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3-5
函数 y=Asin(ωx+φ）
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了
解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学
模型．
3-5 函数y=Asin(ωx+φ）...................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：简谐运动的有关概念..............................................................................................................1
考点2：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找
五个特征点..................................................................................................................................................2
考点3：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两
种途径...........................................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换..............................................................................3
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.........................................................................5
题型三 三角函数图象、性质的综合应用........................................................................................9
命题点1 图象与性质的综合应用.............................................................................................9
命题点2 利函数零点(方程根)问题........................................................................................9
命题点3 三角函数模型...............................................................................................................10
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................................................................................13一、主干知识
考点1：简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0)，x≥0 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
考点2：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要
找五个特征点
x
﹣ ﹣ + ﹣
ωx+φ 0 π 2π
y＝Asin 0 A 0 ﹣A 0
（ωx+φ）
考点3：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的
两种途径【常用结论总结】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其
横坐标．二、分类题型
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例题精析1】 （2021•乙卷）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
A． B． C． D．
【例题精析2】 （2022•浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的
点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非
φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值．
【对点精练1】 （2019•天津）已知函数 ， ， 是奇函数，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小
正周期为 ，且 ，则
A． B． C． D．2
【对点精练2】 （多选）（2020•海南）如图是函数 的部分图象，则
A． B． C． D．
【对点精练3】 （2019•全国）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）设 ，求 在区间 ， 的最大值与最小值．题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例题精析3】 函数 （ ﹥ ， 且 ）在一个周期内的图象如图所示，下列结
论正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．把 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象
【例题精析4】 （多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下列结
论正确的是（ ）A．函数的解析式为
B．函数 在 上单调递减
C．该图象向右平移 个单位可得 的图象
D．函数 关于点 对称
【例题精析5】 已知函数 的部分图像如图所示．
(1)求 的解析式．
(2)先将 的图像向左平移 个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数
的图像．当 时，求 的值域．(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入．
【对点精练1】 函数 的部分图像如图所示，则下列关于函数 的
说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数 图像的一个对称中心为D．函数 的图像可由 图像向右平移 个单位得到
【对点精练2】 （多选）已知函数 （ ， ， ， ）的部分图像如图所
示，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图像关于点 对称
B． 的图像关于直线 对称
C． 在 上为增函数
D．把 的图像向右平移 个单位长度，得到一个奇函数的图像
【对点精练3】 已知函数 的部分图像如图所示． ，
， ．(1)求 的解析式；
(2)将 的图像先向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
所得到的图像对应的函数为 ，若 对于 恒成立，求实数m取值范围．
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
【例题精析6】 （多选）已知函数 图象的一个对称中心是 ，且 ，则以下
结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 为偶函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则
【例题精析7】 已知函数 ．
(1)设 ，函数 是偶函数，求 的值；
(2)若 在区间 上恰有三条对称轴，求实数m的取值范围．命题点2 利函数零点(方程根)问题
【例题精析8】 已知函数 在区间 内没有零点，但有极值点，则
的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【例题精析9】 已知函数 ，若方程 在 上恰有5个不同实根，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
命题点3 三角函数模型
【例题精析10】 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约. “梦想之
星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全
景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，
旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这
两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为( )
A．79米 B．157米 C．113米 D．189米
【例题精析11】 （多选）如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心
为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设O到地面的高OT为 ，点P为转轮边缘上任意一点，
点P在x轴上的垂足为M，转轮半径为 ，记以OP为终边的角为 ，点P离地面的高度为 ，则
（ ）A．点P坐标为 B．
C． D．
【例题精析12】 某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数
，其中 为水深（单位：米）， 为时间（单位：小
时），该函数图像如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【例题精析13】 将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心
点 距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点 距离地面的高度为
（单位：米），若 从摩天轮的最低点处开始转动，则 与转动时间 （单位：分钟）之间的关系为
．(1)求 ， ， ， 的值；
(2)摩天轮转动8分钟后，求点 距离地面的高度；
(3)在摩天轮转动一圈内，求点 距离地面的高度超过65米的时长．
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行
解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽
象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”．如图， 是以 为圆心， 为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， ．“会圆
术”给出 的弧长的近似值 的计算公式： ．当 ， 时，
A． B． C． D．
2．（2022•新高考Ⅰ）记函数 的最小正周期为 ．若 ，且
的图像关于点 ， 中心对称，则
A．1 B． C． D．3
3．（2022•甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是A． ， B． ， C． ， D． ，
4 ． （ 2021• 上 海 ） 已 知 ， 对 任 意 的 ， ， 都 存 在 ， ， 使 得
成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
5．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数 单调递增的区间是
A． B． ， C． D． ，
6．（2021•乙卷）
A． B． C． D．
7．（2020•新课标Ⅰ）设函数 在 ， 的图象大致如图，则 的最小正周期为
A． B． C． D．
8．（2019•天津）已知函数 ， ， 是奇函数，将 的图象上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为
，且 ，则A． B． C． D．2
9．（2019•天津）已知函数 ， ， 是奇函数，且 的最小正周期为
，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．
若 ，则
A． B． C． D．2
10．（2019•新课标Ⅱ）若 ， 是函数 两个相邻的极值点，则
A．2 B． C．1 D．
11．（2019•新课标Ⅲ）设函数 ，已知 在 ， 有且仅有5个零点．下述
四个结论：
① 在 有且仅有3个极大值点；
② 在 有且仅有2个极小值点；
③ 在 单调递增；
④ 的取值范围是 ， ．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
12．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的图像关于点 ， 中心对称，
则
A． 在区间 单调递减B． 在区间 ， 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
13．（多选）（2020•海南）如图是函数 的部分图象，则
A． B． C． D．
14．（2022•北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
15．（2021•甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则 ．
16 ． （ 2021• 甲 卷 ） 已 知 函 数 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件
的最小正整数 为 2 ．17．（2021•上海）已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是 ．
18．（2020•上海）已知函数 ， ．
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域．
1．（2023•广西模拟） 的值所在的范围是
A． B． C． D．
2．（2022 秋•益阳期末）已知函数 ，若 ，
，则 ， 对应的值为
A． B． C． D．
3．（2022秋•长寿区校级期末）已知函数 的部分图象如图所示，则
下列说法不正确的是A．
B． 图象的一条对称轴的方程为
C． 在区间 上单调递增
D． 的解集为
4．（2022秋•朝阳区期末）已知函数 ， ，若 ，且函数 的
部分图象如图所示，则 等于
A． B． C． D．
5．（2023•贾汪区校级模拟）奇函数 ， ， 在区间 ， 上恰有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
6．（2022秋•河西区校级期末）为了得到函数 的图：只需把函数 图象上的所有点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向上平移 个单位长度 D．向下平移 个单位长度
7．（多选）（2023春•大连期中）函数 （其中 ， ， 的图象如图所
示，下列说法正确的是
A． 是它的一条对称轴
B． 的增区间为 ，
C．函数 为奇函数
D．若 ， ，则
8．（2023春•沈河区校级期中）已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围．1．（2022•天津三模）设函数 ，则下列结论正确的是
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 ， 对称
C．把 的图象向左平移 个单位，得到一个偶函数的图象
D． 的最小正周期为 ，且在 ， 上为增函数
2．（2022春•湖北月考）已知函数 ， 的图象如图所示，无理数
．
（1）求 的解析式并解不等式 ；
（2）证明：函数 在定义域内有唯一零点 ，且 ．
3．（2021春•岑溪市期末）已知函数 ， 满足关系 ，
（1）设 ，求 的解析式；
（2）当时，存在，，对任意，恒成立，求的最小值．
