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复数
4-5
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
4-5 复数......................................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................2
考点1：复数的有关概念.......................................................................................................................2
考点2：复数的几何意义.......................................................................................................................3
考点3：复数的四则运算.......................................................................................................................3
【常见结论总结】....................................................................................................................................3
二、分类题型.....................................................................................................................................................4
题型一 复数的概念.................................................................................................................................5
题型二 复数的四则运算........................................................................................................................5
题型三 复数的几何意义........................................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7一、主干知识
考点1：复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
考点2：复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
考点3：复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝
1 2
OZ2－OZ1.
【常见结论总结】
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．二、分类题型
题型一 复数的概念
【例题精析1】 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B．5 C． D．2
【解答】因为 ，所以 ，
故复数 的虚部为 .故选：A.
【例题精析2】 在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】因为 ，则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.故选：A.
【例题精析3】 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
【解答】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .故选：D
【例题精析4】 已知复数 是关于 的方程 的一个根，则 __________.
【解答】由求根公式可得 或 ，所以 ；故答案为：
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只
需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【对点精练1】 已知复数 （其中 为虚数单位），则实数 _________．
【解答】由题意可知， ，解得 ,所以实数 .故答案为： .
【对点精练2】 在复平面内，复数 对应的点为 ，则 __________.
【解答】由已知可得， ，所以 ，
所以， .故答案为： .
【对点精练3】 设复数 满足 （ 为虚数单位），则 ________.
【解答】 ，故 .故答案为：【对点精练4】 已知复数z满足 （其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为___________.
【解答】由 ，
得 ，则复数z的共轭复数为
故答案为：
【对点精练5】 已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____.
【解答】∵复数 ∴ ∴复数的实部为3.故答案为：3.
【对点精练6】 设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
【解答】方法一：设 ， ，
，
，又 ，所以 ， ，
.
故答案为： .
方法二：如图所示，设复数 所对应的点为 , ,
由已知 ,
∴平行四边形 为菱形，且 都是正三角形，∴ ，∴ .
【对点精练7】 设 ，若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 __________．
【解答】试题分析：由题意得 .
题型二 复数的四则运算
【例题精析5】 已知 是虚数单位，化简 的结果为_________．
【解答】由题意可得 .故答案为： .
【例题精析6】 若复数z满足 ，则z的共轭复数 的虚部为________.
【解答】由 得 ，
故 ，且虚部为1，故答案为：1
【例题精析7】 复数 （ 为虚数单位）是实系数方程 的一个解，则实数 __________．
【解答】由题意，方程的另一个根为 ，则 ，故答案为： ．
【例题精析8】 复数 ，则 __________．
【解答】 ， ，故答案为：2．
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
【对点精练8】 i是虚数单位，则复数 ______.
【解答】 ；故答案为：
【对点精练9】 是虚数单位，复数 _______________.
【解答】复数 ，故答案为：
【对点精练10】 复数 的虚部是______
【解答】因为 ，所以虚部为 .故答案为：
【对点精练11】 已知 ，复数 ，若 的虚部为1，则 _________.
【解答】 ， .故答案为：-2题型三 复数的几何意义
【例题精析9】 复数 在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是________．
【解答】因为复数在复平面的第二象限内，所以 ，解得 .
故答案为：
【例题精析10】 已知 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点的坐标为______．
【解答】解： ，对应点的坐标为（5， ），故答案为：（5， ）．
【例题精析11】 在复平面内，已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 的最大值为____________.
【解答】令 且 ，则 ，即复数 对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，而
，即点 到定点 距离的最大值，
所以 的最大值为 .故答案为：
【例题精析12】 已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 的最大值为__________.
【解答】设 ，由 得： ， ，
则可设 ， ， ，
（其中 ，
），则当 时， .故答案为： .由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一
起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【对点精练12】 已知z是复数, 均为实数（i为虚数单位）,且复数 在复平面上对应的点在第
一象限,则实数a的取值范围是__________．
【解答】解:不妨设 , 均为实数,
且 , ,
,
在复平面上对应的点在第一象限,
且 ,
,解得, .故答案为:
【对点精练13】 已知复数 满足 ，则 的最小值为_________ .
【解答】解：设 ，因为 ，所以 ，所以
或 ，因为 ，所以 的轨迹为 ，根据复数的几何意义可知 表示复平
面内点 到 与 的距离和；
显然当 ，即 时 ，故答案为：
【对点精练14】 已知 ，则复数 在复平面内所对应点 的轨迹方程为
__________________．
【解答】∵复数 在复平面内所对应点 ，
又 ，
∴ ，
即点 到点 ，和 的距离之和为6，且两定点的距离为 ，
故点 的运动轨迹是以点 为焦点的椭圆，且 ，
故 ，
∴复数 在复平面内所对应点 的轨迹方程为： ，
故答案为： ．
【对点精练15】 设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 在复平面内的轨迹方程
为__________．【解答】因为 且 ，所以 ，
所以 在复平面内的轨迹是以 和 为焦点， 为长轴的椭圆，
所以 的轨迹方程为
故答案为：
三、分层训练：课堂知识巩固
1．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，设两条直线 ，
平行的概率为 ，相交的概率为 ，则复数 所对应的点 与直线 的位置
关系
A． 在直线 的右下方 B． 在直线 的右上方
C． 在直线 上 D． 在直线 的左下方
【解答】解：易知当且仅当 时两条直线只有一个交点，
而 的情况有三种： ， （此时两直线重合）； ， （此时两直线平行）； ，
（此时两直线平行）．
而投掷两次的所有情况有 种，
所以两条直线相交的概率 ；
两条直线平行的概率为 ，所对应的点为 ，
易判断 在 的左下方，
故选： ．
2．对于复数 ， ， ， ，若集合 ， ， ， 具有性质“对任意 ， ，必有 ”，则
当 时， 等于
A．1 B． C．0 D．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 ， 可 取 ， ， ， ， ， 或 ， ， 所 以
，
故选： ．
3．复数 在复平面内对应的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解： ，
所以复数对应的点坐标为 ，该点是第三象限点，
故选： ．
4．已知复数 ，则 在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：因为 ，
所以复数 在复平面内所对应的点为 ，该点在第四象限．
故选： ．
5．若复数 满足 ，则在复平面内 表示的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：依题意 ，
复数 的对应点 在第二象限．
故选： ．
6．已知复数 为虚数单位），复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，
则
A．复数 在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．
D． 的最大值为
【解答】解：对于 ，复数 ，则 在复平面内对应的点位于第三象限，选项 错误；
对于 ， ，所以选项 错误；
对于 ，因为 ，所以 在复平面内对应的点 满足 ，选项 错误；
对于 ，因为 在复平面内对应的点表示圆，设圆心为 ， 表示点为 ，且 ，
所以 的最大值为 ，选项 正确．
故选： ．
7．若复数 ， 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为
A． B．6 C．4 D．
【解答】解：因为，
因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 ．
故选： ．
8．若复数 ， 为虚数单位）是纯虚数，则 的值为
A． B． C． D．2
【解答】解：复数 ，它是纯虚数，所以 ，
故选： ．
9．已知 ， 为实数， 为虚数单位）是关于 的方程 的一个根，则
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：由 是关于 的方程 的一个根，
则 是关于 的方程 的一个根，
则 ， ，
即 ， ，则 ．
故选： ．
10．若复数 ， 在复平面内对应的点关于 轴对称，且 ，则复数
A．1 B． C． D．
【解答】解：因为 ，且复数 ， 在复平面内对应的点关于 轴对称，
所以 ，
所以 ．故选： ．
11．已知复数 满足 ，则 的实部是
A．9 B．7 C．5 D．3
【解答】解：设 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 的实部是5．
故选： ．
12．已知复数 ，且 ，则
A． B．9 C． D．3
【解答】解：由题意可得 ，则 ，
从而 ， ，故 ．
故选： ．
13．已知 ，复数 是实数，则
A． B． C．3 D．
【解答】解： ，
复数 是实数， ， ．
故选： ．
14．在复平面内，复数 与 对应的点关于虚轴对称，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，复数 与 对应的点关于虚轴对称对称，
．
故选： ．
15．已知 ，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：因为 ，所以 ，
由复数相等的充要条件得 ， ，所以 ．
故选： ．
16．复数 的虚部为
A．1 B． C． D．
【解答】解： ，其虚部为1．
故选： ．
17．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 为虚数单位）为
“等部复数”，则实数 的值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解： ， 复数 为“等部复数”，
，
．
故选： ．
18．复数 的虚部为A． B． C． D．
【解答】解：复数 ，
该复数的虚部为 ．
故选： ．
19．已知 为虚数单位， ，则复数 在复平面上所对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：因为 ，
则 ，
所以 在复平面上所对应的点为 位于第二象限．
故选： ．
20．已知复数 满足 ，则
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：设 ，
则 ，
即 ，
，解得 ，
， ．
故选： ．
21．若复数 满足 ，则 的最大值为A．1 B．2 C．4 D．9
【解答】解：复数 满足 ，由复数模的几何意义知，复数 在复平面内对应的点 的轨迹为：
以 为圆心，以2为半径的圆的内部（包括圆周），
表示点 到点 的距离，如图所示：
当点 的坐标为 时， 的值最大，
所以 的最大值为9．
故选： ．
22．已知复数 满足 ，则
A．1 B． C． D．
【解答】解： ，
所以 ．
故选： ．
23．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则
A． B． C．3 D．
【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ， ．
故选： ．
24．复数 ， 满足 ，则
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
【解答】解：因为 ，可设 ，且 ，
由 ，得 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以 或2．
故选： ．
25．复数 满足 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
．
故选： ．
26．已知集合 ， ， 为虚数单位， ，则集合 与 的关系是A． B． C． D．
【解答】解： 集合
，
， 为虚数单位，
，
，
故选： ．
27．（多选）已知复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，下列说法中正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若 ，则
【解答】解： ．因为 ，所以 ，则 ，
即 ，则 ，故 正确；
．因为 ，所以 ，即 ， ，故
正确；．设 ，因为 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则 ，所以
， ，则 ，故 正确；
．如 ， ，满足 ，而 ，故 错误；
故选： ．
28． 是虚数单位，若复数 为纯虚数，则 ．
【解答】解： ，它是纯虚数，只需 ．
故答案为：
29．如复数 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值为 0 ．
【解答】解： 为纯虚数，
，
解得 ．
则实数 的值为：0．
故答案为：0．
30．设复数 的共轭复数是 ，若复数 ， ，且 为实数，则实数 的值为 ．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
令 ，解得 ．
故答案为： ．
