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§5.4 平面向量中的综合问题
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足CD＝2DB，AD＝，则BC的长为( )
A．3 B．3
C．3 D．6
答案 A
解析 因为CD＝2DB，
所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC，
设AB＝x，则AD2＝2，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝
＝＝3.
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证明 取{AB，AD}为基底，设AB＝a，AD＝b，
则AC＝a＋b，DB＝a－b，
∴AC2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
DB2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得AC2＋DB2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．
跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若AC·BC＝1，则点
C的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．直线
答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
则AC＝(x＋a，y)，BC＝(x－a，y)，
所以AC·BC＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆．
(2)(多选)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(6,8)，且＋＝，则下列结论成立的是( )
A．四边形ABCD为菱形
B．∠BAD＝120°
C．|AC|＝10
D．|BD|＝10
答案 ABD
解析 AB＝DC＝(6,8)，
则四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－＝cos〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|AB|＝
10，所以|BD|＝|AB|＝10，|AC|＝10.
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 (2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD
上的一动点，若AF＝xAE＋yDC(x>0，y>0)，则的最大值为( )
A. B.
C．1 D．2
答案 A解析 设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，所以＝＝2，
所以AO＝2OE，则AE＝AO，
所以AF＝xAE＋yDC＝xAO＋yAB，
因为O，F，B三点共线，
所以x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以＝＝，
因为x>0，y>0，
所以4y＋≥2＝4，
当且仅当4y＝，即y＝时等号成立，
此时x＝，
所以＝≤＝.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB 的
取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，
F(－1，)．
设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，
且－1<x<3.
所以AP·AB＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．
答案 4解析 方法一 由题意得|a|＝1，|b|＝2，
a·b＝sin θ－cos θ
＝2sin，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sin
＝8－8sin.
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值为
4.
方法二 因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，
所以2a－b＝(2cos θ＋，2sin θ－1)，
所以|2a－b|＝
＝
＝.
故|2a－b|的最大值为＝4.
方法三 由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取
等号，故|2a－b|的最大值为4.
思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)(2022·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点
P满足|AP－AB－AC|＝1，则|AP|的最小值为( )
A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1
答案 C
解析 因为|AB＋AC|2
＝AB2＋AC2＋2AB·AC
＝|AB|2＋|AC|2＋2|AB|·|AC|cos ＝12，
所以|AB＋AC|＝2，
由平面向量模的三角不等式可得
|AP|＝|(AP－AB－AC)＋(AB＋AC)|≥
||AP－AB－AC|－|AB＋AC||＝2－1.当且仅当AP－AB－AC与AB＋AC方向相反时，等号成立．
因此|AP|的最小值为2－1.
(2)(2022·广东实验中学模拟)如图，在△ABC中，BD＝BC，点E在线段AD上移动(不含端
点)，若AE＝λAB＋μAC，则＝________，λ2－2μ的最小值是________．
答案 2 －
解析 因为在△ABC中，BD＝BC，
所以DC＝2BD.
由向量定比分点公式得
AD＝AB＋AC，
即AD＝AB＋AC.
因为点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设AE＝xAD(0<x<1)．
所以AE＝AB＋AC，
对比AE＝λAB＋μAC，
可得λ＝，μ＝.
得＝＝2；
代入λ＝，μ＝可得λ2－2μ＝2－2×
＝－(0<x<1)，
根据二次函数性质知当x＝－＝时，
(λ2－2μ) ＝×2－×＝－.
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1．(2022·杭州模拟)边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足：CM＝CA＋λCB(λ∈R)，
则CA·BM的取值范围是( )
A. B.
C. D．[－2,2]
答案 B
解析 因为点M在△ABC内部(包括边界)，所以0≤λ≤，
由CA·BM＝CA·(BC＋CM)
＝CA·
＝－2＋＋2λ＝－＋2λ∈.
2．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ，
λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
答案 C
解析 OP·BC＝OA·BC＋λ
＝OA·BC＋λ(－|BC|＋|BC|)
＝OA·BC.
则OP·BC－OA·BC＝0，
即AP·BC＝0，故AP⊥BC，
即点P的轨迹经过△ABC的垂心．
3．(2022·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内
一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－1
答案 A
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面
直角坐标系，
则A(0,1)，B(－，0)，C(，0)，设P(x，y)，
所以PA＝(－x,1－y)，PB＝(－－x，－y)，PC＝(－x，－y)，
所以PB＋PC＝(－2x，－2y)，
PA·(PB＋PC)＝2x2－2y(1－y)
＝2x2＋22－≥－，
当P时，所求的最小值为－.
4.(2022·长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A(前轮)，
圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后
轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC·BP的最大值为( )A．18 B．24 C．36 D．48
答案 C
解析 骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动．
如图，以AD所在直线为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得A(－4,0)，
B(－2,2)，C(2,2)，圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，设P(4＋cos α，sin α)，
则AC＝(6,2)，BP＝(6＋cos α，sin α－2)，
AC·BP＝6(6＋cos α)＋2(sin α－2)＝6cos α＋6sin α＋24
＝12＋24
＝12sin＋24，
易知当sin＝1时，
AC·BP取得最大值36.
5．(2022·合肥模拟)P为双曲线x2－y2＝1左支上任意一点，EF为圆C：(x－2)2＋y2＝4的任
意一条直径，则PE·PF的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．9
答案 C
解析 如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r＝2，
PE·PF＝(PC＋CE)·(PC＋CF)
＝(PC＋CE)·(PC－CE)
＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
则当点P位于双曲线左支的顶点时，|PC|2－4最小，
即PE·PF最小．
此时PE·PF的最小值为(1＋2)2－4＝5.6．(2022·上海模拟)已知在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点Q
在以D为圆心、以1为半径的圆上运动，则AP·AQ的取值范围为( )
A．[0,2] B．[1－，2]
C．[0，＋1] D．[1－，1＋]
答案 D
解析 如图分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
设P(t，t)，Q(cos θ，1＋sin θ)，
∴AP＝(t，t)，
AQ＝(cos θ，1＋sin θ)，t∈[0,1]，θ∈[0,2π)，
∴AP·AQ＝tcos θ＋t＋tsin θ
＝t，
∴AP·AQ∈[1－，1＋]，
∴AP·AQ的取值范围为[1－，1＋]．
7．(多选)(2022·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则AB·AC的值( )
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
答案 BC
解析 如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
故AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠CAD＝|AB|·|AC|·
＝|AB|2，
故AB·AC的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．
8．(多选)(2022·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这
样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心
和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别
是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是( )
A.GH＝2OG
B.GA＋GB＋GC＝0
C．设BC边的中点为D，则有AH＝3OD
D.OA＝OB＝OC
答案 AB
解析 如图，
对于A项，由题意得AG＝2GD，AH⊥BC，
所以GH＝2OG，所以A选项正确；
对于B项，设D为BC的中点，GB＋GC＝2GD＝－GA，
所以GA＋GB＋GC＝0，所以B选项正确；
对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，
所以AG＝2GD，GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以AH＝2OD，故C选项错误；
对于D项，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D选项错误．
9．(2022·潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a＋b＋c|＝
________.
答案 2
解析 由题意可得，|AC|是正方形的对角线长，
故|AC|＝，
又AB＋BC＝AC，
所以|a＋b＋c|＝2|AC|＝2.
10．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则AO·AP的最大值为________．
答案 6
解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
AO＝(2,0)，
AP＝(x＋2，y)，
所以AO·AP＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以AO·AP的最大值为2＋4＝6.
方法二 如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，
所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，
所以AO＝(2,0)，AP＝(cos α＋2，sin α)，
AO·AP＝2cos α＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时等号成立．
11．(2022·沈阳模拟)已知在面积为的△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，CB＝
3CD，P为AD上一点，且满足CP＝CA＋mCB，则|CP|的最小值为________．
答案 1
解析 在△ABC中，设角A，B，C所对的边的长为a，b，c，
因为sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，
所以由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
则cos C＝＝，
所以C＝60°，因为A，P，D三点共线，
所以CP＝λCA＋(1－λ)CD，
即CP＝λCA＋(1－λ)·CB，
所以λ＝，即CP＝CA＋CB，
而S ＝absin C＝⇒ab＝4，
△ABC
所以|CP|＝
＝
＝
≥
＝＝1，当且仅当a＝3b时等号成立．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的
距离为1，则PC·PD的最小值为________．
答案 2－2
解析 如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平
面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，
设P(cos θ，sin θ)，
PC＝(2－cos θ，1－sin θ)，
PD＝(－cos θ，1－sin θ)，
∴PC·PD＝－2cos θ＋cos2θ＋1－2sin θ＋sin2θ
＝2－2(sin θ＋cos θ)
＝2－2sin，
∴当sin＝1，
即θ＝时，PC·PD取最小值，最小值为2－2.
