文档内容
第 01 讲 三角函数概念与诱导公式
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别....................................................................................2
题型二：等分角的象限问题................................................................................................................3
题型三：弧长与扇形面积公式的计算................................................................................................5
题型四：割圆术问题............................................................................................................................6
题型五：三角函数的定义....................................................................................................................8
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值....................................................................................9
题型七：弦切互化求值......................................................................................................................10
题型八：诱导求值与变形..................................................................................................................13
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用..........................................................14
02 重难创新练....................................................................................................................................16
03 真题实战练....................................................................................................................................25题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
1．与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为与 角终边相同的角是 ， ，
所以当 时，与 角终边相同的角是 ，D选项符合，其他选项不满足 .
故选：D
2．集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，此时 表示的范围与 表示的范围一样；
当 时， ，此时 表示的范围与 表示的范
围一样，
故选：C．
3．与 终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与 终边相同的角可以写成 的形式，
时， ，315°换算成弧度制为 ，所以C错误，D正确．
故选：D．
4．把 表示成 的形式，则θ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，
故选：B．
题型二：等分角的象限问题
5．如果角 的终边在第三象限，则 的终边一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】∵α为第三象限角，∴ ，
∴ ，
令 ， ，时， ， ，
可得 的终边在第一象限；
令 ， 时， ， ，
可得 的终边在第三象限，
令 ， 时， ， ，∴可得 的终边在第四象限，
故选:B．
6．若角 是第二象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】由题意可知 ，
当 为偶数时， 终边为第一象限角平分线， 终边为纵轴正半轴，
当 为奇数时， 终边为第三象限角平分线， 终边为纵轴负半轴，
即 的终边落在直线 及 轴之间，即第一或第三象限.
故选：C.
7．已知θ为第二象限角，若 ，则 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为θ为第二象限角，
所以 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
因为 ，
所以 ，所以 在第三象限，
故选:C
8．若 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
【答案】D【解析】由题意知， ， ，
则 ，所以 ， ．
当k为偶数时， 为第四象限角；当k为奇数时， 为第二象限角．
所以 是第二或第四象限角.
故选：D.
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
9．已知一个扇形圆心角 ， 所对的弧长 ，则该扇形面积为 ．
【答案】
【解析】因为扇形圆心角 ，且 所对的弧长 ，
设扇形所在圆的半径为 ，可得 ，解得 ，
所以扇形的面积为 .
故答案为： .
10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为 且半径为1的扇形，则该圆锥的
侧面积为 ．
【答案】 /
【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，
所以侧面积 .
故答案为： .
11．已知扇形的周长为 ，则这个扇形的面积为 ，则该扇形圆心角的弧度数为 ．
【答案】 或
【解析】设扇形半径为 ，
由题意可知：扇形的弧长为 ，
则扇形的面积为 ，解得 或2，可得扇形的弧长为 或3，所以该扇形圆心角的弧度数为 或 .
故答案为： 或 .
12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针 （时）转出的扇形面积是
平方厘米．
【答案】 /
【解析】时针长度是1厘米，则时针 （时）转出的扇形面积 （平方厘米）．
故答案为：
13．已知一扇形的圆心角为 ，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心
角 弧度．
【答案】 .
【解析】由题意，扇形的圆心角为 ，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20，
可得 ，即 ，
则扇形的面积 ，
当 时，扇形面积取得最大值，此时 .
故答案为： .
题型四：割圆术问题
14．刘徽（约公元225年 年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术
中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国
古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形，当 变得
很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 ，
∵这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
∴ ，.
∴故选：B.
15．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国
传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正
边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的
近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆心角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学
理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分
成 个等腰三角形（如图所示），当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运
用割圆术的思想得到 的近似值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆的半径为 ，依题意小扇形的圆心角为 ，
依题意，小扇形的面积近似等于小等腰三角形的面积，
故 ，化简得 .
故选：D
题型五：三角函数的定义
17．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 中，锐角 以 为顶点， 为始边.将 的终边绕 逆
时针旋转 后与单位圆交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
由 ， ，得 ，
所以 .
故选：D
18．已知角 终边上一点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由角 终边上一点 ，得 ，因此 ，解得 ，
所以 的值为 .故选：D
19．如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 、 从点 出发在单位圆上运动，点 按逆时针方
向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 、 两点在第4次相遇时，点 的坐标是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】相遇时间为 秒，
故 转过的角度为 ，
其对应的坐标为 ，即 .
故选：C
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值
20．如果 是第一象限角，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【解析】因为 是第一象限角，则 ， ，所以 ， ，
所以 是第一或第三象限角，则 或 ， ，故排除B、D；
又 ， ，
所以 的终边在第一、第二象限或在 轴的非负半轴上，则 ，
当 的终边在 轴的非负半轴上时， 无意义，故排除A.
故选：C
21．（2024·高三·河北·期末）“ 是第二象限角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若 是第二象限角，则 ， ，可推出 ，充分性成立；
必要性：若 ，即 与 异号，则 为第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故选：A
22．已知点 在第三象限，则角 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵点 在第三象限，∴ ，∴ 在第四象限.
故选：D.
23．（多选题）若 ，则角 的终边可能在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】BD
【解析】由题意可得： ，即 同号，
所以角 的终边可能在第一象限或第三象限.
故AC错误，BD正确.
故选：BD.
题型七：弦切互化求值
24．若 ，则 ．【答案】 /
【解析】因为 ，
所以 .
故答案为： .
25．（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】 ，
，
，故A正确B错误；
由 ，所以 ， ，
又 ，
所以 ，故C错误D正确.
故选：AD
26．（多选题）已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ，平方可得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以A正确；
又由 ，
所以 ，所以D正确；
联立方程组 ，解得 ，所以B正确；
由三角函数的基本关系式，可得 ，所以C错误.
故选：ABD
27．已知 是关于 的方程 的两个实根，则 的值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ， 是关于 的方程 的两个实根，
可得 ，平方可得 ，可得 ，
所以 .
故答案为：
28．设 ，则
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
29．（2024·吉林长春·三模）已知 ，且 ，则 ．【答案】
【解析】因为 ，
所以 .
故答案为：
题型八：诱导求值与变形
30．已知 是第三象限角，且 ，则 ， .
【答案】 /
【解析】由二倍角公式得： ，
因为 是第三象限角，所以解得 ，
再由平方关系解得： ，
所以 ， ，
所以 ，
，
故答案为： .
31．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ，
所以 .
故选：C
32．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 .
故选：C.
33．已知 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
又因 ，故 ，所以 ， ，
因此 .
故选：D.
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
34．已知 ，且 为第三象限角．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，又 为第三象限角，
所以 ，所以 ；
（2）由诱导公式化简得：
．
35．已知 角的始边与 轴非负半轴重合， 是 角终边上一点.
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
【解析】（1）由题意得 ， ；
（2） ，
.
36．已知函数
(1)化简 ；
(2)若 ，求 ､ 的值；
(3)若 ，求 的值.
【解析】（1）
（2）因为 ，所以 为第三象限角或第四象限角.当 为第三象限角时， ；
当 为第四象限角村， .
（3）因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
故 .
因此 .
1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像
砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流
派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、
栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ，如图（2），砖雕厚度为6cm，
， ， 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： ）（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
延长 与 交于点 ．由 ， ，得 ， ．
因为 所对的圆心角为直角，所以 ， ．
所以该梅花砖雕的侧面积 ，
扇环 的面积为 ，
则该梅花砖雕的表面积 ．
故选：C．
2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图
所示，其中外弧长与内弧长之和为 ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为 ，且该扇环的圆心角
的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，设弧 的长为 ，弧 的长为 .
因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，
所以 ， ，
即 ， .
因为 ，所以 .
又因为 ，联立可得 ，
解得 ，所以该扇环的内弧长为 .
故选：A
3．已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为 ， 为圆心，如下图，
取 的中点 ，连接 ，则 ，则 ，
则扇形的半径 ，所以扇形的弧长 ，
.
故选：D.
4．（2024·山东济南·二模）质点 和 在以坐标原点 为圆心，半径为1的圆 上逆时针作匀速圆周运动，
同时出发. 的角速度大小为 ，起点为圆 与 轴正半轴的交点； 的角速度大小为 ，起点
为圆 与射线 的交点.则当 与 第2024次重合时， 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设两质点重合时，所用时间为 ，则重合点坐标为 ，
由题意可知，两质点起始点相差角度为 ，
则 ，解得 ，
若 ，则 ，则重合点坐标为 ，
若 ，则 ，则重合点坐标为 ，即 ，若 ，则 ，则重合点坐标为 ，即 ，
当 与 第2024次重合时， ，则 ，
则重合点坐标为 ，即 .
故选：B.
5．（2024·山东济南·三模）若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
6．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重
合，终边与单位圆交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得 ，
所以 .
故选：B.
7．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）一般地，任意给定一个角 ，它的终边 与单位圆的交点 的坐标，
无论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的，所以点 的横坐标 、纵坐标 都是角 的函数.下面给
出这些函数的定义：
①把点 的纵坐标 叫作 的正弦函数，记作 ，即 ；②把点 的横坐标 叫作 的余弦函数，记作 ，即 ；
③把点 的纵坐标 的倒数叫作 的余割，记作 ，即 ；
④把点 的横坐标 的倒数叫作 的正割，记作 ，即 .
下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时，
C．函数 的定义域为
D．当 且 时，
【答案】ABD
【解析】选项A： ，故A正确.
选项B：当 时， 成立，故B正确.
选项C：函数 的定义域为 ，故C错误.
选项D：当 且 时，
，成立，当且仅当
时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
8．（2024·北京·三模）“ 为锐角三角形”是“ ， ， ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：
因为 为锐角三角形，
所以 ，即 ，所以 ，
同理可得 ， ，
故充分性得证；
必要性：
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，所以 ，
综上， ，
同理 ，
所以 为锐角三角形，
必要性得证，
综上所述，为充分必要条件.
故选：C.
9．（多选题）（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角 的终边过点 ，则角 的集合是
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的半径是
【答案】ABC
【解析】因为角 的终边过点 ，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知 ，所以角 的终边与 终边相同，
所以角 的集合是 ，故A选项正确；因为 ，所以B选项正确；
因为 ，所以C选项正确；
设扇形的半径为 ，圆心角为 ，因为扇形所对的弧长为 ，
所以扇形周长为 ，故 ，所以D选项不正确．
故选：ABC
10．（多选题）（2024·高三·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系 中，若角 的顶点为坐标原点，
始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】BD
【解析】由题意 ，所以 或 ，
所以 .
故选：BD.
11．（多选题）（2024·吉林长春·一模）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由 得， ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，
对于A， ，故A错误；对于B， ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，则 ，
，即 ，
解得 或 （舍去），故C正确；
对于D， ，故D错误，
故选：BC．
12．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 ，则
【答案】 /0.8
【解析】由 所以
故答案为： .
13．已知 ， ，则 .
【答案】 /
【解析】由 可得 ，故 ，
又 ，解得 或 ，
由于 ， ，故 ，
又 ，故 ，因此 ，
故 ，
故答案为：
14．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知 ，则 ．【答案】 /
【解析】将 两边平方，得 ，即 ，因为
，所以 ，所以 ，故 ．
故答案为： .
15．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知 、 是方程 的两个实数根.
(1)求实数 的值；
(2)求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【解析】（1）因为 、 是方程 的两个实数根，
由韦达定理得 ，
由 ，
则 ，
所以 ；
（2）
；
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ， ， ，
所以 .
16．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求 的值；
（2）若 ，且角 终边经过点 ，求 的值
【解析】（1）∵ ，∴ ，
即 ，
∴
（2）由（1）得，
又 ， ，
，
又 角 终边经过点 ，1．（2021年全国新高考I卷数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
2．（2015年山东省春季高考数学真题）终边在 轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】终边在 轴正半轴上的角的集合是
故选：A
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当 时， ，选项B错误；当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））若 ，且 为第四象限角，
则 的值等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵sina= ,且a为第四象限角,
∴ ，
则 ，
故选D.
5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版））已知 ，则
．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
所以选A.
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），所以 .
故答案为： .
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）若 ，则 ，
．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .
8．（2021年北京市高考数学试题）若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一
个取值为 ．
【答案】 （满足 即可）【解析】 与 关于 轴对称，
即 关于 轴对称，
，
则 ，
当 时，可取 的一个值为 .
故答案为： （满足 即可）.
9．（2020年浙江省高考数学试卷）已知圆锥的侧面积（单位： ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个
半圆，则这个圆锥的底面半径（单位： ）是 ．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 .
故答案为：
