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平面向量的概念及线性运算
4-1
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
4-1 平面向量的概念及线性运算........................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：向量的有关概念.......................................................................................................................2
考点2：向量的线性运算.......................................................................................................................2
考点3：向量共线定理............................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 向量的基本概念........................................................................................................................4
题型二 平面向量的线性运算...............................................................................................................5
命题点1 向量加、减法的几何意义........................................................................................5
命题点2 向量的线性运算...........................................................................................................5
命题点3 根据向量线性运算求参数........................................................................................6
题型三 共线定理及其应用....................................................................................................................7
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................8一、主干知识
考点1：向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点2：向量的线性运算
向量运
法则(或几何意义) 运算律
算
交换律：
a＋b＝b＋a；
加法
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； λ(μ a)＝(λμ)a；
数乘 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； (λ＋μ)a＝λa＋μa；
当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb
考点3：向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【常用结论总结】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2
＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．
4．若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.二、分类题型
题型一 向量的基本概念
【例题精析1】 设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例题精析2】 已知非零向量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析3】 给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 ，则向量
B．若向量 ，则线段
C．若向量 与 共线，则线段
D．若向量 与 反向共线，则
平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)是与a同方向的单位向量．
【对点精练1】 已知 是平面内两个非零向量，那么“ ”是“存在 ，使得
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【对点精练2】 设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【对点精练3】 *平面向量 满足 ，则 的取值范
围为____.
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
【例题精析4】 △ 中， 边上的点 满足 ， ，点 在三角形内，满足
，则 的值为（ ）
A． B．3
C．6 D．12
【例题精析5】 在 中，若 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【例题精析6】 已知非零平面向量 、 、 满足 ， ，且 ，则 的最小值是______
【例题精析7】 已知向量 满足 ，则 的取值范围是__________．
命题点2 向量的线性运算
【例题精析8】 已知 的面积为 ，点 满足 ，则 的面积等于__________．
【例题精析9】 已知 ，设 ，则实数 ____________.
【例题精析10】 在 中， 是 上的点，若 ，则实数 的值为
___________.
【例题精析11】 在 ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若 ，则
λ+μ=_________．
命题点3 根据向量线性运算求参数
【例题精析12】 在 中，已知 ， ， 与 交于点O.若 ，
则 ________.
【例题精析13】 如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端点），若 ，则 的取值范围是_____．
【例题精析14】 已知平面上四点 满足 ，则 ________.
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
【对点精练4】 若点M是 所在平面内一点，且满足： ．则 与 的面积之
比为________．
【对点精练5】 *已知 为等边三角形，点G是 的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与
线段AC交于点E．设 ， ，则 __________； 与 周长之比的取值范
围为__________．
【对点精练6】 如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重
合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，] D．(－1,0)
题型三 共线定理及其应用
【例题精析15】 已知 不共线，向量 ， ，且 ，则 _______．
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【对点精练7】 已知 是两个不共线的非零向量，若 与 共线 ，则 _____________．
【对点精练8】 已知非零向量 不共线，若 ， ， ，且 ， ， 三点
共线，则 ___________.三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•临汾模拟）已知 为不共线的非零向量， ， ， ，则
A． ， ， 三点共线 B． ， 、 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
2．（2023•大同模拟）在 中， 是 边的中点， 是 的中点，若 ，则
的值是
A．1 B． C． D．
3．（2022•绵阳模拟）已知平面向量 ， 不共线， ， ， ，则
A． ， ， 三点共线 B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
4．（2023•惠安县模拟）在正方形 中， 在 上且有 ， 与对角线 交于 ，则A． B． C． D．
5．（2023•防城港模拟）在 中， 为 的中点，则
A． B． C． D．
6．（2023•兴庆区校级四模）已知 、 分别是 的边 ， 上的中线，且 ， ，
则
A． B． C． D．
7．（2023•普宁市校级二模）设 是单位向量， ， ， ，则四边形
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．（2022•开封三模）在 中， 为 的中点， ，则
A． B． C． D．
9．（2021•道里区校级一模）如图，在 中，点 是 边上靠近 的三等分点，则
A． B． C． D．
10．（2020•海南）在 中， 是 边上的中点，则
A． B． C． D．
11．（2020•2月份模拟）如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则
A． B． C． D．
12．（2023•简阳市校级模拟）已知点 在直线 上，点 在直线 外，若 ，且
， ，则 的最小值为 ．
13．（2023•叶县模拟）若 ， ，且 ，则 ．
14．（2023•重庆模拟）已知向量 与 为一组基底，若 与 平行，则实数 ．
15．（2021•天津模拟）设向量 ， 不平行，若向量 与 平行，则实数 的值为 ．
1．（2021•海口模拟）设点 在 内部，且有 ，点 是边 的中点，设
与 的面积分别为 、 ，则
A． B． C． D．
2．（2020•重庆模拟）设点 在 的内部，且有 ，则 的面积与 的面积之比为
A．3 B． C．2 D．
3．（2017•宝鸡三模）已知点 是圆： 上的动点，点 ， ， 是以坐标原点为圆心的单位圆
上的动点，且 ，则 的最大值为
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2016•河南一模）如图，在矩形 中， ， ， 分别为 ， 的中点， 为 中
点，
则
A． B． C． D．
5．（2016•一模拟）已知点 是 内一点，且 ，则
A． B． C． D．
6．（2015•江西一模）如图，在正六边形 中， 等于
A． B． C． D．
7．（2022•重庆模拟）点 在 内部，满足 ，则 ．
8．（2020•云南模拟）平行四边形 中， ， ， ， 是平行四边形内一点，且 ，若 ，则 的最大值为 ．
9．（2018•香坊区校级三模）在 中， ，且 ，（其中 ，
，且 ，若 ， 分别为线段 ， 中点，则线段 的最小值为 ．
1．已知向量 ， ， 满足 ， ， ．若对每一确定的 ， 的最大
值和最小值分别为 ， ，则对任意 ， 的最小值是
A． B． C． D．1
2．在 所在平面上有一点 ，满足 ，则 与 面积之比是
A． B． C． D．
3．非零向量 若点 关于 所在直线的对称点为 ，则向量 为
A． B． C． D．
4．已知向量 的夹角为 ， ， 与 共线，则 的最小值为
A． B． C． D．1
5．已知为坐标原点，，，，，记、、中的最大值为，当取遍一切实数时，的取值范围是 ．
