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第2讲 空间点、线、面的位置关系
复习要点 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面之间位置关系的基础上，
抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和定理，了解空间两条
直线位置关系的判定．
一 平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
二 “三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
(1)共面直线
①相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②平行直线：在同一平面内，没有公共点．
(2)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直
线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：(0°，90°]．
四 空间直线、平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线 相交 a∩α＝A 1 个
与平
面
平行 a∥α 0 个在平
a α 无数个
面内
⊂
平面 平行 α∥β 0 个
与平
面 相交 α∩β＝l 无数个
常/用/结/论
1．异面直线的判定
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
如图：
2．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
1．判断下列结论是否正确．
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)
(3)依次首尾相接的四条线段必共面．()
(4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么b与c不可能是平行直线．(√)
2．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内存在唯一的直线与a平行
D．α内的直线与a都相交
解析：若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α与a相交，A选项不正确，α内存在直
线与a相交；B选项正确，C选项不正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，
不可能平行；D选项不正确，α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交．故选B.
答案：B
3．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n α，且A∈m，
A∈α，则m，n的位置关系可能是( )
⊂
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
解析：依题意，m∩α＝A，n α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定
⊂不平行．故选ABC.
答案：ABC
4．(2024·河北石家庄模拟)一个正方体的展开图如图所示，点 B，C，D为原正方体的
顶点，点A为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线 CD与AB所成角的余
弦值为( )
A. B.
C. D.
解析： 还原正方体，如图所示，设正方体的棱长为2，由题意可得AD＝1，AF＝1，
则AB＝，BE＝EF＝2，所以AE＝＝3，又在正方体中，CD∥BE，所以∠ABE或其补角即
为异面直线CD与AB所成的角，所以cos∠ABE＝＝.故选D.
答案：D
题型 平面基本性质的应用
典例1已知在正方体ABCDABC D 中，E，F分别为DC ，C B 的中点，AC∩BD＝
1 1 1 1 1 1 1 1
P，AC ∩EF＝Q.求证：
1 1
(1) D ， B ， F ， E 四点共面 ；
由数量关系证明EF∥BD.
(2)若AC交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
1
(3)DE，BF，CC 三线交于一点．
1
证明：(1)如图所示，连接BD.因为EF是△DBC 的中位线，所以EF∥BD.在正方
1 1 1 1 1 1 1
体AC 中，BD∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点
1 1 1
共面．
(2)在正方体 AC 中，设 A ，C，C 三点确定的平面为 α，平面 BDEF 为 β.因为
1 1 1Q∈AC ，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以 Q 是 α 与 β 的公共点 ．同理， P 是 α 与 β
1 1
的公共点，所以α∩β＝PQ.
又AC∩β＝R，所以R∈AC， 所以 R ∈ α ，且 R ∈ β .
1 1
则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线．
欲证三点共线，只须证明三点是两个平面的公共点．
(3)因为EF∥BD且EF<BD，
所以DE与BF相交．设交点为M，
则由M∈DE，DE 平面DDCC ，
1 1
得 M ∈ 平面 D DCC ，同理，点 M ∈ 平面 B BCC . 又平面 D DCC ∩ 平面 B BCC ＝ CC ，
1 ⊂1 1 1 1 1 1 1 1
所以 M ∈ CC .应用基本事实3，证明三线共点．
1
所以DE，BF，CC 三线交于一点．
1
1．证明点或线共面问题的两种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面， 然后再证其余的线 ( 或点 ) 在这个平
面内． 常称为“纳入平面法”．
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 称为“同一法”．
2．证明点共线问题的两种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
提醒：点共线、线共点等都是应用基本事实3，证明点为两平面的公共点，即证明点
在交线上.
对点练1如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在
BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．
证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，
∵EG 平面ABC，
⊂∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
题型 空间两直线的位置关系
典例2(1)(2024·福建龙岩模拟) 若 a 和 b 是异面直线， b 和 c 是异面直线 ，则a和c的
异面直线关系没有传递性，平行关系、相似关系、全等关系具备传递性，而异面关系、
垂直关系、没有传递性，你还能举出其他关系么？
位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
(2)(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中
点，则在这个正四面体中，下列结论正确的是( )
由平面图形翻折得到空间图形，考查空间想象、元素的对应关系．
A． GH ∥ EF
下面给出二面角内，两直线的夹角公式：cosθ＝cosθ·cosθ ＋sinθ·sinθ·cosα.θ ，θ 分
1 2 1 2 1 2
别是二面角内两条射线与棱的夹角，θ是两射线夹角，α为二面角的平面角. 本例中，两侧
面的二面角α满足cosα＝，cosGH，EF＝0.
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN所成角为60°
D．DE⊥MN
解析：(1)如图，在长方体ABCDABC D 中，
1 1 1 1
①若直线AA 记为直线a，直线BC记为直线b，直线BA 记为直线c，此时a和c相交；
1 1 1
②若直线AA 记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD 记为直线c，此时a和c平行；
1 1
③若直线AA 记为直线a，直线BC记为直线b，直线C D 记为直线c，此时a和c异面．
1 1 1
长方体模型，常作为判断点、线、面位置关系的模型．
故选D.(2)将该平面展开图还原成正四面体ADEF，如图所示，
其中H与N重合，A，B，C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面．连接
GM，
∵△GMH为等边三角形，∴GH与MN所成角为60°.
连接 GF，GA，易证 DE⊥平面 AGF，∵AF 平面 AGF，∴DE⊥AF，又
MN∥AF.∴DE⊥MN.故选BCD.
⊂
空间两条直线位置关系的判定方法
对点练2(1)(2024·江西九江模拟)在正方体ABCDABC D 中，M是BC 的中点，则直线
1 1 1 1 1
DM与AC的位置关系是( )
1
A．异面垂直 B．相交垂直
C．异面不垂直 D．相交不垂直
(2)(多选)(2024·重庆九校联考)如图，在正方体ABCDABC D 中，O为正方形ABCD的
1 1 1 1
中心，当点P在线段BC (不包含端点)上运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(
1
)
A．AB B．AC
1 1
C．AA D．AD
1 1
解析：(1)如图，连接AD，BC，
1 1
因为AB∥CD，且AB＝CD，
1 1 1 1所以四边形ABCD为平行四边形，故BC∥AD.
1 1 1 1
又 M∈BC，则 DM 与 AC 共面相交．设 DM 与 AC 相交于点 E，正方体 ABCD-
1 1 1
ABC D 的棱长为2，则MC＝，AD＝2，MD＝，AC＝2.
1 1 1 1 1 1
又易知△MCE∽△DAE，则＝＝＝，可得ME＝，CE＝.
1
又ME2＋CE2＝＋＝2＝MC2，
则DM⊥AC，
1
即DM与AC的位置关系是相交垂直．
1
(2)对于A，如图1，连接AB ，C D，BD，当P为BC 的中点时，OP∥DC ∥AB ，故
1 1 1 1 1
A不正确；
图1
对于B，如图2，连接AC，AC ，AC，因为AC 平面AAC C，O∈平面AAC C，
1 1 1 1 1 1 1 1
O∉AC，P∉平面AAC C，所以直线AC与直线OP一定是异面直线，故B正确；
1 1 1 1 ⊂
图2
对于C，如图2，因为AA 平面AAC C，O∈平面AAC C，O∉AA，P∉平面AAC C，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以直线AA与直线OP一定是异面直线，故C正确；
1 ⊂
对于 D，如图 3，连接 AD ，DC，AC，因为 AD 平面 ADC，O∈平面 ADC，
1 1 1 1 1
O∉AD，P∉平面ADC，所以直线AD 与直线OP一定是异面直线，故D正确．
1 1 1 ⊂
故选BCD.图3
答案：(1)B (2)BCD
题型 异面直线所成的角
典例3(2018·全国Ⅱ卷，理)在长方体ABCDABC D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，则异面
1 1 1 1 1
直线AD 与DB 所成角的余弦值为( )
1 1
A. B. C. D.
解析：方法一：如图，补上一相同的长方体 CDEFC DEF ，连接 DE ，BE.易知
1 1 1 1 1 1 1
AD∥DE， 则 ∠ B DE ( 或其补角 ) 为异面直线 AD 与 DB 所成的角．
1 1 1 1 1 1
为什么补体呢？因为需要平移AD 后，与DB 相交，此方法设计的初心是在几何体的
1 1
表面内实现线段的平移．
因为在长方体ABCDABC D 中，AB＝BC＝1，AA＝，所以DE＝＝＝2，
1 1 1 1 1 1
DB ＝＝，BE ＝＝＝，所以在△BDE 中，由余弦定理，得 cos ∠ B DE ＝＝，即异面
1 1 1 1 1 1 1
直线 AD
1
在△B DE 中由余弦定理求夹角，因此前面先计算三边的长．
1 1
与DB 所成角的余弦值为.
1
方法二：如图，连接BD ，交DB 于点O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O
1 1
为BD 的中点， 所以 AD ∥ OM ，则 ∠ MOD ( 或其补角 ) 为异面直线 AD 与 DB 所成的角．
1 1 1 1
在截面ABD 内，也可实现AD 的平行移动，OM∥AD ，达到平移后相交的目的，前
1 1 1
两个方法总结起来是在怎样的一个平面内，实现对其中一条直线的平行移动．
因为在长方体ABCDABC D 中，AB＝BC＝1，AA＝，AD＝＝2，
1 1 1 1 1 1DM＝＝，DB ＝＝，所以OM＝AD ＝1，OD＝DB ＝，所以在△DMO中，由余弦定
1 1 1
理，得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1
方法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间
1
直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0,0)，A(1,0,0)，D(0,0，)，B(1,1，)，所以AD1
1 1
＝ ( － 1,0 ， ) ， DB1 ＝ (1,1 ， ) ，则由向量夹角公式，得 cos 〈 AD1 ， DB1 〉＝＝ ＝
向量法求异面直线所成的角，属于傻瓜做法，不必思考几何法中的特殊位置关系，而只专
注于数量关系的计算．
，即异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.故选C.
1 1
1．定义法求异面直线所成角的步骤
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角．异面直线所成的角特指之间的
角．
(3)寻找：寻找或作出含有此角的三角形，并解三角形．
(4)取舍：当所求的角为钝角时，应取它的补角．
2．异面直线所成角的向量求法公式
设异面直线a，b所成角为θ，则cos θ＝，其中，a，b分别是直线a，b的方向向量.
对点练 3如图，在圆锥 SO中， AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且
AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
解析： 如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面
直线SC与OE所成的角．∵SE＝SB，∴SE＝BE.又OB＝3，∴OF＝OB＝1.∵SO⊥OC，SO
＝OC＝3，∴SC＝3.∵SO⊥OF，∴SF＝＝.∵OC⊥OF，∴CF＝.∴在等腰三角形SCF中，tan∠CSF＝＝.故选D.
答案：D
