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正弦定理、余弦定理
3-6
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
3-6 正弦定理、余弦定理......................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：正弦定理与余弦定理..............................................................................................................1
考点2：三角形中常用的面积公式.....................................................................................................2
【常见结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形...................................................................................4
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用........................................................................................5
命题点1 三角形形状判断...........................................................................................................5
命题点2 三角形的面积...............................................................................................................6
命题点3 与平面几何有关的问题.............................................................................................7
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................9一、主干知识
考点1：正弦定理与余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝ 2 R sin B ，
c＝ 2 R sin C ； cos A＝；
变形 (2)asin B cos B＝；
＝bsin A， cos C＝
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
考点2：三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
【常见结论总结】
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
1.方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选
择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 .二、分类题型
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例题精析1】 （2021·全国·统考高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，
点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【例题精析2】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含
有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理
都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边
和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进
行判断．【对点精练1】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【对点精练2】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形形状判断
【例题精析3】 （2022·福建三明·统考模拟预测） 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)若 ，试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 为锐角三角形，其外接圆半径为 ，求 周长的取值范围．判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用 A
＋B＋C＝π这个结论．
【对点精练3】 在△ABC中，＝sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
命题点2 三角形的面积
【例题精析4】 （2021·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，
， ，则 ________．
【例题精析5】 （2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【例题精析6】 （2020·福建漳州·统考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且
，若边 的中线等于3，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
【例题精析7】 （2023·福建·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；(2)已知 ，求 的面积．
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【对点精练4】 （2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；(2)若 ，求 的面积．
【对点精练5】 （2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，
b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；(2)若 ，求b．命题点3 与平面几何有关的问题
【例题精析8】 （2022·福建漳州·统考二模）如图，在平面四边形 中，对角线 平分 ，
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求B；
(2)若 ， 的面积为2，求
【例题精析9】 （2022秋·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）如图，在平面四边形 中，
.
(1)证明： ；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转
化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先
引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、
余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
【对点精练6】 （2023·福建·统考模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求C；
(2)若 ，D为 的外接圆上的点， ，求四边形ABCD面积的最大值.
【对点精练7】 （2021春·福建南平·高一统考期中）如图，在 中， ， ，点 在 边
上，且 ， .
（1）求 ；（2）求 的长.三、分层训练：课堂知识巩固
1 ． （ 2023 春 • 新 乡 期 中 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ，
，则 的一定为
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
2．（2023春•三元区校级期中）在 中， ，则 为
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．（2023•南岗区校级二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，若角 的内角平分线 的长为3，则 的最小值为
A．12 B．24 C．27 D．36
4 ． （ 2023• 赤 峰 模 拟 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 是 ， ， ， 已 知
， ， 的面积为 ，则 的周长是
A．4 B．6 C．8 D．18
5．（2023春•郑州月考）已知在 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
6．（2023春•仓山区校级期中）在 中，若 ， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
7．（2023•河南二模）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
则
A． B． C． D．
8．（2023春•安徽月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
，则
A．4 B．6 C． D．
9．（2023•铜仁市模拟）锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2023•榆林二模）在 中，内角 ， ， 所对应的边分别是 ， ， ，若 的面积是
，则
A． B． C． D．
11．（2023•江西模拟）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，且
，则 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
12．（2023春•通州区校级月考）在 中， ， ， 为 边上的中点，且 的长度
为 ，则
A． B．4 C． D．6
13．（2023•宜川县校级一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
， ，且 ，则 的面积为
A． B． C． D．
14．（2023春•开封月考）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 是边 上一点，
平分 ，且 ，若 ，则 的最小值是
A． B．6 C． D．4
15．（2023春•梅州期中）在 中，若三边之比 ，则 等于A． B． C．2 D．
16．（多选）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， 的角平分线交
于 ， ，则
A． B． C． D．
1．（2023•柳州模拟）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ，则
面积的最大值为
A． B． C． D．6
2．（2023春•和平区校级期中）在等边 中， 为 上一点， 为 上一点，且 ，
， ，则 的边长为
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023春•仓山区校级期中）一艘海轮从 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 的方向直线航
行，2小时后到达 处，在 处有一座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方向是南偏东 ，在 处观察灯
塔，其方向是北偏东 ，那么 ， 两点间的距离是
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
4．（2023春•山西月考）如果一架飞机向西飞行 ，再向东飞行 ，记飞机飞行的路程为 ，位
移为 ，那么
A． B． C． D．
5．（2023•高新区校级模拟）矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，
在和它底部位于同一水平高度的共线三点 ， ， 处测得铜雕顶端 处仰角分别为 ， ， ，且
，则四门通天的高度为
A． B． C． D．
6．（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影
而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径 是一寸，筒长 是八尺时
（注 一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满
竹管的内孔．”如图所示， 为竹空底面圆心，则太阳角 的正切值为
A． B． C． D．
7．（2023春•泉州期中）为了测量河对岸两点 ， 间的距离，现在沿岸相距 的两点 ， 处分别测得 ， ， ， ，则 ， 间的距离为
A． B．2 C． D．4
8．（2023春•台州期中）在 中，已知 ， ， ，则角 的度数为
A． B． C． D．
9．（2023•温州模拟）已知 内有一点 ，满足 ， ， ，则
．
1．（2023春•长宁区校级期中）如果△ 的三个内角的余弦值分别等于△ 的三个内角的正弦值，
则
A．△ 和△ 都是锐角三角形
B．△ 和△ 都是钝角三角形
C．△ 是钝角三角形，△ 是锐角三角形
D．△ 是锐角三角形，△ 是钝角三角形
2．（2019春•永州期末）设 ， ， 为 中的三边长，且 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2017秋•高邮市校级月考）若在锐角 中 ， ， 分别为内角 ， ， 的对边），满足
，且 ，则角 的值为 ．
