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空间直线、平面的平行
5-4
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
5-4 空间直线、平面的平行.................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：线面平行的判定定理和性质定理.......................................................................................1
考点2：面面平行的判定定理和性质定理.......................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................4
题型一 直线与平面平行的判定与性质............................................................................................4
命题点1 直线与平面平行的判定.............................................................................................4
命题点2 直线与平面平行的性质.............................................................................................4
题型二 平面与平面平行的判定与性质............................................................................................5
题型三 平行关系的综合应用...............................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7一、主干知识
考点1：线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平
判定
面内的一条直线平行，那么 ⇒a∥α
定理
该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，
性质 如果过该直线的平面与此平
⇒a∥b
定理 面相交，那么该直线与交线
平行
考点2：面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直
判定
线与另一个平面平行，那么这
定理 ⇒β∥α
两个平面平行
两个平面平行，如果另一个平
性质
面与这两个平面相交，那么两
定理 ⇒a∥b
条交线平行
【常用结论总结】
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.二、分类题型
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
【例题精析1】 （2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，
， 平面 ，点 是棱 的中点，点 是棱 上的一点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【对点精练1】 （2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面
平面 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；(2)若 ，求二面角 的余弦值.
命题点2 直线与平面平行的性质
【例题精析2】 （2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥 中，底面 为矩形，
， ，平面 与平面 的交线为 .
(1)求证：直线 平行于平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确
定交线．【对点精练2】 （2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，三棱台 中， ，
是 的中点，点 在线段 上， ，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．题型二 平面与平面平行的判定与性质
【例题精析3】 （2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱
形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，
连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求二面角P－EF－O的正弦值．
【例题精析4】 （2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱
形， ，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，
连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行
(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
【对点精练3】 （2023·全国·高三专题练习）在如图所示的六面体 中，平面 平面
， ， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若AC，BC， 两两互相垂直， ， ，求点A到平面 的距离．
【对点精练4】 （2023·河南焦作·统考模拟预测）在如图所示的六面体 中，平面 平面
， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 两两互相垂直， ， ，求二面角 的余弦值．题型三 平行关系的综合应用
【例题精析5】 如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P，Q分别为对角线BD，CD
1
上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面ADDA；
1 1
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面ADDA？请给出证明．
1 1
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题
的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【对点精练5】 如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求
证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
【对点精练6】 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2018•浙江）已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱
的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是
A． B．
C． D．
3．（2023•广西一模）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为
A． B．1 C． D．
4．（2023•金山区二模）如图，在矩形 中， 、 分别为边 、 上的点，且 ，，设 、 分别为线段 、 的中点，将四边形 沿着直线 进行翻折，使得点 不
在平面 上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是
A．直线 直线 B．直线 直线
C．直线 直线 D．直线 平面
5．（2023•镇安县校级模拟）已知 ， 是两个不同的平面， ， ， 是三条不同的直线，下列说法正
确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
6．（2023•嘉定区校级三模）如图所示，在斜三棱柱 中， ，且 ，过
作 平面 ，垂足为 ，则点 在
A．直线 上 B．直线 上 C．直线 上 D． 内部
7．（2023•白山二模）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则A． 平面 B． 平面 C． 平面 D． 平面
8．（2023•泉州模拟）如图，点 ， ， ， ， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，
不满足直线 平面 的是
A． B．
C． D．
9．（2023•潍坊模拟）如图，在正三棱锥 中， ， ， 为底面 的中心，点
在线段 上，且 ，若 平面 ，则实数
A． B． C． D．
10．（2023•攀枝花二模）如图，正方体 中， 是 的中点，给出下列结论：
① ；② 平面 ；③ ；④ 平面 ；其中正确的结论个数为A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023•船山区校级模拟）在正方体 中，下列结论正确的是
① ；②平面 平面 ；③ ；④ 平面 ．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
12．（2023•河南模拟）如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧棱 的中点，
是 的中点，则
A． B． 平面 C． 平面 D．
13．(多选)（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正
方体的顶点，则满足 的是A． B．
C． D．
14．（2020•全国）在空间直角坐标系中，已知点 ，0， ， ，1， ，则经过点 且与直线
垂直的平面方程为 ．
15．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且
， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
16．（2019•江苏）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ．求证：
（1） 平面 ；（2） ．
17．（2019•北京）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中
点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
18．（2017•江苏）如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，点 、
与 、 不重合）分别在棱 ， 上，且 ．求证：
（1） 平面 ；
（2） ．
