文档内容
第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：四个公理.............................................................................................................................4
知识点2：直线与直线的位置关系.....................................................................................................5
知识点3：直线与平面的位置关系.....................................................................................................6
知识点4：平面与平面的位置关系.....................................................................................................7
知识点5：等角定理.............................................................................................................................7
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”............................................8
题型二：截面问题..............................................................................................................................12
题型三：异面直线的判定..................................................................................................................20
题型四：异面直线所成的角..............................................................................................................23
题型五：平面的基本性质..................................................................................................................29
题型六：等角定理..............................................................................................................................32
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................35
05课本典例·高考素材........................................................................................................................38
06易错分析·答题模板........................................................................................................................40
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误..........................................................................40
答题模板：异面直线所成的角..........................................................................................................41考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是高考命题的热点，重点关
（1）基本事实的应用 注异面直线的判定和成角问题、空间点线
2023年上海卷第15题，5分
（2）空间位置关系的 面的位置关系问题．对于空间几何体的
2022年上海卷第15题，5分
判断 点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐
2022年I卷第9题，5分
（3）异面直线所成的 步提升，还增加了截面问题，对考生的空
2021年乙卷（文）第10题，5分
角 间想象能力要求有所提升，需要考生有更
强大的逻辑推理能力．
复习目标：
（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、
平面的位置关系的定义．
（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识点1：四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【诊断自测】在长方体 中，直线 与平面 的交点为 ， 与 交于点 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． ， ， 三点确定一个平面 B． ， ， 三点共线
C． ， ， ， 四点共面 D． ， ， ， 四点共面
【答案】B
【解析】如下图所示：根据题意，连接 ，则 ，
所以 四点共面，所以 面 ，
又 ，所以 面 ，
又 面 ，所以点 在面 与面 的交线上面，
同理可得点 在面 与面 的交线上面，
所以 ， ， 三点共线，
故A选项错误，B选项正确；
由异面直线判定定理可知C选项中 为异面直线，
故C选项错误；
由异面直线判定定理可知D选项中 为异面直线，
故D选项错误.
故选：B.
知识点2：直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平 两条异面直线不同在如
面 何一个平面内
【诊断自测】两条直线 分别和异面直线 都相交，则直线 的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
【答案】D
【解析】已知直线 与 是异面直线，直线 与直线 分别与两条直线 与直线 相交于点 ，根据题意可得当点 与点 重合时，两条直线相交，当点 与点 不重合时，两条直线异面，
所以直线 的位置关系是异面或相交.
故选:D．
知识点3：直线与平面的位置关系
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号
∥
公共点个数 无数个 1 0
【诊断自测】四棱锥 如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行 B．与直线AD相交
C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线
【答案】D
【解析】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直
线AD、直线BD是异面直线.
故选：D.
知识点4：平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号
∥ ，公共点个数 0 无数个公共点且都 无数个公共点且都在
在唯一的一条直线上 唯一的一条直线上
【诊断自测】下列说法正确的是（ ）
A．若直线 两两相交，则直线 共面
B．若直线 与平面 所成的角相等，则直线 互相平行
C．若平面 上有三个不共线的点到平面 的距离相等，则平面 与平面 平行
D．若不共面的4个点到平面 的距离相等，则这样的平面 有且只有7个
【答案】D
【解析】对于A中，当直线 交于同一点时，则直线 可能不共面，所以A错误；
对于B中，当直线 倾斜方向不同时，直线 与平面 所成的角也可能相等，所以B错误；
对于C中，当这3个点不在平面 的同侧时，平面 与平面 相交，所以C错误；
对于D中，根据题意，显然这4个点不可能在平面 的同侧，
当这4个点在平面 两侧1，3分布时，这样的平面 有4个，
当这4个点在平面 两侧2，2分布时，这样的平面 有3个，
所以这样的平面 有且只有7个，所以D正确.
故选：D．
知识点5：等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【诊断自测】已知空间中两个角 ， ，且角 与角 的两边分别平行，若 ，则 ．
【答案】 或
【解析】根据等角定理知： 或 ，
若 ，则 或 .
故答案为： 或
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
【典例1-1】如图，在正四棱台 中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC， ， 上的点．
已知 ， ， ， ，正四棱台 的高为6．证明：直线MQ， ，NP相交于同一点．
【解析】证明：在正四棱台 中，因为 ， ， ，
，
所以四边形 ， 均为梯形，则直线MQ与 必相交，NP与 必相交．
延长MQ， ，NP，设MQ的延长线与 的延长线交于点E，NP的延长线与 的延长线交于点F．
在正四棱台 中， ， ，
则 ， ，
得 ，所以点E，F重合，
即直线MQ， ，NP相交于同一点．
【典例1-2】空间四边形 中，点 分别在 上，且 ．
求证： 四点共面．
【解析】∵ ，
所以 ， ，得到 ，所以 四点共面.
【方法技巧】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式1-1】在直三棱柱 中， ，侧棱长为3，侧面积为 .
(1)求三棱锥 的体积;
(2)若点D、E分别在三棱柱的棱 上，且 ，线段 的延长线与平面 交于
三点，证明： 共线.
【解析】（1）由题意知 ，
所以该三棱柱的侧面积为 ，
又 ，直三棱柱 中 ，
且 平面 ，
所以 平面 ，
又 ，所以 平面 ，
故三棱锥 的体积为 ；
（2）由基本事实的推论知两条相交直线共面，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，即 共线.
【变式1-2】已知在正方体 中，E、F分别为 、 的中点， ，
．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；(2)若 交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；
(3)DE、BF、 三线交于一点．
【解析】（1）证明：因为EF是 的中位线，所以 ．
在正方体 中， ，所以 ．
所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．
（2）在正方体 中，设平面 为 、平面BDEF为 ．
因为 ，所以 ．又 ，所以 ．所以Q是 与 的公共点．
同理，P也是 与 的公共点．所以 ．
又 ，所以 ， ，且 ．则 ，
故P、Q、R三点共线．
（3）因为 且 ，所以DE与BF相交，
设交点为M，则由 ， 平面 ，得 平面 ，
同理，点 平面 ．又平面 平面 ，
所以 ．所以DE、BF、 三线交于一点M．
【变式1-3】如图，在长方体 中， 、 分别是 和 的中点．
(1)证明： 、 、 、 四点共面；
(2)对角线 与平面 交于点 ， 交于点 ，求证：点 共线；
(3)证明： 、 、 三线共点．
【解析】（1）连接在长方体 中
、 分别是 和 的中点
、 、 、 四点共面
（2）
确定一个平面
面
面
对角线 与平面 交于点
面
在面 与面 的交线上
面 且 面
面 面
即点 共线.
（3）延长 交于面
面
面
面
面 面
、 、 三线共点.
题型二：截面问题
【典例2-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 外接球的体积为 ， 、 、 分别
为棱 的中点，则平面 截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设正方体 外接球的半径为 ，棱长为 ，
因为正方体 外接球的体积为 ，所以 ，则 ，
由 ，得 ，
设球心 到平面 的距离为 ，平面 截球的截面圆的半径为 ，
设 到平面 的距离为 ,
因为 、 、 分别为棱 的中点，
所以 是边长为 的正三角形,
由 ,得 ,
则 ,
解得 ,又 ,
所以 到平面 的距离为 ，
则 ，
，
所以平面 截球的截面面积为， .
故选：A.
【典例2-2】（2024·四川泸州·三模）已知正方体 的棱长为2，P为 的中点，过A，
B，P三点作平面 ，则该正方体的外接球被平面 截得的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正方体 的外接球球心是 的中点 ，而 ，
则点 到平面 的距离 等于点 到平面 的距离的一半，又平面 过线段 的中点P，
因此点 与点 到平面 的距离相等，由 平面 ， ，得 平面 ，
在平面 内过 作 于 ，而 平面 ，于是 ，
又 ，从而 ，又球 的半径 ，则正方体的外接球被平面 截得的截面圆半径 ，有 ，
所以正方体的外接球被平面 截得的截面圆的面积 .
故选：D
【方法技巧】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们
的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 中，点 是线段 上靠近 的三等分
点，点 是线段 上靠近 的三等分点，则平面AEF截正方体 形成的截面图形为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解析】如图，设 ，分别延长 交于点 ，此时 ，
连接 交 于 ，连接 ，
设平面 与平面 的交线为 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，设 ，则 ，
此时 ，故 ，连接 ，
所以五边形 为所求截面图形，
故选：C．【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，
用过点 ，E， 的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【解析】
如图，取AB的中点G，连接GE， ， ．
因为E为BC的中点，所以 ， ，
又 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以用过点 ，E， 的平面截正方体，所得截面为梯形 ，
其周长为 ．
故选：A．【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截该
正方体所得的截面多边形为 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连结 ，因为 平面 ， 平面 ，所以
且 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ；
所以平面 为平面 或与其平行的平面， 只能为三角形或六边形.
当 为三角形时，其面积的最大值为 ；
当 为六边形时，此时的情况如图所示，
设 ，则 ，
依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成，
其中 ，两个等腰梯形的高分别为 ， ，
则 ，
当且仅当 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为 .
【变式2-4】已知正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为棱 上异于端点的动点，
若平面 截该正方体所得的截面为五边形，则线段 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】在正方体 中，平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
则平面 与平面 的交线过点 ，且与直线 平行，与直线 相交，
设交点为 ，如图所示，
又因为 平面 ， 平面 ，
即 分别为 ， 与平面 所成的角，
因为 ，则 ，且有 ，当 与 重合时，平面
截该正方体所得的截面为四边形，此时 ，即 为棱 中点 ；
当点 由点 向点 移动过程中， 逐渐减小，点 由点 向点 方向移动；
当点 为线段 上任意一点时，平面 只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形；
当点 在线段 延长线上时，直线 必与棱 交于除点 外的点，
又点 与 不重合，此时，平面 与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形，
如图所示．
因此．当 为棱 上异于端点的动点，截面为四边形，点 只能在线段 （除点 外）上，即
，可得 ，则 ，
所以线段 的取值范围是 ，所以若平面 截该正方体的截面为五边形，线段 的取值范围是 .
故选：B．
【变式2-5】已知正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点， 为侧面 的中心，过点
的平面 垂直于 ，则平面 截正方体 所得的截面周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，取 的中点 ，分别连接 ，
在正方形 中，因为 分别为 的中点，可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又因为 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证： ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
即平面 截正方体 的截面为 ，
由正方体 的棱长为 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以截面的周长为 .
故选：A.
【变式2-6】（2024·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.过 的平面 与正四面体 相截，得到一个截面多边形 ，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形 不可能是平行四边形 B．截面多边形 的周长是定值
C．截面多边形 的周长的最小值是 D．截面多边形 的面积的取值范围是
【答案】D
【解析】对于A，当平面 过 或 时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面 对称，将平面 从平面 开始旋转与 交于点 时，
由对称性可知，此时平面 与 交于点 ，且 ，
此时截面为四边形 ，且注意到当 分别为 的中点时，此时满足 ，
且 ，即此时截面四边形 是平行四边形，故A错误；
对于BC，设 ，由余弦定理得 ，
，
由两点间距离公式知， 表示动点 到定点 和 的距离之和，
当三点共线时取得最小值 ，
由二次函数单调性可知，当 或 时， 取得最大值 ，
所以截面多边形 周长的取值范围是 ，故BC错误；
对于D，记 与 的交点为 ，由对称性 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，所以 ，记 ，
则 ，
因为 ，
所以
，
由二次函数性质可知， ，即 ，
所以 ，故D正确；
故选：D.
题型三：异面直线的判定
【典例3-1】如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线 是异面
直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线 是异面直线的是 ，
其中 ，所以 与 共面、 与 共面、 与 共面．
故选：C【典例3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面
ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B． ，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D． ，AC与EF是异面直线
【答案】D
【解析】如图，在底面半径为1的圆柱 中，母线 ， ， 是 的中点，则 ，
因为 是 的中点，又 ，则 ，
， ，
，
在 中， 是 的中点， 是 的中点， ，
与 是共面直线，
若AC与EF是共面直线，则 在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线
故选：D．
【方法技巧】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式3-1】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直
线MN与PQ是异面直线的是（ ）A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】①对应图1， 是平面 外一点， 在平面 内，且 不在直线 上，因此 与 是
异面直线，①正确；
②对应图2， 重合， 与 是相交直线，②错；
③对应图3，由于由中位线定理得 ， 都与棱 平等，从而 ，③错；
④与图1类似得 与 是异面直线，④正确．
故选：A．
【变式3-2】已知正方体 ，点 在直线 上， 为线段 的中点，则下列说法不正确
的是（ ）
A．存在点 ，使得 ； B．存在点 ，使得 ；
C．直线 始终与直线 异面； D．直线 始终与直线 异面.
【答案】C
【解析】在正方体 中，可得 ，
又由 平面A B C D ，且 平面A B C D ，所以 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
由点 在直线 上， 为线段 的中点，
当点 和 重合时，可得 平面 ，所以 ，所以A正确；
连接 ，如图所示，
当点 为线段 的中点时， 为 的中位线，即 ，所以B正确；因为 平面 ，当点 和点 重合时， 平面 ，
则直线 和 在同一平面内，所以C错误；
由 平面 ， 平面 ，且 ，
所以直线 始终与直线 不相交，且不平行，所以 与 是异面直线，所以D正确.
故选：C.
题型四：异面直线所成的角
【典例4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱 的体积为16，则直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接 ，则 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 （或其补角）为直线 与 所成的角，
又正四棱柱的体积为16，则该棱柱的高为 ，
又 ，
所以 ，
即直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：C【典例4-2】已知两条异面直线a，b所成角为 ，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为 ，则
这样的直线l有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【解析】如图：
通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意， , ,
而 的角平分线与a和b的所成角为 ，
的角平分线与a和b的所成角为 ，
因为 ，所以直线l和a，b所成角均为 的直线有4条，
其中直线l在平面BPE的射影为 的角平分线时存在2条直线满足条件，
当直线l在平面EPD的射影为 的角平分线时存在2条满足条件，故共4条.
故选：C.
【方法技巧】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正
方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【变式4-1】（2024·高三·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱 中， ， ，则直线
与直线 所成角的正切值为 ．【答案】 /
【解析】在正三棱柱 中，连接 交 于O点，取 的中点F，连接OF，
显然 是 的中点，则 ， 是 与 所成的角或其补角，
在 中， ， ， ，
， ，
所以直线 与直线 所成角的正切值为 .
故答案为：
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 中， ， ， ，
为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是 ．
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ，如图所示：因为 为 的中点， 为 的中点，
则根据三角形的中位线定理可得 ，且 .
所以 为异面直线 与 所成的角或其补角．
因为在 中， ， ， ，
所以 ，则 .
又 ，所以 ．
又在 中， ， ,
所以由余弦定理可得： .
又因为在 中， ，
所以由余弦定理可得： .
则在 中，由余弦定理可得， ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： .
【变式4-3】如图，已知四棱锥 ，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为
CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 的中点 ，连接 ，由E为CD的中点，得 ， ，
则 是异面直线CM与AE所成的角或其补角，
正方形 中， ，在 中， ，
， ，
于是 ，
所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为 .
故选：D
【变式4-4】（2024·高三·江苏南京·期中）已知矩形 中， 是边 的中点． 和
交于点 ，将 沿 折起，在翻折过程中当 与 垂直时，异面直线 和 所成角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，在矩形 中， 是边 的中点，
故 ，故 ，
又 ，故 ，所以 ，
则 ，故 ．如图2，将 沿 折起，点 的对应点为 ，在翻折过程中，当 与 垂直时，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
连接 ，因为 ，
所以 或其补角即为异面直线 和 所成角，
因为 ，所以 ，
故 ，则 ，又 ，
故 ，即所求角的余弦值为 ，
故选：D．
【变式4-5】四面体 中， ， ， ，求 与 所成角的余弦值的取
值范围 ．
【答案】
【解析】如图，取 ， 分别为 ， 的中点．
， ，
，所以 ，在 中， ，当 ， 重合时取等．
过 作 于 ，设 ，则 ,即 ，即 ，得
．
所以 ．当 ， ， ， 共面时取等．
取 中点 ，则 ， ，所以所求的角即为 ，
于是
由 知 ，于是 ．
故答案为：
题型五：平面的基本性质
【典例5-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面
C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面
【答案】C
【解析】在空间中，三条直线最多可确定 个平面，
例如：三棱锥 中的三个侧面.
故选：C
【典例5-2】（2024·陕西榆林·二模）下列说法中正确的是（ ）A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两个平面垂直
C．一块蛋糕3刀可以切成6块
D．一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内
【答案】C
【解析】对A，平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故A错误；
对于B，垂直同一个平面的两个平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故B错误.
对C，作蛋糕截面如图所示，
一个蛋糕切3刀可以切成 块，故C正确；
对D，一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内或该直线与平面平行或直线与平面
相交，故D错误.
故选： C.
【方法技巧】
平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一
个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基
本构成单元，其存在与确定的唯一性。
【变式5-1】（2024·宁夏银川·三模） 是两个不同的点， 为两个不同的平面，下列推理错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确；
B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确；
C， 有两种情况， 与 相交或 ，其中 与 相交，且交点为A点，则C错误；
D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确；
故选：C.
【变式5-2】空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（
）A．42 B．56 C．64 D．81
【答案】B
【解析】根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面个数是 个.
故选：B
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆柱 中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且
，若 是弧BC的中点， 是线段AB的中点，则（ ）
A． 四点不共面 B． 四点共面
C． 为直角三角形 D． 为直角三角形
【答案】D
【解析】因为点 ，而 平面 ，结合圆柱结构，所以 平面 ，故 四点不
共面；
圆柱 中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且 ，
若 是弧BC的中点， 是线段AB的中点，故 ，
所以 ，故 ；
连接 ，则依题有 为 在平面 内的射影，在平面 内显然 与 不垂直，故
与 不垂直；
，则 为直角三角形，
故选： ．
题型六：等角定理
【典例6-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体 中， 是棱 的中点，记平面
与平面 的交线为 ，平面 与平面 的交线为 ，若直线 分别与 所成的角为
，则 ， .4 1
【答案】 /0.5 /1
3 3
【解析】在正方体 中， 是棱 的中点，
延长 与 延长线交于点 ，连接 ，则直线 即为直线 ， ，
由 ，得 ，又 ，于是 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
则 ，又 ，因此 ， ，
所以 .
故答案为： ；
【典例6-2】设 与 的两边分别平行，若 ，则 .
【答案】 或
【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．
所求角为 或 .
故答案为： 或 .
【方法技巧】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【变式6-1】已知空间中两个角 ，且 ，若 ，则
.
【答案】 或
【解析】因为两个角 ，且 ，
则 的两边分别平行，
所以 相等或互补，
又 ，所以 或
故答案为： 或
【变式6-2】过正方体 的顶点 在空间作直线 ，使 与平面 和直线 所成的角都
等于 ，则这样的直线 共有 条．
【答案】2
【解析】在正方体中， 与平面 垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与 、 都成
的直线有几条．
考虑到 ， 夹角为 ，所以同一平面的角平分线与 ， 的夹角大小为 ，
因为 ，从而存在两条直线满足条件．而 ， 的外角为120度，所以不存在外角平分线满足
条件．
综上，满足条件的直线共2条．
故答案为：2.
【变式6-3】如图，已知直线 ， 为异面直线， 为直线 上三点， ， ， 为直线 上三点， ，
， ， ， 分别为 ， ， ， ， 的中点.若 ，则 .【答案】 /
【解析】因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，
同理 ， ， ，
所以 ， ．
又 的两边和 的两边的方向都相同，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，连接 ，因为 ∥ ，所以 或其补角为直线 与 所成的角，
因为 平面A B C D ，所以 ，又 ， ，
1 1 1 1
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D
2．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））设四面体的六条棱的长分别为1，1，
1，1， 和 ，且长为 的棱与长为 的棱异面，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设四面体的底面是 ， ， ，顶点为 ，
在三角形 中，因为两边之和大于第三边可得： ，①
取 中点 ， 是中点，直角三角形 全等于直角 ，
所以在三角形 中， ，
两边之和大于第三边
，得 ，（负值0值舍）②
由①②得 ．
故答案为 ．
3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学）过正方体 的顶点A作直线
，使 与棱AB，AD， 所成的角都相等，这样的直线 可以作（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】如图：
由于平面 ，平面 ，平面 上不存在满足条件的直线 ，只需考虑正方体内部和正方体外
部满足条件的直线 的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知 在平面 内的射影为 的角
平分线,在平面 内的射影为 的角平分线，则 在正方体内部的情况为体对角线 ；第二类：
在图形外部与每条棱的外角度数和另 条棱夹角度数相等，有 条.所以共有 条满足条件的直线,故选D.
4．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））已知 是两个相交平面，空间两条直
线 在 上的射影是直线 在 上的射影是直线 .用 与 ， 与 的位置关系，写出一个总
能确定 与 是异面直线的充分条件： .
【答案】
，并且 与 相交
【解析】当 异面时， 在 上的射影是直线 ，可能平行或相交：
过 上的射影是直线 ，可能平行或相交：
但当直线 与直线 ，同时成立时，则 ：
而当直线 与 ､直线 与 ，均相交时，则 与 可能相交；
故能确定 与 是异面直线的充分条件是 ，并且 与 相交
（或 ，并且 与 相交）.
故答案为： ，并且 与 相交.
5．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知三棱柱 的侧棱与
底面边长都相等，若 在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与 所成的角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设 的中点为 ，由题意可知 平面 ，
连接 、 、 ，在三棱柱 中 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角；
设三棱柱 的侧棱与底面边长为 ， 则 ，
分别在 和 中，由勾股定理，可知 ，
，
在 中，由余弦定理，得 ；
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．
故选：D．
1．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】BD【解析】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；
故选：BD.
2．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些
线段所在直线是异面直线？
【解析】
还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，
AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：
直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.
3．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：
P，Q，R三点共线.
【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线
上.
∴P，Q，R三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直
线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
【解析】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可
以确定3个平面；
②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条
直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；
这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面.
5．正方体各面所在平面将空间分成几部分？
【解析】
如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，
同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，
因此共将空间分成27个部分.
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误
易错分析： 在空间几何中，点、线、面间的位置关系判断错误常源于对基本概念的模糊理解或忽视。【易错题1】若直线 ， ， 满足 ， ， 异面，则 与 （ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【答案】C
【解析】在正方体 中，
A． ， 和 是异面直线， ，
故直线 ， ， 满足 ， ， 异面，则 与 可能相交，不一定是异面直线，故A错误；
B． ， 和 是异面直线， 和 是异面直线，
故直线 ， ， 满足 ， ， 异面，则 与 可能是异面直线，故B错误；
C．直线 ， ， 满足 ， ， 异面，则由平行公理得 与 不可能是平行直线，故C正确；
D． ， 和 是异面直线， ，
故直线 ， ， 满足 ， ， 异面，则 与 可能相交，故D错误．
故选：C．
【易错题2】在空间四边形 的边 、 、 、 上分别取点E、F、G、H，若 与 相交
于一点M，则M（ ）
A．一定在直线 上；
B．一定在直线 上；
C．可能在直线 上，也可能在直线 上；
D．不在直线 上，也不在直线 上．
【答案】A
【解析】由于 是空间四边形，故 ， 确定平面 ， ， 确定平面 ．
， ， ，
面 ， 面 ，
，
面 ， 面
面 面
故选：A．答题模板：异面直线所成的角
1、模板解决思路
根据异面直线所成角的定义，我们可以通过平移的方式，将两条原本不在同一平面内的异面直线转化
为在同一平面内相交的直线。接下来，我们需要证明这两条相交直线所形成的角，实际上就是原本那两条
异面直线所成的角。一旦证明了这一点，我们就可以利用解三角形等数学方法，来求解这个角的具体大小。
2、模板解决步骤
第一步：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
第二步：证明作出的角是异面直线所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例题1】如图所示，圆锥的底面直径 ，高 ， 为底面圆周上的一点，且
，则直线 与 所成角的大小为 ．
【答案】
【解析】如图，延长 交底面圆于点 ，连接 ， ，
由 ， 均为圆的直径知 ，且 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）．
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，所以 为正三角形，
所以 ，即直线 与 所成的角为 .
故答案为： .
【典型例题2】如图，直线 平面 为正方形， ，则直线 与 所成角的大小
为 ．【答案】
【解析】令 ，取 中点分别为 ，
连结 ，则 ，
就是直线 与 所成角或其补角.
又因为在 中， ，
连结 ，得 ，
，
则 ，
∴直线 与 所成角为 .
故答案为： .
