文档文本内容
平面向量的数量积
4-3
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
4-3 平面向量的数量积............................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：向量的夹角.......................................................2
考点2：平面向量的数量积.................................................2
考点3：平面向量数量积的几何意义.........................................2
考点4：向量数量积的运算律...............................................2
考点5：平面向量数量积的有关结论.........................................2
【重要结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 平面向量数量积的基本运算..........................................4
题型二 平面向量数量积的应用..............................................7
命题点1 向量的模....................................................7
命题点2 向量的夹角..................................................9
命题点3 向量的垂直.................................................11
题型三 平面向量的实际应用...............................................15
三、分层训练：课堂知识巩固.................................................21一、主干知识
考点1：向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与
b的夹角．
考点2：平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
考点3：平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点
A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量
1 1
b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
考点4：向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
考点5：平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝xx ＋ yy
1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) xy － xy ＝ 0
1 2 2 1
|a·b|≤|a||b|
|a·b|与|a||b|的关系 |xx＋yy|≤
1 2 1 2
(当且仅当a∥b时等号成立)【重要结论总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.二、分类题型
题型一 平面向量数量积的基本运算
【例题精析1】 已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】因为向量 在向量 上的投影向量是 ，所以 ,
因此 .故选：A.
【例题精析2】 已知向量 ，则 在向量 上投影的数量为___________.
【解答】 在 向量上投影数量为 ，故答案为：
【例题精析3】 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量是___________.
【解答】因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以向量 在 方向上的投影向量是 .故答案为： .计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【对点精练1】 在 中，已知 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，点 是 边上靠近
的三等分点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【解答】
根据投影向量的计算公式，向量 在向量 上的投影向量为 ，
由题意， ，于是 ，即 .
又 ，
∴ ．故选：C
【对点精练2】 在 中， ，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．12【解答】如图所示，
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 .
故选：C.
【对点精练3】 已知 ， ， ，则 在 方向上的投影为___________.
【解答】设 ， 的夹角为 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，故 在 方向上的投影为 ·
故答案为：
【对点精练4】 已知向量 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为______．
【解答】向量 ， ，由 ，得 ，所以 ，
所以 在 方向上的投影为 ．故答案为： .
【对点精练5】 设非零向量 满足 ，则 的最大值为_________.
【解答】方法一：设 ，
由 得 ， ，
则 ，即 ，故 ，
则 ，当 时等号成立.
故答案为：6.
方法二：由 得 ，又 ，得 ①.
由 得 ,即 可得 ②，
由①②消去 得 .
所以 .
而 ，
所以 ， .
故答案为：6.
【对点精练6】 已知 为单位向量，向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则实数 的值为
______．
【解答】因为向量 在 上的投影向量为 ，所以 ，
又 为单位向量，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 ，故答案为： .题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
【例题精析4】 已知 ， 是非零向量， ， ，向量 在向量 方向上的投影为 ，则
________.
【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
∵向量 在向量 方向上的投影为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2
【例题精析5】 已知 为单位向量，且满足 ，则 ______.
【解答】 为单位向量，且满足 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
【例题精析6】 若 ， 是两个互相垂直的单位向量，且向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案均不对
【解答】根据 垂直可得 ，不妨取 ，设 ，
于是 ， ，并取 ，注意到 .
于是 .故 点在线段 上运动，由直线的截距式方程可得，
直线 方程为： ，即 ，设 ， ，则 ，
，故 ，设 ，
，则 ；由 ， ，于是 时， ，于是
.
故选：A命题点2 向量的夹角
【例题精析7】 若平面向量 与 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解答】设向量 与 的夹角为 ，则 ，解得 ，
因为 ，∴ .故选：C
【例题精析8】 向量 ， ，若 、 的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】因为 、 的夹角为钝角，则 且 、 不共线，所以， ，解得 且 ，
因此，实数 的取值范围是 .故选：C.
【例题精析9】 已知向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则 ＝______．
【解答】 ，
所以 ， ，
以向量 的起点为原点，向量 的方向为 轴正方向，建立如图所示的坐标系，
不妨设 ，则 ， ，设
∵ ，
所以 或 ，
或 ，
则 或 ，
故答案为： ．
命题点3 向量的垂直
【例题精析10】 已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，即 ，
将 和 代入，得出 ，所以 .故选:D.
【例题精析11】 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．12
【解答】因为 ， ，所以 ，得 ，则 ，
所以 ，故 .故选：C.
【例题精析12】 向量 ，且 ，则实数 _________．
【解答】因为向量 ，所以 ，又 ，
所以 ，得 ，解得 ．故答案为： .
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出
所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
【对点精练7】 已知向量 ， ，若 ，则实数 等于___________．【解答】因为向量 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ．故答案为：7.
【对点精练8】 已知向量 ， ， ，若 ，则 ______．
【解答】因为 ， ，所以 ，解得 ，
则 ， ．故答案为：9.
【对点精练9】 已知平面向量 满足 ,且 ，则 =____________ ．
【解答】由 ,得 ,
所以 .
故答案为：
【对点精练10】 已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ，则 ，且 ，则 ，
所以 ，即 ，则 ，又因为 ，
即 ，设 与 的夹角为 ，则 ，即 ，
且 ，则 ，所以 ，则 与 的夹角可以为 ， .故选：AB
【对点精练11】 若向量 满足 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．1 B．-1 C． D．【解答】 ，故 在 方向上的投影 .故选：D.
题型三 平面向量的实际应用
【例题精析13】 在矩形 中， .若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则
,设 ，
故所以 其中 ，
由于 ，所以 ，
故选：B
【例题精析14】 如图，在四边形 中，若 ，则四边形 一定是（ ）
A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．矩形
【解答】依题意，
因为在四边形 中， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以 ，
所以 ，四边形 的对角线互相垂直，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，
四边形 一定是菱形.
故选：A.
【例题精析15】 在 ABC中，D为 ABC所在平面内一点，且 ，则 等于（ ）
△ △A． B． C． D．
【解答】如图，因为 ，过D分别作 的平行线交 于 ，
则 为 的中点， 为 的靠近A的三等分点，
则 ， ，
所以 ，∴ .
故选：B.
【例题精析16】 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回
纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六
边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则 的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【解答】如图以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 的垂直平分线所在直线为 轴，建立平面直角坐
标系，设点 ，由题意知， ， ，则 ， ，
所以 ，当 ，即 时 取最小值 ，
故选：D.
【例题精析17】 ，若 与 不成锐角，则t的取值范围为__________．
【解答】由题意， ，因为 与 不成锐角，故夹角为0或者为直角、
钝角和平角.
当夹角为0时， 与 同向，故 ，故 ，解得 ；
当夹角为直角、钝角或平角时， ，即 ，解得 ；
故t的取值范围为
故答案为：
用向量方法解决实际问题的步骤【对点精练12】 圆 为锐角 的外接圆， ，点 在圆 上，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】由 为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又 ，而 ，若外接圆半径为r，
则 ，故 ，且 ，即 ，
由 ，
对于 且 在圆 上，当 为直径时 ，当 重合时 ，
所以 ，
综上， ，
锐角三角形中 ，则 ，即 恒成立，
所以 ，则 恒成立，
综上， .
故选: C
【对点精练13】 如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和 外切也形成一个8字形状，若 ， 为圆M上两点，
B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则 的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【解答】根据题意可得 ，解得 ， ，故圆M的方程为 ．
，
画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，
最大．
直线 的斜率为1，设l的方程为 ，由圆心 到直线l的距离为 ，
解得 或 （舍去）．故l的方程为 ，其与直线PA： 的交点坐标为 ，
所以 ，所以 ，
即 的最大值为 ．
故选：C
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解
等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
【对点精练14】 如图，在等边三角形ABC中， ，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的
一个动点，则 的最大值为___________.
【解答】以AB中点为原点， 边所在的直线为 轴， 边的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，则
， ， ，AC中点 .
设 ，则 ，
.
∵ 在直线 上，∴ ，∴ ，
∵ ，∴当 时， 的最大值为3.
故答案为：3.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•安徽模拟）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
A．3 B．15 C． 或15 D．3或15
【解答】解：因为向量 ，所以 ，
又 ，
解得： 或 ，即 或 ，
所以当 时， ；
当 时， ，故 或15．
故选： ．
2．（2023•全国一模）若向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则
A．2 B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， 与 的夹角为 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
3．（2023•朝阳区校级模拟）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
对于选项 ， ，故 选项错误；
对于选项 ， ，故 选项错误；
对于选项 ，因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故 选项正确；对于选项 ，因为 ， ，
所以 ，故 选项错误．
故选： ．
4．（2023•淄博二模）已知向量 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量为
A． B． C． D．
【解答】解： 向量 ，且 ，
，
向量 在向量 上的投影向量为：
，
故选： ．
5．（2023•大同二模）已知 ， ， 与 的夹角为 ，则
A．2 B． C． D．4
【解答】解： ， ， 与 的夹角为 ，
，
．
故选： ．
6．（2023•湖南模拟）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
A．1 B． C． D．【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选： ．
7．（2023•石家庄二模）已知非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，可得 ，
所以 在 方向上的投影向量为 ．
故选： ．
8．（2023•新乡二模）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一
张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形 的边长
为2，点 在四段圆弧上运动，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：以 、 所在直线分别为 、 轴，建系如图，设点 ，易知以 为直径的左半圆的方程为：
，
以 为直径的右半圆的方程为：
，
点 的横坐标 的取值范围是 ， ，
又 ， ，
．
故选： ．
9．（2023•阿勒泰地区一模）在 中， ， ， ， ，若 ，
则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，则 ， ， ，
， ， 即 ， 即
，解得 ，即 ．
故选： ．
10．（2023•惠州校级模拟）已知非零向量 ， 满足 ，且向量 在向量 方向的投影向
量是 ，则向量 与 的夹角是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，即 ，
向量 在向量 方向的投影向量是 ，
则向量 在向量 方向的投影向量 ，
，即 ，且 ，则 ，即向量 与 的夹角是 ．
故选： ．
11．（2023•贵州模拟）在平行四边形 中， ， ， ， ，则A．2 B． C．4 D．
【解答】解：如图，
， ， ，
，
．
故选： ．
12．（2023•大理州模拟）若平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 等于
A． B． C．4 D．12
【解答】解：因为平面向量 与 的夹角为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故选： ．
13．（2023•广东模拟）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩
陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹
以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播
范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图 2是图
1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如 为等腰直角三角形，点 为圆心，中间部分是
正方形且边长为2，定点 ， 所在位置如图所示，则 的值为A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：连接 ，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，
由题意可得图中各个三角形都为等腰直角三角形，
所以 ， ， ， ，
则
．
故选： ．
14．（2023•定远县校级模拟）在 中，点 在边 上，且 ， ，记
中点分别为 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示： ，， ，
，
，
，
，
，
， ，
又 ，且 ， 分别为 ， 的中点，
，
，
，
， ，
又 ， ， ，
，
故选： ．
15．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为A． B． C． D．
【解答】解：依题意， ， ，故 在 方向上的投影向量的坐标为
，
故选： ．
1．（2023•开福区校级模拟）已知菱形 的边长为1， ， 是菱形 内一点，若
，则
A． B．1 C． D．2
【解答】解：菱形 中， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ；
又因为 ，
所以 是正 的重心，
延长 交 于点 ，
所以 ．
故选： ．2．（2023•沙市区校级模拟）已知点 ， ， 分别为直线 ， ， ， 上的
动点，若 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设 ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值为 ．
故选： ．
3．（2023•日照一模）已知正六边形 的边长为2， 是正六边形 边上任意一点，则
的最大值为
A．13 B．12 C．8 D．
【解答】解：如图建立直角坐标系：
由题意知 ， ，设 ，则 ， ，
所以 ．表示的是以 点为圆心的圆的半径的平方，即 ，
由图象知， 为正六边形边上任意一点，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 的最大值为12．
故选： ．
4．（2023•河北区二模）在 中，角 ， 的对边长分别为 ， ，点 为 的外心，若
，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由已知得 ，所以 ，
因为 为 的外心，则
， ，
故 时， 取最小值为 ， 时取得上界为2，
故 的取值范围是 ．
故选： ．
5．（2023•辽宁三模） 是边长为2的等边三角形，已知向量 ， ，满足 ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：因为向量 ， ，满足 ， ，
并且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ； ；
故 错误；
故选： ．
6．（2023•顺庆区校级模拟）已知 ， ，若 ， ，则
A．1 B． C． D．
【解答】解： ，
，
故选： ．
二．填空题（共6小题）
7．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量 满足 ，则 的取值范围
是 ．【解答】解：不妨设 ，则 ，
由 ，可得 ，
则 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
8．（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量 ， ， ，满足 ， ， 且
，若对每一个确定的向量 ，记 的最小值为 ，则当 变化时，实数 的最大值为 ．
【解答】解：由题意设 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，且 ， ．
因为 ，所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以关于 的二次函数开口向上，
当 时， 取得最小值，所以 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 的最大为 ，即 ，所以 的最大值为 ．
故答案为： ．
9．（2023•天津二模）在 中， ，角 为锐角，且向量 在向量 上的投影向量的模是
3，则 ；若 ，则函数 的最小值为 ．
【解答】解： 中， ，角 为锐角，且向量 在向量 上的投影向量的模是
，所以 ，所以 ；
设 ， ， ， ；
若 ，则函数 ，如图所示：
作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，当点 在 上时取“
”，
又 ，所以 ，所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
10．（2023•滨海新区模拟）平面四边形 中， ， ， ， ， ，
点 在线段 上，点 在线段 上，且 ， ， ，则 的最小值为
．【解答】解：以 为原点，以 为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ．
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
11．（2023•虹口区二模）已知平面向量 ， ， ， 满足 ， ， ， ，且
对任意的实数 ，均有 ，则 的最小值为 ．
【解答】解：作 ， ，以 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示；因为 ， ， ，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
作 ，设点 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以点 在以 为圆心，以1为半径的圆上；
因为对任意的实数 ，均有 ，所以 ，又 ，
所以 恒成立，所以 ，
所以 ，即 ，作 ，设点 ，则 ，即 ，
所以点 在直线 上；
因为 ，且点 在圆 上，点 在直线 上，
所以点 到点 的最小距离是圆心 到最新的距离减去圆的半径，
即 ，当且仅当点 为线段 与圆的交点时“ ”成立；
因为点 到直线 的距离为 ，
所以点 到点 的距离大于或等于 ，即 ，
所以 ，当且仅当 垂直于直线 ，且点 为线段 与圆的交点时“
”成立；
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．12．（2023•宝鸡二模）已知非零向量 ， ， 满足 且 ，则 的取值范围
是 ．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，，
即 ，当且仅当 与 同向时取“ ”；
又因为 ，即 ，
所以 ，当且仅当 与 反向时取“ ”，
所以 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
