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平面向量中的综合问题
4-4
4-4 平面向量中的综合问题.................................................................................................................................1
一、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 平面向量在几何中的应用......................................................................................................2
题型二 和向量有关的最值(范围)问题............................................................................................9
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题...................................................9
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题........................................................................18
命题点3 与模有关的最值(范围)问题.................................................................................22一、分类题型
题型一 平面向量在几何中的应用
【例题精析1】 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中， ，且点P在以AD的中点O为圆心，
OA为半径的半圆上，若 ，则（ ）
A． B．
C． 最大值为8 D． 的最大值为
【解答】对于A，因为 ，且点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，所以
，
则 ，故A正确；
，故B错误；
如图，以点 为原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直 的直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，因为点 在以 的中点 为圆心， 为半径的单位圆上，且在 轴的
下半部分，设 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ，故C错误；
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，故D正确.
故选：AD.
【例题精析2】 如图等腰直角三角形OAB，OB＝1，以AB为直径作一半圆，点P为半圆上任意一点，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】
如图以 OA , OB 所在直线分别为 轴， 轴建系．则
以AB为直径作一半圆，点P为半圆上任意一点，
半圆为 ,
设 ，则 .
．
故选：D．
【例题精析3】 已知单位向量 和向量 、 满足 ， ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】设 ， ，由 可得 ，化简可得，即 .
设 ，则由 可得 ，故 的轨迹为以
为焦点， 的椭圆，其方程为 .
设 夹角为 ，则 ，由圆与椭圆的性质可得， ， ， ，故当
同向，均往 负半轴时， 取得最大值 .
故选：B
【例题精析4】 在 中，若 ， ，则 面积的最大值为______．
【解答】设点 为线段 的三等分点，
因为 ， ，
所以 ， ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 面积的最大值为2.故答案为：2
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．
【对点精练1】 如图，已知 是以 为直径的上半圆上的动点（包含端点 ， ）， 是 的中点，
，则 的最大值是______．
【解答】因为 ，所以 ，所以 ，当
且仅当 ，即 与 重合时取等号，故 的最大值是2．
故答案为：2
【对点精练2】 已知 是边长为1的等边三角形，点O是 所在平面上的任意一点，则向量的模为__________.
【解答】因为 是边长为1的等边三角形，所以 ， ，
所以 ，
所以
.
故答案为：
【对点精练3】 已知在 中， 为平面 内一点，则 的最小值
是__________.
【解答】
由余弦定理得： ，
以B点为原点，BC为x轴，建立直角坐标系如图，
则A点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
即 ，设 ，
则 ，，
当 时，上式最小=-6；
故答案为： .
【对点精练4】 如图所示，梯形 中， ，点 为 的中点， ，
，若向量 在向量 上的投影向量的模为 ，设 ， 分别为线段 ， 上的
动点，且 ， ，则 的取值范围是______________.
【解答】
∵ ，∴ ，以 为原点，直线 ， 分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系，
∵向量 在向量 上的投影向量为 ，∴ ，∴ ，
由已知，设 ， ，（ ， ），
则 ， ， ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，∴ ， ，∴ ，
又∵ ， 分别为线段 ， 上的动点，且 ， ，
∴ ，解得 ，
且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
设 ， ，则由以上基本不等式所求最小值可知，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
， ，
∴ 的最小值为 ，最大值为
∴ 的取值范围是 .
故答案为： .
【对点精练5】 在平面四边形 中， ， ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则
________；若 ，点 为线段 上的动点，则 的最小值为________．
【解答】过点 作 垂直 于点 ，则向量 为向量 在向量 上的投影向量，由题意知点 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，又 为锐角，故 .
以点 为坐标原点， 为 轴建系如图，则 ， ， .
因为 ，所以 .
因为点 为线段 上的动点，所以设 ， 故点 .
， .
当 时， 取到最小值 .
故答案为： ； .题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
【例题精析5】 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF＝
xAE＋yDC(x>0，y>0)，则的最大值为( )
A. B. C．1 D．2
【解答】设BD，AE交于O，因为DE∥AB，所以△AOB∽△EOD，所以＝＝2，
所以AO＝2OE，则AE＝AO，所以AF＝xAE＋yDC＝xAO＋yAB，
因为O，F，B三点共线，所以x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以＝＝，因为x>0，y>0，所以4y＋≥2＝4，
当且仅当4y＝，即y＝时等号成立，此时x＝，所以＝≤＝.
【例题精析6】 已知 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D． 或
【解答】由题意得，点 为 中点，设点 ，则
，解得 ，所以点 的坐标为 .故选:B．【例题精析7】 已知 ， ，点 分 所成的比为 ，则 与 的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ 分 所成的比为 ，∴ ，即 ，
∴有 ，解得 .
故选：D.
【例题精析8】 已知 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解答】 点 在线段 的延长线上，且 ，
，即 ,
所以 ．
所以点P的坐标为 .
故选：D.
【例题精析9】 在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【解答】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
所以有 ，
，设 ， ，
因此有
因为 ，
所以有 ，
而 ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，当 ，xy有最小值 ，
所以 的取值范围是
故选：B
【例题精析10】 已知 为单位向量， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】对 两边同时平方可得： ，为单位向量，所以设 ，且 ，
将 放入下图所示的正方形 中，所以 ，
令 ，则由 可得， ，即 ，
所以 ，则 的终点在以 为直径的圆上，所以圆的圆心 ， ，
所以 的最大值为 .
故选：D.
【例题精析11】 已知向量 ，若点 是直线 上的一个动点，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】设 ，则 ， ，
则 .故当
时， 取最小值 .
故选：C
【例题精析12】 已知 ， ，点P在直线AB上，且 ，求点P的坐标（ ）
A． B．C． D．
【解答】设 ，因为 ， ，且点P在直线AB上，故由 可得以下两种情况：
，此时有 ，解得 ；
或 ，此时有 ，解得 ；
故选：AB
【例题精析13】 已知 是边长为 的等边三角形，平面 内有两动点 满足
．若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ，
所以
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以点 在 的内部或边上
取 的中点 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， .
故选：BCD.【例题精析14】 在等腰梯形 中，已知 ，点 在线段 上，且
，当点 为线段 中点时， __________；当点 在线段 上运动时，
的最大值为__________．
【解答】如图，
因为 ，
所以 ，故 ，
当点 为线段 中点时， ，
又 ，所以 ， ，
当点 在线段 上运动时，
，
由 三点共线可知， ，即 ，
所以 ，
又 ，即 ，所以 ，所以 ，即 的最大值为 .
故答案为： ； .
【例题精析15】 中， ，点P为 所在平面内一点且 ，则
C=___________，若 ，则 的最大值为___________.
【解答】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 是等腰直角三角形，令 ，则 ，
如图，以点 为原点，以 为 轴， 轴建立直角坐标系，设 ，
则 ，
， ， ，
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，则点 的轨迹是以 为直径的圆，
所以点 的轨迹方程为所以 ，即 ，
所以当 时， 有最大值，最大值为 .
故答案为： ；
【例题精析16】 在直角梯形 中， ， ， ， ，动点 在以点 为圆
心，且与直线 相切的圆上移动，设 ，则 最大值是________.
【解答】解：以 为原点，分别以 方向为 轴，建立如图所示直角坐标系：
所以 ， ， ， ，所以 ， ，
因为圆 与直线 相切，而 ，圆心 ，
所以半径 ，所以圆 ： ，
设 ,则 ， ，
又
所以 ，则 ，所以
所以 表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率 的2倍，
因为动点 在圆 上移动，所以直线AP: 与 有交点，则圆心 到 的距离为
解得: ，则
所以 ，则 最大值是4.
故答案为：4．
【例题精析17】 设平面向量 ， ， 满足： ， ， ， ，则 的取值范围是
__________．
【解答】依题意，设 ， ， .
根据 ，即 ，即 ，整理得 .
显然 ，否则 ， ，与已知矛盾，故 可得 .
由 ，即 ，故 ，解得 .
故 .
故答案为：
【例题精析18】 已知平面向量 ， ， ，若 ， ，那么 的取值范围是______.
【解答】因为 ， ，
令 ， ，则 ， ，
所以 ， ，
所以又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 .
故答案为：
【例题精析19】 已知正六边形 的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则 的最小
值为____________．
【解答】如图，以正六边形 的中心为坐标原点，以 为x轴，过点O作 的垂线为y轴，建立
平面直角坐标系，
则 ,设点 ，
则 ,
故
，故当 ，即P点坐标为 时， 取到最小值为 ，故答案为：
【例题精析20】 已知两个向量 ，则当 取得最小值时， ___________.
【解答】由题意可得 ，则 ，
所以 ，
所以 ， 取得最小值.故答案为： .
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
【例题精析21】 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB 的取值范
围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
【解答】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)．设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，
且－1<x<3.所以AP·AB＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．
【例题精析22】 已知 中， ，点 在平面 内， ，则 的最大值为
（ ）
A．6 B．4 C． D．
【解答】由 ，得 ，所以 ，
在 中， , ，
又点 在平面 内， ,如图所示设 ， ，则 ,
所以
.
因为 ，
所以 ,即 ，
所以 的最大值为 .
故选：A.
【例题精析23】 已知 的外接圆的圆心为 ，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】由正弦定理得 ，故 ，
因为 ，所以 ，
则
，因为 ，所以 ，则 ，
故 .
故选：C
【例题精析24】 已知 是平面内一组基底， ， ，则 与 所成角的最大值为
______．
【解答】因为 是平面内一组基底，即 不共线，
设 ，显然 、 不共线，且均不为零向量，
设 的夹角为 ，则 ， ，
又因为 ，则 ，
即 ，整理得 ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
所以 与 所成角的最大值为 .故答案为： .
【例题精析25】 平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且 ，点N是DC边上的点，且 ，
点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则 的最大值为______.
【解答】如图所示，
根据数量积的几何意义知：当点M在C点时， 在 上的投影向量与 同向，且长度最长，
所以此时 最大，
因为 ， ，
所以
，
所以 的最大值为 .
故答案为：
【例题精析26】 如图， 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若
， ，点 为线段 上的动点，则 _________， 的最小值为_________．【解答】由题意可知， 是等边三角形，则 ，则 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
又因为 为等边三角形，则 ；
取线段 的中点 ，连接 ，
则
，在 中， ， ， ， ，
由正弦定理额可得 ，则 ，
当 时， 取最小值，此时， ，
所以， .故答案为： ； .命题点3 与模有关的最值(范围)问题
【例题精析27】 已知向量 是非零向量，λ、 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】若 ，则 ，
两边平方可得 ，
即 ，即 ，
即 或 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
【例题精析28】 已知 ，点 在线段 上，且 的最小值为 ，则 （ ）的最
小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】当 时， 取得最小值，因为 ，
所以此时点 为线段 的中点，
因为 ，所以 ，故 ，
则 ，
因为 ，
故 ．故选：B.
【例题精析29】 已知向量 ， 夹角为 ， ，若对任意 ，恒有 ，则函数
的最小值为______.
【解答】因为 ，所以 ，
整理可得 ，
因为对任意 ，上式恒成立，所以 ；
由题意知 ，所以 ，所以 .可以看作点 与点 的距离之和；
如图，点 关于 的对称点为 ，则 ；
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【例题精析30】 已知平面向量满足 ， ，则 的最小值为______．
【解答】利用向量的绝对值（三角）不等式，
因为平面向量满足 ， ，
所以 ， ，
则 ．
故答案为: .
【例题精析31】 已知平面向量 满足 ，则 的取值范围是__________．
【解答】当 时，取 明显成立，
当 时，不妨设 ，则 ，
∴ ，即存在 ，使 ，
当 时， ，不合题意，
当 时，存在 ，使 ，即 适合题意；
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
【例题精析32】 已知在同一平面上的3个单位向量 ，它们相互之间的夹角均为 ，且 ，
则实数k的取值范围是___________.
【解答】因为 为单位向量，且相互之间的夹角均为
所以 ，
因为
所以
即 ，解得 或
即实数k的取值范围是 .
故答案为：
向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
