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数列的概念
6-1
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
6-1 数列的概念........................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：数列及其有关概念，..............................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................4
题型一 由a与S的关系求通项公式................................................................................................4
n n
题型二 由数列的递推关系求通项公式............................................................................................5
命题点1 累加法.............................................................................................................................5
命题点2 累乘法.............................................................................................................................5
题型三 数列的性质.................................................................................................................................6
命题点1 数列的单调性...............................................................................................................6
命题点2 数列的周期性...............................................................................................................6
命题点3 数列的最值....................................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................8一、主干知识
考点1：数列及其有关概念，
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位
的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a ，a ，a ，…，a ，..简记作{a }，此处的n是序号．
1 2 3 n n
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{a }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫
n
做这个数列的通项公式．
几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值
是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如 的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，
1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{a }的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与
n
它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
递推公式．
【常用结论总结】
1．已知数列{a}的前n项和S，则a＝
n n n
2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N*)；若a 最小，则(n≥2，n∈N*)．
n n n二、分类题型题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
【例题精析1】 （2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
【例题精析2】 （四川·高考真题）设数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求 的通项公式．
(1)已知S 求a 的常用方法是利用a ＝转化为关于a 的关系式，再求通项公式．
n n n n
(2)S与a关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a ＝S －S (n≥2)转化为只含S ，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S －S ＝a (n≥2)转化为只含a ，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
【对点精练1】 （上海·高考真题）设数列 的前n项和为 ，且对任意正整数n， .
(1)求数列 的通项公式；
【对点精练2】 （陕西·高考真题）已知正项数列 ，其前n项和 满足 ，且 成
等比数列，求数列 的通项 ．【对点精练3】 （安徽·高考真题）已知正项数列 的首项 ．其前n项和 ，求 的通
项公式．
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 满足 ，求数列 的通项公式.
【例题精析4】 （2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
.
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【例题精析5】 数列 中，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
【对点精练4】 （2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的首项为 ，公差为2.数列 满足
(1)求 取得最小值时 的值；
(2)若 ，证明： .
【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．记．
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和 ，求使 成立的正整数n的最大值．
【对点精练6】 （2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【对点精练7】 （2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，证明： .
【对点精练8】 数列 和 满足 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
命题点2 累乘法
【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，数列 的前n项和 ，求证： ．
【例题精析7】 已知数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【例题精析8】 （2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前n项和 ，证明： ．
(1)形如a －a ＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a
n＋1 n n n n－1 n－1 n－2 2
－a )＋a (n≥2)，即可求数列{a }的通项公式．
1 1 n
(2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式
相乘，利用a ＝a ···…·(n≥2)即可求数列{a }的通项公式．
n 1 n
【对点精练9】 （2023·浙江·模拟预测）已知 是公比为2的等比数列， 为正项数列， ，
当 时， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ．求数列 的前n项和 ．
【对点精练10】 已知 是数列 的前 项和，已知 目 ，(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【对点精练11】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 满足 ， .设 为数列 的前 项和，求 .
【对点精练12】 （2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若 ，则正整数n的最小值．
【对点精练13】 （2022·浙江温州·统考模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
【例题精析9】 （2023·北京·高三专题练习）已知等比数列 的公比为q且 ，记
、则“ 且 ”是“ 为递增数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【对点精练14】 （2023·全国·高三专题练习）等差数列 的公差为d，前n项和为 ，设 ；
是递减数列，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【对点精练15】 （多选）（2023·全国·高三专题练习）定义：若存在正实数M使 ，则称正数
列 为有界正数列．已知数列 满足 ， 为数列 的前n项和．则（ ）
A．数列 为递增数列 B．数列 为递增数列
C．数列 为有界正数列 D．数列 为有界正数列
【对点精练16】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．若数列
为单调递增数列，则实数 的取值范围为______．命题点2 数列的周期性
【例题精析10】 （2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时
代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ，此数列在现代物理、
准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，则
的值为（ ）．
A． B． C． D．
【例题精析11】 （2023·北京通州·统考三模）数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．4
【例题精析12】 （2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列 中， ， ，且
（ ），记数列 的前n项积为 ，则 的值为________．
【对点精练17】 若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【对点精练18】 （2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，，则 （ ）
A． B．2 C．1011 D．2022
【对点精练19】 （2023·山东潍坊·统考模拟预测）数列1，3，2，…中， ，则
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【对点精练20】 （2023·甘肃兰州·校考模拟预测）天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二
地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”
重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2099年为己未年，那么3035年为________年.
【对点精练21】 （2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，且 ，则数列
的前2023项的积为___________.
命题点3 数列的最值
【例题精析13】 （2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，则当
最小时， （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a }是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
【对点精练22】 （2021·陕西渭南·统考三模）已知数列 满足 ，则当 取得最大值时，n等于
（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．7
三、分层训练：课堂知识巩固1．（2018•上海）设 为数列 的前 项和，“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2023•密云区三模）设数列 的前 项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列 为递增
数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件
3．（2022•西城区校级三模）记 为数列 的前 项和．若 ，2， ，则
A． 有最大项， 有最大项 B． 有最大项， 有最小项
C． 有最小项， 有最大项 D． 有最小项， 有最小项
4．（2023•涪城区校级模拟）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年
（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过
丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个
正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为
A． B． C． D．
5．（多选）（2022•漳州模拟）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是
A． 是递增数列 B． 是递减数列
C． D．数列 的最大项为 和
6．（2022•武昌区模拟）若数列 的通项公式为 ，则该数列中的最小项的值为
．7．（2021•汉中模拟）设 且 ，已知数列 满足 ，且 是递增数列，则
的取值范围是 ．
8．（2020•烟台模拟）已知数列 的前 项和公式为 ，则数列 的通项公式为 ．
9．（2019•如东县校级模拟）已知正项等比数列 的前 项和为 ．若 ，则 取得最
小值时， 的值为 ．
1．（2023•密云区三模）设数列 的前 项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列 为递增
数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件
2．（2020•海淀区校级模拟）数列 的通项 ，则数列 中的最大值是
A． B．19 C． D．
3．（2020•青浦区二模）定义函数 ，其中 表示不小于 的最小整数，如 ，
，当 ， 时，函数 的值域为 ，记集合 中元素的个数为 ，则 ．
4．（2022•4月份模拟）已知 是公差不为零的等差数列，而 是等比数列，其中 ， ，
， ．
（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的通项公式．
5．（2022•东湖区校级三模）已知等比数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
6．已知递增的等差数列 的首项是1， 是其前 项和，且 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
7．已知数列 为等差数列，数列 满足 ，若 ， ， 成等比数列，且 ．
（1）求 ， ；
（2）求数列 的前 项和 ．
8．数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，公比 ，且满足 ， ， ，
成等差数列；
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和．
1．已知 ， 都是定义在 上的函数， ， ，且 ，且 ， ，若数列 的前 项和大于62，则 的最小值为
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022秋•甘泉县期中）已知函数 ，若数列 满足 ，且
是递增数列，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
