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§5.4 平面向量中的综合问题
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足CD＝2DB，AD＝，则BC的长为( )
A．3 B．3
C．3 D．6
答案 A
解析 因为CD＝2DB，
所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC，
设AB＝x，则AD2＝2，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝
＝＝3.
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证明 取{AB，AD}为基底，设AB＝a，AD＝b，
则AC＝a＋b，DB＝a－b，
∴AC2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
DB2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得AC2＋DB2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．
跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若AC·BC＝1，则点
C的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．直线
答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
则AC＝(x＋a，y)，BC＝(x－a，y)，
所以AC·BC＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆．
(2)(多选)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(6,8)，且＋＝，则下列结论成立的是( )
A．四边形ABCD为菱形
B．∠BAD＝120°
C．|AC|＝10
D．|BD|＝10
答案 ABD
解析 AB＝DC＝(6,8)，
则四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－＝cos〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|AB|＝
10，所以|BD|＝|AB|＝10，|AC|＝10.
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 (2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD
上的一动点，若AF＝xAE＋yDC(x>0，y>0)，则的最大值为( )
A. B.
C．1 D．2
答案 A解析 设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，所以＝＝2，
所以AO＝2OE，则AE＝AO，
所以AF＝xAE＋yDC＝xAO＋yAB，
因为O，F，B三点共线，
所以x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以＝＝，
因为x>0，y>0，
所以4y＋≥2＝4，
当且仅当4y＝，即y＝时等号成立，
此时x＝，
所以＝≤＝.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB 的
取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，
F(－1，)．
设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，
且－1
