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3-5
函数 y=Asin(ωx+φ）
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了
解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学
模型．
3-5 函数y=Asin(ωx+φ）...................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：简谐运动的有关概念..............................................................................................................1
考点2：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找
五个特征点..................................................................................................................................................2
考点3：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两
种途径...........................................................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换..............................................................................3
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.........................................................................6
题型三 三角函数图象、性质的综合应用......................................................................................11
命题点1 图象与性质的综合应用..........................................................................................11
命题点2 利函数零点(方程根)问题......................................................................................13
命题点3 三角函数模型...............................................................................................................15
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................................................................................19一、主干知识
考点1：简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0)，x≥0 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
考点2：用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要
找五个特征点
x
﹣ ﹣ + ﹣
ωx+φ 0 π 2π
y＝Asin 0 A 0 ﹣A 0
（ωx+φ）
考点3：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的
两种途径【常用结论总结】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其
横坐标．二、分类题型
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例题精析1】 （2021•乙卷）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
A． B． C． D．
【解答】解： 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，
把函数 的图像，向左平移 个单位长度，
得到 的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得 的图像．
故选： ．
【例题精析2】 （2022•浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的
点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【解答】解：把 图象上所有的点向右平移 个单位可得 的
图象．
故选： ．
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非
φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值．
【对点精练1】 （2019•天津）已知函数 ， ， 是奇函数，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小
正周期为 ，且 ，则
A． B． C． D．2
【解答】解： 是奇函数， ，则
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．
即 的最小正周期为 ， ，得 ，
则 ， ，若 ，则 ，即 ，则 ，则 ，故选： ．
【对点精练2】 （多选）（2020•海南）如图是函数 的部分图象，则
A． B． C． D．
【解答】解：由图象知函数的周期 ，即 ，即 ，
当 时，由五点作图法，得 ，所以 ，
则
，
当 时，由五点作图法，得 ，所以 ，
所以 ．故选： ．
【对点精练3】 （2019•全国）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）设 ，求 在区间 ， 的最大值与最小值．
【解答】解： ．（1） 的最小正周期 ；
（2） ，
， ， ， ．
即 在区间 ， 的最大值为 ，最小值为 ．
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例题精析3】 函数 （ ﹥ ， 且 ）在一个周期内的图象如图所示，下列结
论正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．把 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象
【解答】解：由题知 ，所以 ，解得 ，
所以 ，再将点 代入得 ，即
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故A选项错误；当时， ，由于正弦函数在区间 上不单调，故 在 上
不单调，B选项错误； ，C选项正确；
把 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象，故D选项错误.故选：C
【例题精析4】 （多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下列结
论正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数 在 上单调递减
C．该图象向右平移 个单位可得 的图象
D．函数 关于点 对称
【解答】由图可得： ，可得 ，且 ，解得 ，
所以 ，因为 的图象过点 ，即 ，可得，则 ，可得 ，且 ，则 ，所以
，故A正确；因为 ，则 ，且 在 上不单调，
所以函数 在 上不单调，故B错误；该图象向右平移 个单位可得
，所以该图象向右平移 个单位可得 的图象，故C正确；
因为 ，所以函数 关于点 对称，故D正确；故选：ACD.
【例题精析5】 已知函数 的部分图像如图所示．
(1)求 的解析式．
(2)先将 的图像向左平移 个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数
的图像．当 时，求 的值域．
【解答】（1）根据图像可得 ， ，则 ，因为 ，所以 ．将
代入 的解析式，得 ，则 ， ，得 ， ．因为 ，所以 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，
将 的图像向左平移 个单位长度得 ，
再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
得 的图像，因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，故 在 上的值域为
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入．
【对点精练1】 函数 的部分图像如图所示，则下列关于函数 的
说法正确的是（ ）A． B．
C．函数 图像的一个对称中心为
D．函数 的图像可由 图像向右平移 个单位得到
【解答】由函数的图像可知 ，最小正周期 ，则 ， ，A选项正确；
，函数的图像过点 ，则有 ， ， ，B选项错误；
， ，函数 图像的一个对称中心为 ，C选
项正确；函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像，D
选项错误.故选：AC
【对点精练2】 已知函数 （ ， ， ， ）的部分图像如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A． 的图像关于点 对称B． 的图像关于直线 对称
C． 在 上为增函数
D．把 的图像向右平移 个单位长度，得到一个奇函数的图像
【解答】由已知 ， ， ， ，
， ，又 ， ， ，
对于A， ，故A正确；对于B，令 ， ，得 ， ，
时， ，故B正确；对于C， 时，令 ， 在 上递增，
故C正确；对于D，把 的图像向右平移 个单位长度，得函数表达式为
，它是偶函数，故D错误.
故选：ABC.
【对点精练3】 已知函数 的部分图像如图所示． ，
， ．(1)求 的解析式；
(2)将 的图像先向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
所得到的图像对应的函数为 ，若 对于 恒成立，求实数m取值范围．
【解答】（1）由图像可得： ，故 ，且 ，解得 ，
可得 ，
∵ 的图像过点 ，则 ，
可得 ，且 ，则 ，
∴ ，解得 ，
可得 ，
又∵ 的图像过点 ，则 ，
解得 ，
故 .
（2）将 的图像先向右平移 个单位，得到 ；
再将图像上的所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到 ，
故 ，
∵ ，则 ，∴ ，可得 ，
故 在 上的最大值为2，最小值为 .
因为 对于 恒成立，所以 ,可得 恒成立,
,可得 ，所以 .
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
【例题精析6】 已知函数 图象的一个对称中心是 ，且 ，则以下结论正确
的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 为偶函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则
【解答】因为点 是函数 的一个对称中心，
，解得 ， ，
又因为 ，所以 ， ，
对于A项：最小正周期为 ，故A错；
对于B项：因为 ，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，
所以函数 为偶函数，故B对；
对于C项：当 时， ，
所以 ，
可得 ，所以 的最小值为 ，故C对；
对于D项：当 时，所以 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，故D错，
故选：BC．
【例题精析7】 已知函数 ．
(1)设 ，函数 是偶函数，求 的值；
(2)若 在区间 上恰有三条对称轴，求实数m的取值范围．
【解答】（1）
，
故 是偶函数，那么 ，即 ， ， ， 或 时满足条件，故 或 .
（2）当 时， ，
要让函数 恰有3条对称轴，
那么 , 解得 ，即
命题点2 利函数零点(方程根)问题
【例题精析8】 已知函数 在区间 内没有零点，但有极值点，则
的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解答】 ,其中 （取 为锐角），
，其中 （取 为锐角），
设 ，由 ，可得 .
在区间 内没有零点，但有极值点时， ,可得 .
所以 .
因为 ， ，所以 .
所以 ，所以 在 上的最大值在 取得，故 .
又
，
,
所以 的取值范围是 .
故选:A.
2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、
周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的
范围的判定，防止错解.
【例题精析9】 已知函数 ，若方程 在 上恰有5个不同实根，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为函数 ，
当 时，方程 可化为 ，解得
，则当 时， ，
当 时，方程 可化为 ，解得 ，则当 时，
因为根据方程 在 上恰有5个不同实根，
所以这5个不同实根为 ，则 ，故选：D.
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用
数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
命题点3 三角函数模型
【例题精析10】 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约. “梦想之
星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全
景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，
旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这
两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为( )
A．79米 B．157米 C．113米 D．189米
【解答】因为摩天轮匀速旋转一周时间为18分钟，所以摩天轮的角速度为 ，
又因为甲乙两人进入各自座舱的时间相差6分钟，所以两人相差的角度为 ，
设第二个人进仓后转动 角时对应的高度为 ，
因为摩天轮直径约为86米，总高约100米，
所以摩天轮底部距离地面高度为14米，摩天轮半径约为43米，
所以 ，
因为甲乙两人相差的角度为 ，
所以甲乙两人所在的高度之和为： ，
所以 ，
所以 ，
化简可得 ，
又根据题意可知 ，所以 ，
所以当 时，即 时， 取得最大值 .
故选：B.
【例题精析11】 如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，
以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设O到地面的高OT为 ，点P为转轮边缘上任意一点，点P在
x轴上的垂足为M，转轮半径为 ，记以OP为终边的角为 ，点P离地面的高度为 ，则（ ）A．点P坐标为 B．
C． D．
【解答】设点 ，由三角函数定义 ， ，
从而可得点P坐标为 ，所以选项A正确；
因为 ，所以 ，
只有当 的终边落在 轴上时， ，所以选项B错误；
因为 ，所以选项C正确;
当 的终边在第一、二象限或 轴正半轴上时， ；
当 的终边在第三、四象限或 轴负半轴上时，因为 ，
此时 ；
当 的终边 轴上时， ，此时 ，
所以，不管 的终边在何处，都有 ，所以选项D正确.
故选：ACD
【例题精析12】 某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数
，其中 为水深（单位：米）， 为时间（单位：小
时），该函数图像如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【解答】（1）由图知 ， ， ， ，
所以 ，将点 代入得 ，
结合 解得 ，
所以函数 的解析式 .
（2）货船需要的安全水深为 米，所以当 时货船可以停留在港口.
由 得 ，得 ，
即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以该船一天之内至多能在港口停留 小时.
【例题精析13】 将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心
点 距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点 距离地面的高度为
（单位：米），若 从摩天轮的最低点处开始转动，则 与转动时间 （单位：分钟）之间的关系为
．(1)求 ， ， ， 的值；
(2)摩天轮转动8分钟后，求点 距离地面的高度；
(3)在摩天轮转动一圈内，求点 距离地面的高度超过65米的时长．
【解答】（1）依题意， ，于是 ，
函数的周期 ，解得 ，则 ，而 时， ，
即有 ，而 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
当 时， （米）.
（3）由 ，得 ，即 ，解得 ，
即有 ， ，
所以在摩天轮转动一圈内，有8分钟的时间，点 距离地面的高度超过65米.
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行
解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽
象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”．如图， 是以 为圆心， 为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， ．“会圆
术”给出 的弧长的近似值 的计算公式： ．当 ， 时，A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
是 的中点， 在 上， ，
延长 可得 在 上， ，
．
故选： ．
2．（2022•新高考Ⅰ）记函数 的最小正周期为 ．若 ，且
的图像关于点 ， 中心对称，则
A．1 B． C． D．3
【解答】解：函数 的最小正周期为 ，
则 ，由 ，得 ， ，
的图像关于点 ， 中心对称， ，
且 ，则 ， ．
， ，取 ，可得 ．
，则 ．
故选： ．
3．（2022•甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，【解答】解：当 时，不能满足在区间 极值点比零点多，所以 ；
函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
， ，
，
求得 ，
故选： ．
4 ． （ 2021• 上 海 ） 已 知 ， 对 任 意 的 ， ， 都 存 在 ， ， 使 得
成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
都存在 ， ，使得 成立，
， ，
，
， ，
在 上单调递减，
当 时， ，，故 选项错误，
当 时， ，
，
，故 选项正确，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，故 选项错误．
故选： ．
5．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数 单调递增的区间是
A． B． ， C． D． ，
【解答】解：令 ， ．
则 ， ．
当 时， ， ，
， ，
故选： ．
6．（2021•乙卷）
A． B． C． D．
【解答】解：法一、．
法二、
．
故选： ．
7．（2020•新课标Ⅰ）设函数 在 ， 的图象大致如图，则 的最小正周期为
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可得最小正周期小于 ，大于 ，排除 ， ；
由图象可得 ，
即为 ， ，
若选 ，即有 ，由 ，可得 不为整数，排除 ；
若选 ，即有 ，由 ，可得 ，成立．故选： ．
8．（2019•天津）已知函数 ， ， 是奇函数，将 的图象上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为
，且 ，则
A． B． C． D．2
【解答】解： 是奇函数， ，
则
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．
即
的最小正周期为 ，
，得 ，
则 ， ，
若 ，则 ，即 ，
则 ，则 ，
故选： ．
9．（2019•天津）已知函数 ， ， 是奇函数，且 的最小正周期为
，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．
若 ，则A． B． C． D．2
【解答】解： 是奇函数， ，
的最小正周期为 ，
，得 ，
则 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应
的函数为 ．
则 ，
若 ，则 ，即 ，
则 ，则 ，
故选： ．
10．（2019•新课标Ⅱ）若 ， 是函数 两个相邻的极值点，则
A．2 B． C．1 D．
【解答】解： ， 是函数 两个相邻的极值点，
，
故选： ．
11．（2019•新课标Ⅲ）设函数 ，已知 在 ， 有且仅有5个零点．下述
四个结论：
① 在 有且仅有3个极大值点；② 在 有且仅有2个极小值点；
③ 在 单调递增；
④ 的取值范围是 ， ．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【解答】解：依题意作出 的图象如图，其中 ，
显然①正确，②错误；
当 ， 时， ， ，
在 ， 有且仅有5个零点，
，
，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当 时， ， ，
若 在 单调递增，
则 ，即 ，
，故③正确．
故选： ．12．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的图像关于点 ， 中心对称，
则
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 ， 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【解答】解：因为 的图象关于点 ， 对称，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，
令 ，解得 ，
故 在 单调递减， 正确；
， ， ， ，
根据函数的单调性，故函数 在区间 ， 只有一个极值点，故 错误；
令 ， ，得 ， ， 显然错误；，
求导可得， ，
令 ，即 ，解得 或 ，
故函数 在点 处的切线斜率为 ，
故切线方程为 ，即 ，故 正确．
直线 显然与 相切，故直线 显然是曲线的切线，故 正确．
故选： ．
13．（多选）（2020•海南）如图是函数 的部分图象，则
A． B． C． D．
【解答】解：由图象知函数的周期 ，即 ，即 ，
当 时，由五点作图法，得 ，所以 ，
则
，当 时，由五点作图法，得 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
14．（2022•北京）若函数 的一个零点为 ，则 1 ； ．
【解答】解： 函数 的一个零点为 ， ，
，函数 ，
，
故答案为：1； ．
15．（2021•甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则 ．
【解答】解：由图可知， 的最小正周期 ，
所以 ，因为 ，
所以由五点作图法可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
16 ． （ 2021• 甲 卷 ） 已 知 函 数 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件的最小正整数 为 2 ．
【解答】解：由图像可得 ，即周期为 ，
， ，
，
观察图像可知当 ，
， ，
，且 ，
时最小，且满足题意，
故答案为：2．
17．（2021•上海）已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是
．
【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得 的终边要落在图中阴影部分区域（其中
，
所以 ，
因为对任意 都成立，
所以 ，即 ， ，同时 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
18．（2020•上海）已知函数 ， ．
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域．
【解答】解：（1）由于 的周期是 ，所以 ，所以 ．
令 ，故 或 ，整理得 或 ．
故解集为 或 ， ．
（2）由于 ，
所以 ．
所以 ．
由于 ， ，所以 ．
，
故 ，
故 ．
所以函数 的值域为 ．
1．（2023•广西模拟） 的值所在的范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
且 ，所以 ，
所以 ，
所以 的值所在的范围是 ， ．
故选： ．
2．（2022 秋•益阳期末）已知函数 ，若 ，
，则 ， 对应的值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 ，且 ，所以 是 的对称轴，又因为 ，所以 ， 是 的对称中心；
所以 ， ；
解得 ， ；
又因为 ，所以 ；
所以 ， ，
解得 ， ；
又因为 ，所以 ．
故选： ．
3．（2022秋•长寿区校级期末）已知函数 的部分图象如图所示，则
下列说法不正确的是
A．
B． 图象的一条对称轴的方程为
C． 在区间 上单调递增
D． 的解集为
【解答】解：根据函数的图像， ，
且满足 ，故 ，
所以 ，
当 时， ，由五点法作图可知： ，
所以 ，故 正确；
时， ，
所以， 图象的一条对称轴的方程为 ，所以 正确；
时． ，所以 在区间 上单调递增，是不正确的，所以 错误；
，可得 ，即： ， ， ，
解得 ，所以 正确．
故选： ．
4．（2022秋•朝阳区期末）已知函数 ， ，若 ，且函数 的
部分图象如图所示，则 等于
A． B． C． D．【解答】解：由已知得 ，
据图可知 是 在一个周期内的三个零点，
且 在 上先增后减，在 上先减后增，
故 ，所以 ，
且 ，得 ， ，
又 ，故 时， 即为所求．
故选： ．
5．（2023•贾汪区校级模拟）奇函数 ， ， 在区间 ， 上恰有一个
最大值和一个最小值，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为函数 为奇函数，且 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ， 时， ， ，
因为 在区间 ， 上恰有一个最大值和一个最小值，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ， ．
故选： ．
6．（2022秋•河西区校级期末）为了得到函数 的图：只需把函数 图象上的所有点A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向上平移 个单位长度 D．向下平移 个单位长度
【解答】解：显然由 图象到函数 的图象，
只需将原函数图象向左平移 个单位．
故选： ．
7．（多选）（2023春•大连期中）函数 （其中 ， ， 的图象如图所
示，下列说法正确的是
A． 是它的一条对称轴
B． 的增区间为 ，
C．函数 为奇函数
D．若 ， ，则
【解答】解：由函数 的部分图象知， ，
由 ， ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 ．时， ，所以 是 图象的一条对称轴，选项 正确；
令 ， ，解得 ， ，
所以 的增区间为 ， ，选项 正确；
，不是定义域 上的奇函数，选项 错误；
因为 ， ， ，所以 ， ，
由此知 ， ，
所以 ，选项
正确．
故选： ．
8．（2023春•沈河区校级期中）已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）由函数 的部分图象知， ， ，解得 ，所以
，
又因为 ， ，所以 ， ，解得 ，
，又因为 ，所以 ，所以函数 ；
（2）因为 ，
设 ，则
，
因为 ， ，所以当 时取得最小值 ，当 时取得最大值3，
所以 ，即 ，
所以方程 有实根，实数 的取值范围是 ， ．
1．（2022•天津三模）设函数 ，则下列结论正确的是
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 ， 对称
C．把 的图象向左平移 个单位，得到一个偶函数的图象
D． 的最小正周期为 ，且在 ， 上为增函数
【解答】解：由对称轴 ， 不正确，
， 代入函数表达式对 选项检验知命题错；
平移后解析式为 ，故其为偶函数，命题正确；
．由于 ， 时 ， ，此时函数在区间内不单调，不正确．
故选： ．2．（2022春•湖北月考）已知函数 ， 的图象如图所示，无理数
．
（1）求 的解析式并解不等式 ；
（2）证明：函数 在定义域内有唯一零点 ，且 ．
【解答】解：（1）由图知 ， ，得 ， ， ，
， ，结合 ，当 时， 即为所求，故 ，
因为 ，即 ， ，
解得原不等式的解集为 ， ．
（2）证明： ， ，
当 时， ， ，故 恒成立，
所以函数 在 上无零点；
当 时， ，此时 ， 在 ， 上都是单调递增函数，故 此时也单
调递增，
由 ， （1） ，所以 在 ， 上有唯一零点 ，
综上可知， 在 上有唯一零点，且 ，所以 ，
由对勾函数 在 ， 上单调递减，故 时， ，
即 ．
3．（2021春•岑溪市期末）已知函数 ， 满足关系 ，
（1）设 ，求 的解析式；
（2）当 时，存在 ， ，对任意 ， 恒成立，求 的
最小值．
【解答】解：由 ，
（1）当 ，
可得
．
的解析式为 ．
（2） 时，可得
．
存在 ， ，对任意 ， 恒成立，
当 或 时，可得 ．当 时，可得 ．
那么：
或者：
的最小值为 ．
