C－b)＝csin A
及正弦定理可得3(sin Acos C－sin B)＝sin Csin A，
即3(sin Acos C－sin Acos C－cos Asin C)＝sin Csin A，
即－3cos Asin C＝sin Csin A，
又C∈(0，π)，则sin C>0，则tan A＝－，
又A∈(0，π)，则A＝.
(2)∵△ABC的面积为2，∴bcsin A＝2，
又A＝，∴bc＝8，
又∵D为BC边上一点，且BD＝2CD，
∴AD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC，则AD2＝2
＝AB2＋AC2＋AB·AC
＝c2＋b2＋bc×
＝c2＋b2－bc≥2××bc－bc
＝bc＝，
当且仅当c2＝b2，即c＝4，b＝2时取等号，即AD2的最小值为.
即AD的最小值为.
5．已知在非钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC同时满足下列四个
条件中的三个：①A＝；②a＝4；③c＝4；④sin C＝.
(1)指出这三个条件，并说明理由；
(2)求边长b和三角形的面积S .
△ABC
解 (1)该三角形同时满足①②③，理由如下：
若非钝角△ABC同时满足①④，
∵sin C＝<，
∴0，
与△ABC为非钝角三角形相矛盾，
∴该三角形同时满足①②③.
(2)由余弦定理知，
a2＝b2＋c2－2bccos A
＝b2＋32－2×4×b×＝16，
化简得b2－8b＋16＝0，∴b＝4，
∴S ＝bcsin A＝×4×4×＝8.
△ABC
6．(2024·长春模拟)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＋ccos
B＝6.
(1)求边长a；
(2)若△ABC是锐角三角形，且________，求△ABC的面积S的取值范围．
要求：从①A＝；②b＋c＝10这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)方法一 因为bcos C＋ccos B＝6，
由余弦定理，得b·＋c·＝a＝6.
方法二 因为bcos C＋ccos B＝6，
由正弦定理，得2R(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝6，
所以2Rsin(B＋C)＝6，
所以2Rsin A＝6，即a＝6.
(2)选择①.
因为＝＝＝＝6，
所以b＝6sin B，c＝6sin C，
所以S＝bcsin A＝18sin Bsin C
＝18sin Bsin
＝18sin B
＝18sin Bcos B＋18sin2B
＝9sin 2B＋9－9cos 2B
＝9sin＋9，
因为△ABC是锐角三角形，
所以
又C＝－B，所以
