文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 34 练 空间直线、平面的垂直（精练）
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱 中， 平面 ．
(1)证明：平面 平面 ；
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．(1)证明： ；
4．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为AC的
中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
7．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．
(1)证明：平面 平面 ；
8．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；9．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，
F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
10．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的
中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
11．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为
的中点.（1）证明： ；
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（ ）
A．α⊥β，m⊂β B．α∥β，n⊥β
C．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m
2．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
3．已知直线 平面 ，有以下几个判断：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ；上述判断中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
4．已知直线 、 ，平面 、 ，满足 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要
5．设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
6．已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A． ，则
B． ，则
C． ，则
D． ，则
7．已知l是直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
8． 表示平面， 为直线，下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设 ， 为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则 ； B．若 且 ，则 ；C．若 且 ，则 ； D．若 且 ，则 .
10．已知直线l和不重合的两个平面 ， ，且 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．设有三条不重合直线a，b，c和三个不重合平面 ，则下列命题中正确的有（ ）
A．若 ， 则 B．若 ， ，则
C．若 ， 则 D．若 ， 则
12．已知空间中两个不同的平面 ，两条不同的直线 满足 ，则以下结论正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 相交，则 相交 D．若 ，则
13．设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
14．已知直线 、 ，平面 、 ，给出下列命题，其中正确的命題是（ ）
A．若 ， ，且 ，则B．若 ， ，则
C．若 ， ，且 ，则
D．若 ， ，且 ，则
三、填空题
15．已知平面 ， 和直线m，给出条件：① ；② ；③ ；④ ．当满足条件
时，有 ．（选填其中的两个条件）
16．已知 表示两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ ”的 条
件
17．已知 是两个不同的平面， 是平面 及 之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：
① ；② ；③ ；④ .
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示）
18．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内两条相交直线，则 ；
②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；
③若 ， 且 ，则 ；
④若 且 ，则 ；
⑤若 ， 且 ，则 ．
其中正确命题的序号是 ．
四、解答题
19．已知正方体ABCD- 的棱长为2.(1)求三棱锥 的体积；
(2)证明： .
20．如图，在三棱锥P－ABC中， 底面ABC， ，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证： 平面PAC；
(2)求证：
21．如图，长方体 中，底面 是正方形．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ．
22．所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体A—BCD中，求证：AB⊥CD.23．如图,在三棱锥 中, ,D,E分别是 的中点．
(1)求证： 平面 ;
(2)求证： 平面 ．
24．如图所示，在四棱锥 中，底面 为平行四边形 ， ， 为 中
点， 平面 ， ， 为 中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 .25．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 分别为 的中点．求证：
(1) 平面 ；
(2)平面 平面
26．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)设 为 上一点，且 ，求点 到平面 的距离．
27．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1) 平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．28．如图，已知三棱柱 的侧棱垂直于底面， .求证： .
29．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点.
(1)证明： ；
(2)证明： 平面 .
30．如图，在四棱锥 中， ，底面ABCD为菱形，边长为2， ， ，
且 ，异面直线PB与CD所成的角为 .
(1)求证: 平面ABCD;
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.31．如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ，
， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ．
32．如图，几何体 为直四棱柱 截去一个角所得，四边形 是菱形，
， ， ，P为 的中点.证明：平面 平面 ；
33．如图所示，在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
34．如图，在四棱柱 中， 底面 ，底面 满足 ，且
， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积.
35．如图所示，在三棱锥 中， 底面 ， ，
动点D在线段AB上.
(1)求证：平面 平面 ，；
(2)当 时，求三棱锥C－OBD的体积.
36．如图所示，在正方体 中， 为 与 的交点， 为 的中点，求证： 平面．
37．如图，在四棱台 中，平面 平面ABCD，底面 为正方形， ，
.求证： 平面 .
38．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是梯形，点 在 上，
．求证：平面 平面 .
39．如图所示，四棱锥 的底面 是边长为1的菱形， ， 是 的中点，
底面 ， ．证明：平面 平面 .
40．如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知直线 和两个不重合的平面 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．设 ､ 是互不重合的平面， ､ ､ 是互不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ， ，则
B．若 ， ，则C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
3．已知直线 ， 和平面 ， ，则使平面 平面 成立的充分条件是（ ）
A． ， B． ，
C． ， ， D． ，
4．已知不重合的平面 、 、 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内的任何直线都与 平行
C． 且 D． 且
5．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
二、多选题
6． ， ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，下面条件中能证明 的是（ ）
A． ， ， ， ，
B． ， ，
C． ，
D． ，7．在空间中，设 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
三、填空题
8．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面.下列正确命题的序号是 .
①若 ， ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ， ，则 ④若 ， ， ，则
9．设 是一条直线， 是不同的平面，则在下列命题中，假命题是 ．
①如果 ，那么 内一定存在直线平行于
②如果 不垂直于 ，那么 内一定不存在直线垂直于
③如果 ，那么
④如果 ， 与 都相交，那么l与 所成的角互余
四、解答题
10．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为垂足.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点，求四面体 的体积.11．如图所示的几何体中，四边形 为正方形， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，平面 平面 .若 为 中点，求证： .
12．已知矩形 中， ， 的中点为 ，将 绕着 折起，折起后点 记作 点
（不在平面 内），连接 、 得到几何体 ， 为直角三角形.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值.
13．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，E是 的中点，已知
， ．
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ．
14．如图，四棱锥 ， 平面ABCD， 为等边三角形， ，B，D位于AC的异侧，
.(1)若 ，求证：平面 平面PBD；
(2)若直线 平面PAD，求四棱锥 的体积.
15．如图，几何体 中， 为等腰梯形， 为矩形，
，平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
16．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ，
， 为 的中点.
(1)证明： .
(2)求点 到平面 的距离.
17．如图，圆锥SO，S为顶点， 是底面的圆心， 为底面直径， ，圆锥高 点P在高SO上， 是圆锥SO底面的内接正三角形.
(1)若 ，证明: 平面
(2)点P在高SO上的动点，当 和平面 所成角的正弦值最大时，求三棱锥 的体积.
18．如图，已知四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ， ， 是
的中点．
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
19．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面
分别是 中点，点 在棱 上移动.
(1)证明：无论点 在 上如何移动，都有平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.20．如图，直三棱柱 中，点 是 上一点.
(1)若点 是 的中点，求证 ∥平面 ；
(2)若平面 平面 ，求证 .
21．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， 分别是线段 的
中点， 在平面 内的射影为 .
求证： 平面 .
22．已知在直三棱柱 中，其中 为 的中点，点 是 上靠近
的四等分点， 与底面 所成角的余弦值为 ．求证：平面 平面 .
23．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点E在底面圆周上， ，F为垂足．
(1)求证： ．
(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求点B到平面CDE的距离．
24．如图，在正三棱柱 中， ，点 在 上，且 ， 为 中点，证
明：
(1) 平面 ；(2)平面 平面 .
25．如图所示，在正方体 中．求证：（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给
分）
(1)直线 平面 ；
(2)平面 平面 ．
26．如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ， 且
，二面角 是直二面角．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 .27．如图所示，在四棱锥 中底面ABCD是边长为2的菱形， ，面 面 ，
．
(1)证明： ；
(2)求点A到平面PBC的距离．
28．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.
29．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为菱形，平面 底面 ，且 ，
，E为CD的中点，F为AD的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.30．图1是直角梯形 ， ， ， ， ， ， ，以 为
折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图2．
(1)证明：平面 平面
(2)求点 到平面 的距离；
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 为 的中点，且 为正
三角形．
（ ）求证： 平面 ．
（ ）若 ， ，求点 到平面 的距离．
2．如图， 是半球的直径， 为球心， ， ， 依次是半圆上的两个三等分点， 是半球面上
一点，且 .(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在底面圆内的射影恰在 上，求点 到平面 的距离.
3．如图，在几何体ABCDE中， 面 ， ， ， ．
(1)求证：平面 平面DAE；
(2)AB=1， ， ，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
4．如图，四棱锥 中， 为矩形， ，且 ． 为
上一点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2) 分别在线段 上的点，是否存在 ，使 且 ，若存在，确定
的位置；若不存在，说明理由．5．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面 平面ABCD， ， ， ，
， ，E，H分别是棱AD，PB的中点.
(1)证明： 平面PCE；
(2)若 ，求点P到平面 的距离.
6．如图， 平面 ，底面 为矩形， 于 ， 于
（1）求证： 面 ；
（2）设平面 交 于 ，求证： .
7．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，点 在底面 内的投影恰为 中点，且
．(1)若 ，求证： 面 ；
(2)若平面 与平面 所成的锐二面角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8．如图所示，在三棱柱 中， 为正方形， 是菱形， ，平面
平面 ．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
9．如图，把以 为底边的等腰 绕着它的一条腰 旋转到 的位置，使得 为正三角
形，且 ， ， 、 为线段 、 上的点，且 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
10．如图甲，在矩形 中， 为线段 的中点， 沿直线 折起，使得
，如图乙.
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的角为 ？若不存在，说明理由；若存在，
求出 点的位置.
11．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ，
点在 上，且 .(1)已知点 在 上，且 ，求证：平面 平面 .
(2)求点 到平面 的距离.
12．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， = ，底面 是平行四边形，
= ， =1， =2， ， 分别为线段 ， 的中点
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求 .
13．如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ，且 ，侧面 为等边三角形，
侧面 为等腰直角三角形，且角 为直角，且平面 平面 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；（Ⅱ）求平面 和平面 所成二面角（锐角）的大小.
14．在三棱柱 中，已知 ， ， 的中点为 ， 垂直于底面
．
（1）证明：在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，并求出 的长；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
