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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 33 练 空间直线、平面的平行（精练）
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；3．（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
(3)求点 到平面 的距离．
4．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面 垂直．(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
6．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平
面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【A组 在基础中考查功底】
一、解答题
1．如图， 和 都是正方形， ， ，且 ．证明： 平面 .2．如图所示， 为平行四边形 所在平面外一点， ， 分别为 ， 的中点.求证： 平面
.
3．如图所示，在三棱柱 中， 为 的中点，求证： 平面
4．已知四棱锥 中， ，取 的中点M， 的中点N，求证： 平面 .5．如图，在长方体 中，E为AB的中点，F为 的中点．证明： 平面 ．
6．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明： 平面BDM．
7．如图所示，在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．求证：平面
平面 ．
8．正三棱柱 的底面正三角形的边长为 ， 为 的中点， .(1)证明： 平面 ；
(2)求该三棱柱的体积.
9．如图，在正方体 中， 是 的中点， 分别是 的中点，求证：
(1) 平面 ；
(2)平面 平面 .
10．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， ， 为圆锥底面的两条直径， 为母线 上一
点，连接 ， ， ．
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；（2）若 平面 ，证明： 为 的中点．
11．如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ．
(2)在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 请说明理由．
12．如图，在四棱柱ABCD﹣ABC D 中，点M是线段BD 上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
1 1 1 1 1 1
(1)求证：EF 平面BDD B；
1 1
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF 平面BDD B．
1 1
13．如图，四棱锥 的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD
＝2．
(1)求证： 平面PEC；(2)求三棱锥 的体积．
14．在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为边长为 的菱形， ， ，
为 中点， 为 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与 所成角大小．
15．已知正方体 ，点E为 中点，直线 交平面 于点F．求证：点F为 中点．
16．点 是 所在平面外一点， 是 中点，在 上任取点 ，过 和 作平面交平面
于 ．证明： ．17．已知直棱柱 的底面ABCD为菱形，且 ， ，点 为 的中
点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
18．如图，在长方体 中， ， .
(1)设O、E分别为 和AB中点，求证：OE平行于平面 ；
19．如图，在正四面体 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，取 ， 的中
点 ， ，点 为平面 内一点(1)求证：平面 平面
(2)若 平面 ，求线段 的最小值，
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．如图：在正方体 中，M为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
2．如图所示，三棱柱 ，底面是边长为2的正三角形，侧棱 底面 ，点 分别是棱
， 上的点，点 是线段 的中点， ．(1)求证 平面 ；
(2)求 与 所成角的余弦值．
3．如图，在正三棱柱 中， 是线段 上靠近点 的一个三等分点， 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离．
4．如图所示，在直三棱柱 中， ， ，点 、 分别为棱 、
的中点，点 是线段 上的点（不包括两个端点）.(1)设平面 与平面 相交于直线 ，求证： ；
5．在四面体中 ，四边形 是矩形，且 .
(1)证明： 平面 ；
6．在四棱柱 中， ， ， ， .
(1)当 时，试用 表示 ；
(2)证明： 四点共面；
(3)判断直线 能否是平面 和平面 的交线，并说明理由.7．如图所示，三棱台 的体积为7，其上、下底面均为等边三角形，平面 平面 ，
且 ，棱AC与BC的中点分别为G，H.
(1)证明：平面 平面FGH；
(2)求点E到平面FGH的距离.
8．如图，在正三棱柱 中， 是 的中点，求证： 平面 ．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面
ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．
(1)证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点.(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
11．直四棱柱 ， ， ， ， ，
(1)求证： 平面 ；
12．已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 .
(1)证明：点 为 的中点；
13．在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为矩形， 为棱 的中点， 与 交于点 为 的重心.
(1)求证： 平面 ；
14．如图在棱长为 的正方体 中， 是 上一点，且 平面 .
(1)求证： 为 的中点；
(2)求点 到平面 的距离．
15．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，
M为PD（不包含端点）上的点， ， ．
(1)若 ，求证： 平面 ；16．如图，多面体 是将一个平行六面体 截去三棱锥 后剩下的几何
体，P为三角形 的重心，Q为 的中点.四边形ABCD是边长为1的正方形，且 ，
.
(1)求异面直线BC与 所成角的大小；
(2)求证：直线 平面 .
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．如图，在四棱锥 中，PA 面ABCD，AB CD，且CD=2，AB=1，BC= ，PA=1，AB
BC，N为PD的中点．
(1)求证：AN 平面PBC；(3)在平面PBC内是否存在点H，满足 ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的
轨迹图形形状（不必证明）．
2．如图，在棱长为2的正方体 中，点M是正方体的中心，将四棱锥 绕直线
逆时针旋转 后，得到四棱锥 ．
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
3．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 中底面长轴 ，
短轴长 ， 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点， ，P为 的中点，MN
为过点 的下底面的一条动弦（不与AB重合）.
(1)求证： 平面PMN
(2)求三棱锥 的体积的最大值.4．如图，在多面体 中，平面 平面 ， 平面 ， 和 均为正三角形，
， .
(1)在线段 上是否存在点F，使得 平面 ?说明理由；
5．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 分别为 ， 的中
点，点 在 上，且 为三角形 的重心.
(1)证明： 平面 ；
6．如图，点 在以 为直径的圆 上 不同于 ， ， 垂直于圆 所在平面， 为 的重心，
， 在线段 上，且 .(1)证明： ∥平面 ；
7．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ，平行于 和
的平面分别与 交于 四点．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
8．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 中点， 为 中点，
在 上， .二面角 的平面角大小为 .
(1)求证： 平面 ；9．如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足 ，将 沿 向上翻折，
使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
10．如图,在四棱锥 中, 平面 , 平面 ,底面 为矩形,点 在棱 上,且
与 位于平面 的两侧.
(1)证明: 平面 ;
