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球的切、接问题
5-2
5-2 球的切、接问题...............................................................................................................................................1
二、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 定义法...........................................................................................................................................1
题型二 补形法...........................................................................................................................................2
题型三 截面法...........................................................................................................................................3
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................4二、分类题型
题型一 定义法
【例题精析1】 已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在
球面上)的体积为( )
A．π B.π C．2π D.
【例题精析2】 在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使
点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为( )
A．12π B．34π
C．68π D．126π
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，
则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
【对点精练1】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．
【对点精练2】 已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，
△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
题型二 补形法【例题精析3】 在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的
表面积为( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
【例题精析4】 如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添
加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱
柱的外接球的表面积为________．
(1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去
求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．
(2)正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
【对点精练3】 已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－
ABC的外接球的表面积为( )
A.π B．14π C．56π D.π题型三 截面法
【例题精析5】 (2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝
1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A. B. C. D.
(1)与球截面有关的解题策略
①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的
距离相等且为半径；
②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
(2)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱
长)．
【对点精练4】 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
【对点精练5】 在封闭的直三棱柱ABC－ABC 内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA＝
1 1 1 1
3，则V的最大值是________．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•天心区校级模拟）数学上定义的距离都意味着最短，如平面上两点的距离定义为连接两点的线
段的长度，球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是
经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥 中， 平面
， ，且 ， ．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，则 ，两点的球面距离是
A． B． C． D．
2．（2023•邢台一模）已知圆台的上、下底面圆的半径之比为 ，侧面积为 ，在圆台的内部有一球 ，
该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球 的表面积为
A． B． C． D．
3．（2023•南平模拟）已知三棱锥 ， 为 中点， ，侧面
底面 ，则过点 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为
A． B． C． D． ，
4．（2023•柯桥区模拟）如图，平面四边形 中， ， 为正三角形，以 为折痕将
折起，使 点达到 点位置，且二面角 的余弦值为 ，当三棱锥 的体积取得
最大值，且最大值为 时，三棱锥 外接球的体积为
A． B． C． D．
5．（2023•广东模拟）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为 ，则该圆锥的表
面积的最小值为
A． B． C． D．6．（2023•红山区模拟）已知四面体 的所有顶点在球 的表面上， 平面 ， ，
， ，则球 的体积为
A． B． C． D．
7．（2023•巴林左旗校级模拟）两个边长为4的正三角形 与 ，沿公共边 折叠成 的二面
角，若点 ， ， ， 在同一球 的球面上，则球 的表面积为
A． B． C． D．
8．（2023•惠州模拟）已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ，二面
角 的大小为 ．若点 ， ， ， ， 均在球 的表面上，则该球 的表面积为
A． B． C． D．
9．（2023•武清区校级模拟）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工
艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重
合），若其中一个截面圆的周长为 ，则该球的表面积为
A． B． C． D．
10．（2023•泉州模拟）已知正四棱台的高为1，下底面边长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为
A． B． C． D．
11．（2023•辽宁模拟）如图，在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ，
，平面 截三棱柱 的外接球所得截面的面积为
A． B． C． D．
12．（2023•广州三模）已知克列尔公式：对任意四面体，其体积 和外接球半径 满足
，其中 ， ， ， ， ， ， 分别为四面体的
三组对棱的长．在四面体 中，若 ， ，则该四面体的外接球的
表面积为
A． B． C． D．
13．（2023•长沙模拟）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含
义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的
足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．
已知某鞠（球 的表面上有四个点 ， ， ， ， ， ， ， 平面 ，
则该鞠（球 的表面积为A． B． C． D．
14．（2023•盐城一模）三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一 号坑
发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有
学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状
对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为 ，圆柱底面
外圆周和正方体的各个顶点均在球 上，则球 的表面积为
A． B． C． D．
15．（2023•柳南区二模）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现
了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，
得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该多面体的棱长为 2，则其外接球的
表面积为
A． B． C． D．16．（2023•河南模拟）已知平面四边形 中， ， ，将 沿对角
线 折起，使得二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
17．（2023•遵义模拟）已知 的顶点都在球 的球面上，且 ， ，球心 到平面
的距离为2．则球 的表面积为
A． B． C． D．
18．（2023•宛城区校级三模）已知正四面体 的棱长为1，点 为底面 的中心，球 与该正
四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球 的半径为
A． B． C． D．
19．（2023•全国模拟）已知某圆台上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台的上底面半径为1，下底
面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为
A． B． C． D．
20．（2023•玉树市校级模拟）棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
21．（2023•三模拟）已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上，若 ， ，
， ，则该球的体积为
A． B． C． D．
22．（2023•泗阳县校级模拟）在三棱锥 中， 和 为等边三角形，二面角的余弦值为 ，三棱锥 的体积为 ，则三棱锥 的外接球的体积为
A． B． C． D．
23．（2023•南江县校级模拟）在三棱锥 中， 平面 ， ， ，且
，当三棱锥 的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是
A． B． C． D．
24．（2023•河西区校级模拟）在四面体 中， 平面 ， ， ， ，
，则该四面体外接球面积为
A． B． C． D．
25．（2023•聊城二模）某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为 ， ，若该模型的体积
为 ，则该模型的外接球的表面积为
A． B． C． D．
