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空间直线、平面的平行
5-4
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
5-4 空间直线、平面的平行.................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：线面平行的判定定理和性质定理.......................................................................................1
考点2：面面平行的判定定理和性质定理.......................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................4
题型一 直线与平面平行的判定与性质............................................................................................4
命题点1 直线与平面平行的判定.............................................................................................4
命题点2 直线与平面平行的性质.............................................................................................4
题型二 平面与平面平行的判定与性质............................................................................................5
题型三 平行关系的综合应用...............................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7一、主干知识
考点1：线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平
判定
面内的一条直线平行，那么 ⇒a∥α
定理
该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，
性质 如果过该直线的平面与此平
⇒a∥b
定理 面相交，那么该直线与交线
平行
考点2：面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直
判定
线与另一个平面平行，那么这
定理 ⇒β∥α
两个平面平行
两个平面平行，如果另一个平
性质
面与这两个平面相交，那么两
定理 ⇒a∥b
条交线平行
【常用结论总结】
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.二、分类题型
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
【例题精析1】 （2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，
， 平面 ，点 是棱 的中点，点 是棱 上的一点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【解答】（1）连接 交 于 ，连接 ，如图所示．
因为四边形 是正方形，所以 是 的中点，又点 是棱 的中点，
所以 是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， ， 平面 ，所以 ， ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 ， 平面 ，所以 ， ．
在 中， ， ， 是 的中点，所以 ， ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 是三棱锥 的高．
在 中， ， ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
得 ， ， ，
．
在 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
设点 到平面 的距离为 ，所以 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 ．
【对点精练1】 （2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面
平面 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【解答】（1）如图（1），设 中点为 ，连接 、 ，
底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点．
，且 ，又 ， ，
且 ， 四边形 为平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）连结 ， ，过 作 交于点 ，
∵ ，∴点 也是 中点，连接 ，
， 为 的中点，∴ ，又 底面 为正方形，
， ， ，
平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
∴在 中， ，
如图（2）以 为原点， 所在直线分别作 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
∴ ， ，
平面 ， 是平面 的一个法向量， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，
设二面角 为 ，显然二面角 为锐角，
，
故二面角 的余弦值为 ．
命题点2 直线与平面平行的性质
【例题精析2】 （2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥 中，底面 为矩形，
， ，平面 与平面 的交线为 .
(1)求证：直线 平行于平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解答】（1）证明：因为底面 是矩形，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，且平面 平面 ，所以 直线 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：以点 为原点， ，垂直于平面 的直线 分别为 轴、 轴和 轴，建立如图空间
直角坐标系，则 ，则 ，
设 ，取 的方向向量 ，
因为 ， ，
可得
，
又因为 ，可得 ，即 ，
解得 ，即 ，
设平面 法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取取 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
由图象可得，二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确
定交线．
【对点精练2】 （2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，三棱台 中， ，
是 的中点，点 在线段 上， ，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，因为 是 的中点，所以 ， ，
因为三棱台 中， ， ， ，
所以 ， ，即四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ．
（2）因为平面 平面 ，所以过点 作 于点 ，则 平面 ，又由题意知
， ，所以 ，
因为 中， ， ，所以 ，
连接 ，在 中由余弦定理得 ，
所以 ，得 ．
所以以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图空间直角坐标系，
令 ，则 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，，
设平面 的法向量为 ，则 得
令 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
题型二 平面与平面平行的判定与性质
【例题精析3】 （2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱
形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，
连接OE，OF，EF．(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求二面角P－EF－O的正弦值．
【解答】（1）由于点E，F分别是棱PA，PB的中点，所以 , , 平面
平面PCD,故 平面PCD,
又 是 的中点，所以, , 平面 平面PCD,故 平面PCD,由于
平面 ,所以平面 平面PCD.
（2）由于 底面ABCD，底面为菱形，所以 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以 ,
设平面 和平面 的法向量分别为 ，
所以 取 ，
同理 取 ，
设二面角P－EF－O的平面角为 ，则 ，
所以 ，【例题精析4】 （2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱
形， ，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，
连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
【解答】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O
所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形 的中位线，OF为三角形 的中位线，
所以 , ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
而 , 平面 ， 平面 ，
平面 平面PCD.
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，因为 底面ABCD，
底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ， ，
所以 和 均为直角三角形，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
根据体积相等法可知 ，
所以 ，
所以 .
，
故三棱锥 的体积为 .
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行
(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．【对点精练3】 （2023·全国·高三专题练习）在如图所示的六面体 中，平面 平面
， ， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若AC，BC， 两两互相垂直， ， ，求点A到平面 的距离．
【解答】（1）取 的中点 ， 的中点 ，连 ， ， ，
在六面体 中，因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面
平面 ，所以 ，
同理可得 ，
因为 分别是 ， 的中点，且 ， ，
所以 ， ， ， ，所以四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
所以 ， ，又已知 ，所以 ，则 共面，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以
，
又 分别是 ， 的中点， ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为AC，BC， 两两互相垂直，所以以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间
直角坐标系：
则 ， ，设 ，则 ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，则 ，取 ，则 ， ，所以点A到平面 的距离为 .
【对点精练4】 （2023·河南焦作·统考模拟预测）在如图所示的六面体 中，平面 平面
， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 两两互相垂直， ， ，求二面角 的余弦值．
【解答】（1）取 中点分别为 ，连接 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以四边形 为平行四边形， ， ，
同理可得四边形 为平行四边形， ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，又因为 ，所以四边形 为平行四边形， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 两两互相垂直，
以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可得 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，解得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，解得 ，
所以 ，由图可知所求角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
题型三 平行关系的综合应用
【例题精析5】 如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P，Q分别为对角线BD，CD
1
上的点，且＝＝.(1)求证：PQ∥平面ADDA；
1 1
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面ADDA？请给出证明．
1 1
【解答】(1)连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD ，因为四边形ABCD为正方形，
1
所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以＝＝，又因为＝＝，所以＝＝，
所以PQ∥MD .又MD ⊂平面ADDA，PQ⊄平面ADDA，故PQ∥平面ADDA.
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)当的值为时，能使平面PQR∥平面ADDA.如图，
1 1
证明如下：因为＝，即＝，故＝.所以PR∥DA.
又DA⊂平面ADDA，PR⊄平面ADDA，所以PR∥平面ADDA，
1 1 1 1 1 1
又PQ∥平面ADDA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面ADDA.
1 1 1 1
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题
的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【对点精练5】 如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求
证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
【解答】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以
BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.
【对点精练6】 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
【解答】(1)∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0<x<4)，由(1)知EF∥AB，∴＝＝，与(1)同理可得CD∥FG，
∴＝，则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.∴四边形EFGH的周长
L＝2 ＝12－x.又∵0<x<4，∴8<L<12，故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2018•浙江）已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据线面的位置关系即可判断出关系．
【解答】解： ， ，“ ” “ ”．
”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．【点评】本题考查了线面的位置关系、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱
的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是
A． B．
C． D．
【分析】利用线面平行判定定理可知 、 、 均不满足题意，从而可得答案．
【解答】解：对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；
对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；
对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；
所以选项 满足题意，
故选： ．
【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法
的积累，属于中档题．
3．（2023•广西一模）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为
A． B．1 C． D．
【分析】画出图形，延长正三棱台的三条棱 ， ， ，交于点 ，作 底面 于 ，连接
，然后转化求解即可．
【解答】解：一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，如图，延长正三棱台的三条棱 ， ， ，交于点 ，
因为 ， ，
则 ，作 底面 于 ，
连接 ，则 ，故 ，
故正三棱台 的高为 ．
故选： ．
【点评】本题考查棱台与棱锥的关系，直线与平面垂直的判定与应用，棱台高的求法，是中档题．
4．（2023•金山区二模）如图，在矩形 中， 、 分别为边 、 上的点，且 ，
，设 、 分别为线段 、 的中点，将四边形 沿着直线 进行翻折，使得点 不
在平面 上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是
A．直线 直线 B．直线 直线
C．直线 直线 D．直线 平面
【分析】根据题意，由直线与平面的位置关系依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，取 的中点 ，连接 、 、 、 ，依次分析选项：
对于 ，在矩形 中， 、 分别为边 、 上的点，且 ， ，则 ，
又由 ，则有四边形 为矩形，则有 ，
同理： ，则有 ；
对于 ， 为线段 的中点， 为 的中点，则 ， 和 不一定平行；
对于 ， 、 分别为线段 、 的中点， 为 的中点，则有 ， ，
则 面 ，则有 ，又由 ，则 ；
对于 ，分析可得 ，则 平面 ，同理： 平面 ，
则平面 平面 ，则有 平面 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的判断，属于基础题．
5．（2023•镇安县校级模拟）已知 ， 是两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线，下列说法正
确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：若 ， ，则直线 与直线 可以平行，也可以异面，故 错误；
若 ， ，可以得到 与 平行或异面或相交，故 错误；若 ， ， ，则 与 可以平行，也可以相交，故 错误；
若 ，则直线 与平面 内的所有直线都垂直，又 ，
与平面 内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思
维能力，是基础题．
6．（2023•嘉定区校级三模）如图所示，在斜三棱柱 中， ，且 ，过
作 平面 ，垂足为 ，则点 在
A．直线 上 B．直线 上 C．直线 上 D． 内部
【分析】先通过线线垂直证明 面 ，进而可得面 面 ，由面面垂直的性质定理可得要
过 作 平面 ，只需过 作 即可，则答案可求．
【解答】解：连接 ， ， ，且 ，
面 ，又 面 ，
面 面 ，
面 面 ，
要过 作 平面 ，则只需过 作 即可，
故点 在直线 上，故选： ．
【点评】本题考查线面垂直问题，属于基础题．
7．（2023•白山二模）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A． 平面 B． 平面 C． 平面 D． 平面
【分析】对于 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，推导出 ， ，从而 平
面 ， 平面 ，进而平面 平面 由此得到 平面 ；对于 ，以 为
坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法判断．
【解答】解：在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，
取 的中点 ，连接 ， ， ，如图，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
故平面 平面 ．又 平面 ，所以 平面 ， 正确，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
设 ，则 ，1， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
，2， ， ，0， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ， ， ，
， 与平面 不平行，故 错误；
，2， ， ， 与 不垂直，
不垂直于平面 ， 不垂直于平面 ，故 ， 均错误．
故选： ．
【点评】本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．（2023•泉州模拟）如图，点 ， ， ， ， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，
不满足直线 平面 的是A． B．
C． D．
【分析】根据题意，由直线与平面平行的判断方法，依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，如图，
，
、 、 分别是三个棱的中点，可得平面 平面 ，必有 平面 ；
对于 ，如图，
，
连接 ，易得 ，又由 ，则有 ，
而 在平面 上，必有 平面 ；
对于 ，如图： ，为所在棱的中点，则有 ，
而 在平面 内，则直线 平面 ；
对于 ，如图：
在平面 内，不满足直线 平面 ．
故选： ．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
9．（2023•潍坊模拟）如图，在正三棱锥 中， ， ， 为底面 的中心，点
在线段 上，且 ，若 平面 ，则实数
A． B． C． D．
【分析】由正三棱锥的性质可知 为 的外接圆的圆心，由三角形的边长可知外接圆的半径的大小，
进而求出 的大小，再由 底面 ，求出 的大小，进而求出 ，求出 的值．
【解答】解：连接 ， ，由正三棱锥可知 为 的外接圆的半径，设半径为 ，
则 ，
且 面 ，
所以 ，可得 ，因为 平面 ，可得 ，且 ，
在 中， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，求即 ，即 ，
故选： ．
【点评】本题考查正三棱锥的性质的应用，线段之比与向量的系数的关系的应用，属于基础题．
10．（2023•攀枝花二模）如图，正方体 中， 是 的中点，给出下列结论：
① ；② 平面 ；③ ；④ 平面 ；
其中正确的结论个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量结合线线、线面的位置关系逐一判断得答案．【解答】解：以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
，2， ， ， ， ， ．
可知不存在实数 ，使得 ，故①错误；
设平面 的法向量为 ，
由 ，令 ，得 ．
， ，而 平面 ，则 平面 ，故②正确；
， ，故③正确；
又 ， ， 与 不垂直，
而 平面 ，则 与平面 不垂直，故④错误．
正确的个数为2个．
故选： ．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间向量的应用，考查运算求解
能力，是中档题．
11．（2023•船山区校级模拟）在正方体 中，下列结论正确的是
① ；②平面 平面 ；
③ ；
④ 平面 ．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据正方体的性质、线面平行的判定定理及面面平行的判定定理证明即可．
【解答】解：因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，故 ，故①正确；
易证 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得
平面 ，
又 ， ， 平面 ，故平面 平面 ，故②正确；
由正方体 易知， 与 异面，故③错误；
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故④正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
12．（2023•河南模拟）如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧棱 的中点，
是 的中点，则A． B． 平面 C． 平面 D．
【分析】由两条直线的位置关系可判断 ；由线面的位置关系可判断 ；由线面垂直的性质可判断 ；由
线面垂直的判定与性质可判断 ．
【解答】解：因为 与 异面，故 错误；
因为 的延长线必过点 ，则直线 与平面 相交，故 错误；
因为 与 不垂直，所以 不垂直于平面 ，故 错误；
取 的中点 ，连接 ，在正方形 中，由 ， ，
即 ，可得 ，所以 ．
连接 ，则 ，又平面 底面 ，
平面 底面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，且 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 故 正确．故选： ．
【点评】本题考查空间中线线、线面的位置关系，主要是平行与垂直的判定和性质，考查转化思想和推理
能力，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
13．（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方体的
顶点，则满足 的是
A． B．
C． D．
【分析】对于 ，设正方体棱长为2，设 与 所成角为 ，求出 ，从而不满足 ；
对于 ， ， ，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，利用向量法进行判断．
【解答】解：对于 ，设正方体棱长为2，设 与 所成角为 ，则 ， 不满足 ，故 错误；
对于 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，0， ， ， ， ，
， 满足 ，故 正确；
对于 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ，2， ， ，2， ， ，1， ， ，0， ，
，0， ， ， ， ，
， 满足 ，故 正确；
对于 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ，2， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ，
， ， ， ，0， ，
， 不满足 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查数学运算、
逻辑思维等核心素养，是中档题．
三．填空题（共1小题）
14．（2020•全国）在空间直角坐标系中，已知点 ，0， ， ，1， ，则经过点 且与直线
垂直的平面方程为 ．
【分析】由已知可得 ，1， ，设经过点 且与直线 垂直的平面内任一点 ， ， ，可
得 ，化简即可．
【解答】解： ，0， ， ，1， ， ，1， ，
设经过点 且与直线 垂直的平面内任一点 ， ， ，则 ， ，
则可得 ，即 ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面方程的求法，属基础题．四．解答题（共4小题）
15．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且
， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
【分析】（1）因为 是长方体，且 ，可得 平面 ，因为 平面
，所以 ．
（2）取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．根据已知条件可得四边形 为平行四
边形，得 ，再推得四边形 为平行四边形，所以 ，根据直线平行的性质可得
，所以 ， ， ， 四点共面，即点 在平面 内．
【解答】解：（1）因为 是长方体，所以 平面 ，而 平面 ，所以
，因为 是长方体，且 ，所以 是正方形，所以 ，又 ．
所以 平面 ，又因为点 ， 分别在棱 ， 上，所以 平面 ，
所以 ．
（2）取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ， ．
因为点 在 ，且 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，且 ，
又因为 在 上，且 ，所以 ，且 ，
所以 为平行四边形，
所以 ， ，即 ， ，
所以 为平行四边形，
所以 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面．
所以点 在平面 内．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题．
16．（2019•江苏）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ．求证：
（1） 平面 ；
（2） ．
【分析】（1）推导出 ， ，从而 ，由此能证明 平面 ．
（2）推导出 ， ，从而 平面 ，由此能证明 ．
【解答】证明：（1） 在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，
， ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
解：（2） 在直三棱柱 中， 是 的中点， ．
，
直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
，
又 ， 平面 ，平面 ， ．
【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
17．（2019•北京）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中
点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
【分析】（Ⅰ）推导出 ， ，由此能证明 平面 ．
（Ⅱ）推导出 ， ，从而 平面 ，由此能证明平面 平面 ．
（Ⅲ）棱 上是存在中点 ，取 中点 ，连结 ， ，推导出 ， ，从而平面
平面 ，进而 平面 ．
【解答】证明：（Ⅰ） 四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
， ，
， 平面 ．
（Ⅱ） 在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
为 的中点， ，， ，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
解：（Ⅲ）棱 上是存在中点 ，使得 平面 ．
理由如下：取 中点 ，连结 ， ，
在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点，
， ，
， ，
平面 平面 ，
平面 ， 平面 ．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的眯是否存在的判断与求法，考查空间
中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（2017•江苏）如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，点 、
与 、 不重合）分别在棱 ， 上，且 ．求证：
（1） 平面 ；
（2） ．
【分析】（1）利用 及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段 上点 ，连结 、 使得 ，则 ，利用线面垂直的性质定理可知
，结合线面垂直的判定定理可知 平面 ，从而可得结论．
【解答】证明：（1） ， ，且 、 、 、 四点共面，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）在线段 上取点 ，连结 、 使得 ，则 ，
， ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
，且 ，
平面 ， 平面 ， ，
， ．
【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定
理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．
