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7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 平行问题
【例1-1】（2022·广东珠海）如图，在三棱柱 中，点 是 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析；
【解析】连接 交 于 ，连接 ，由 为三棱柱，则 为平行四边形，所以 是
中点，又 是 的中点，故在△ 中 ， 面 ， 面 ，所以 平
面 .【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，
求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，取 的中点 ，连接 ，
，如图，则 且 ，又 且 ，所以 且 ，所以四
边形 是平行四边形，所以 ．因为 平面 ， 平面 ，所以 平
面 ；【例1-3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中
， ， ，且 ．点 在棱 上，点 为 中点，证明：若 ，
则直线 平面
【答案】证明见解析
【解析】在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
， ， ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 ，平面 ， 平面 .
【例1-4】（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体 中， ， ，点 是 的中点，
，且直线 面 ，直线 直线
【答案】证明见解析
【解析】 直线 平面 ， ，平面 平面 ， ．
【例1-5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ，
， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，取 中点 ，连 ， ，∵ 为中位线，∴ ，又 平面 ，平面 ，∴ 平面 ，同理，在梯形 中， ，又 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，且 平面 ， 平面 ， ，∴平面 平
面 ，又 平面 ，所以 平面 ．
【例1-6】（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，
满足 ， ，现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， ，得
到如图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：在 中， ，
所以 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，所以 ，所以 ，
同理可得，在 中， ，且 ，
在 中， ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中， ，
在 中， ，则 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 ；
【一隅三反】
1．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：
平面EAC
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以
.又因为 面EAC， 面EAC，所以 平面EAC；
2．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱 中，E为 中点，F为 中点，求证： 平面【答案】证明见解析
【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为 中点,故 ,又 ,F
为 中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为 平面 ，
平面 ,故 平面 ；
3（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱 中， ， ，点
， 分别在 和 上，且满足 ， ，证明： 平面
【答案】见解析【解析】过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
由题意得 ，
故 ， ，而 平面 ， 平面 ，
平面 ，同理得 平面 ，
而 ， 平面 平面 ，
平面
4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥 的底面 是直角梯形，
， 底面 ，过 的平面交 于 ，交 于 （ 与
不重合）.求证： ；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ，
平面 .又 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
5．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱 中M，N，P，D分别为 ，BC， ，
的中点，求证： 面
【答案】证明见解析
【解析】∵P，D分别为 ， 的中点，
∴ ，且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵D，N分别为 ，BC的中点，
∴ ，且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 ，∴平面 平面 ，
又∵ 平面PDN，∴ 平面 .
6.（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰
长为 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证： 平面
ECD
【答案】证明见解析
【解析】证明：取CD的中点G，连接EG
∵△CDE为腰长为 的等腰三角形，∴
又∵平面CDE⊥平面BCD， 平面ECD，平面 平面 ,
∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴
又∵ 平面ECD， 平面CDE，∴ 平面CDE
考点二 空间几何中的垂直问题
【例2-1】（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是的中点，G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的
射影为点G．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】连接 ，因 是等边三角形， 是 的中点， 是 的重心，所以 在 上，
，
又点 在平面 的射影为点 ，即 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面
ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点， .证明：
(1) 平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴ ， .
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴ ，
∵ 平面PDC， 平面PDC.
∴ 平面PDC.
(2)∵ 四边形ABCD为正方形，∴ .
又平面ABCD⊥平面PAB，平面 平面 ， 平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵ 平面PAB，∴ .
连接AF，∵ ，F为PB中点，∴ .
又 ，AD， 平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
【例2-3】（2022·四川成都）如图，三棱锥 中，等边三角形 的重心为O， ，， ，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.
(1)求证： 平面DEF；
(2)求证：平面 平面PBC.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接PE，因为 为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且 ，
因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 平面DEF， 平面DEF，所以 平面DEF
(2)连接AE、BD，如图所示因为 为等边三角形，E为BC中点，
所以 ，
因为 ， ，E为BC中点，
所以 ，
因为 平面PAE，
所以 平面PAE，
因为 平面PAE，
所以 ，
在 中， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
在 中， ， ，
所以 ，
在 中， ， ，所以 ，即 ，
因为 平面PBC，
所以 平面PBC，
因为 平面DEF，
所以平面 平面PBC
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且平面 底面
， ， ＝ ＝ ，证明：
【答案】证明见解析
【解析】证明：取 的中点 ，连 ， ，
∵ 为等边三角形，且 是边 的中点，
∴ ，
∵平面 底面 ，且它们的交线为 ，
∴ 平面 ，则 ，
∵ ，且
∴ 平面 ，
∴ ；
2．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形 中， ， ， ，并将直角梯形
绕AB边旋转至ABEF．(1)求证：直线 平面ADF；
(2)求证：直线 平面ADF；
(3)当平面 平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面
ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明：在直角梯形 中， ， ，将直角梯形 绕 边旋转至 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ；
(2)证明：依题意可得 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
(3)证明：因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
过点 作 ，交 于点 ，若选①， ， ，所以 ，
所以 ，此时 ，
所以
如图过点 作 交 的延长线于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，显然平面 与平面 不垂直；
若选②： ，则 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
若选③： ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
3．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面
ABC所成角的正切值为 ．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证： 平面ABC；
(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的
中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）在正方形 中， ，因平面ABED⊥平面ABC，平面 平面 ， 平面
，则 平面 ，即 是 与平面 所成的角，有 ，解得 ，
即有 ，则 ，即 ，而 ，则有 平面 ，又
平面 ，于是得 ，因 ， 平面 ，则 平面 ，
平面 ，所以平面 平面 .考点三 空间几何中的定理辨析
【例3-1】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设 表示两条不同的直线， 表示平面，
且 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.
所以由“ ”可得“ ”，充分性成立；
反之亦成立.所以“ ”是“ ”成立的充要条件.
故选：A
【例3-2】（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体 ， 分别是
， 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A B C D
A． B． C． 平面 1 1 1 1 D． 平面
【答案】AC
【解析】连接 ，如图：由正方体可知 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故A 正确，B错误；
由题意知 为 的中位线，所以 ，
又 ,所以
A B C D A B C D A B C D
又 平面 1 1 1 1， 平面 1 1 1 1，所以 平面 1 1 1 1，故C正确；
若 平面 ，BD 在平面BDD B 中，则 ，进而 ，
1 1 1
在 中易知 与 不垂直，故D错误；故选：AC
【一隅三反】
1．（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的
是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则【答案】C
【解析】对于A，因 ， ，当 时，而 ，则 ，
当 时，在直线 上取点 ，过 作直线 ，则 ，过直线 的平面 ，如图，
由 得 ，于是得 ，而 ，则 ，而 ，所以 ，A正确；
对于B，若 ， ，则 ，又 ，则存在过直线 的平面 ，使得 ，
则有直线 ，即有 ，所以 ，B正确；
对于C，如图，在长方体 中，平面 为平面 ，直线 为直线 ，
平面 为平面 ，直线 为直线 ，满足 ， ， ，而 ，C不正确；
对于D，若 ， ，则 ，又 ，于是得 ，D正确.
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β【答案】D
【解析】A选项，m⊥n，m⊥α，则可能 ，故A错误；
B选项， ， ，则可能 ，故B错误；
C选项， ， ，则可能 ，也可能 ，故C错误；
D选项，因为 ， ，所以 或 ，当 时，因为 ，所以由面面垂直的判定定理
知 ，当 时，存在 且 ，所以 ，所以可得 ，故D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 中， ， ，
， ，M，N分别是棱 和 的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A． 四点共面 B． 与 共面
C． 平面 D． 平面
【答案】B
【解析】连接MN，则因为，M，N分别是棱 和 的中点，
所以 ，
因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 ，
所以 四点共面，A说法正确；
因为 ， ， ，
所以 平面 ，C正确；
连接 ，因为 ， ，
所以 是等边三角形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ，D说法正确；
若 与 共面，则 共面，故 在平面 中，
这与题设矛盾，B说法错误
故选：B
