文档内容
第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：四个公理.............................................................................................................................4
知识点2：直线与直线的位置关系.....................................................................................................4
知识点3：直线与平面的位置关系.....................................................................................................5
知识点4：平面与平面的位置关系.....................................................................................................6
知识点5：等角定理.............................................................................................................................6
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”............................................7
题型二：截面问题................................................................................................................................9
题型三：异面直线的判定..................................................................................................................10
题型四：异面直线所成的角..............................................................................................................11
题型五：平面的基本性质..................................................................................................................13
题型六：等角定理..............................................................................................................................14
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................15
05课本典例·高考素材........................................................................................................................16
06易错分析·答题模板........................................................................................................................18
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误..........................................................................18
答题模板：异面直线所成的角..........................................................................................................18考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是高考命题的热点，重点关
（1）基本事实的应用 注异面直线的判定和成角问题、空间点线
2023年上海卷第15题，5分
（2）空间位置关系的 面的位置关系问题．对于空间几何体的
2022年上海卷第15题，5分
判断 点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐
2022年I卷第9题，5分
（3）异面直线所成的 步提升，还增加了截面问题，对考生的空
2021年乙卷（文）第10题，5分
角 间想象能力要求有所提升，需要考生有更
强大的逻辑推理能力．
复习目标：
（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、
平面的位置关系的定义．
（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识点1：四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【诊断自测】在长方体 中，直线 与平面 的交点为 ， 与 交于点 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． ， ， 三点确定一个平面 B． ， ， 三点共线
C． ， ， ， 四点共面 D． ， ， ， 四点共面
知识点2：直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平 两条异面直线不同在如
面 何一个平面内
【诊断自测】两条直线 分别和异面直线 都相交，则直线 的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
知识点3：直线与平面的位置关系
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号
∥
公共点个数 无数个 1 0
【诊断自测】四棱锥 如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行 B．与直线AD相交
C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线
知识点4：平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直图形
符号
∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都 无数个公共点且都在
在唯一的一条直线上 唯一的一条直线上
【诊断自测】下列说法正确的是（ ）
A．若直线 两两相交，则直线 共面
B．若直线 与平面 所成的角相等，则直线 互相平行
C．若平面 上有三个不共线的点到平面 的距离相等，则平面 与平面 平行
D．若不共面的4个点到平面 的距离相等，则这样的平面 有且只有7个
知识点5：等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【诊断自测】已知空间中两个角 ， ，且角 与角 的两边分别平行，若 ，则 ．
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
【典例1-1】如图，在正四棱台 中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC， ， 上的点．已知 ， ， ， ，正四棱台 的高为6．
证明：直线MQ， ，NP相交于同一点．
【典例1-2】空间四边形 中，点 分别在 上，且 ．
求证： 四点共面．
【方法技巧】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式1-1】在直三棱柱 中， ，侧棱长为3，侧面积为 .(1)求三棱锥 的体积;
(2)若点D、E分别在三棱柱的棱 上，且 ，线段 的延长线与平面 交于
三点，证明： 共线.
【变式1-2】已知在正方体 中，E、F分别为 、 的中点， ，
．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若 交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；
(3)DE、BF、 三线交于一点．
【变式1-3】如图，在长方体 中， 、 分别是 和 的中点．
(1)证明： 、 、 、 四点共面；
(2)对角线 与平面 交于点 ， 交于点 ，求证：点 共线；
(3)证明： 、 、 三线共点．
题型二：截面问题
【典例2-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 外接球的体积为 ， 、 、 分别
为棱 的中点，则平面 截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．【典例2-2】（2024·四川泸州·三模）已知正方体 的棱长为2，P为 的中点，过A，
B，P三点作平面 ，则该正方体的外接球被平面 截得的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们
的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 中，点 是线段 上靠近 的三等分
点，点 是线段 上靠近 的三等分点，则平面AEF截正方体 形成的截面图形为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，
用过点 ，E， 的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A． B．9 C． D．
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截该
正方体所得的截面多边形为 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】已知正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为棱 上异于端点的动点，
若平面 截该正方体所得的截面为五边形，则线段 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式2-5】已知正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点， 为侧面 的中心，过点
的平面 垂直于 ，则平面 截正方体 所得的截面周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】（2024·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.
过 的平面 与正四面体 相截，得到一个截面多边形 ，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形 不可能是平行四边形 B．截面多边形 的周长是定值
C．截面多边形 的周长的最小值是 D．截面多边形 的面积的取值范围是
题型三：异面直线的判定
【典例3-1】如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线 是异面
直线的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面
ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B． ，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D． ，AC与EF是异面直线【方法技巧】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式3-1】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直
线MN与PQ是异面直线的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【变式3-2】已知正方体 ，点 在直线 上， 为线段 的中点，则下列说法不正确
的是（ ）
A．存在点 ，使得 ； B．存在点 ，使得 ；
C．直线 始终与直线 异面； D．直线 始终与直线 异面.
题型四：异面直线所成的角
【典例4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱 的体积为16，则直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知两条异面直线a，b所成角为 ，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为 ，则
这样的直线l有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【方法技巧】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正
方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【变式4-1】（2024·高三·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱 中， ， ，则直线
与直线 所成角的正切值为 ．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 中， ， ， ，
为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是 ．
【变式4-3】如图，已知四棱锥 ，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为
CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2024·高三·江苏南京·期中）已知矩形 中， 是边 的中点． 和
交于点 ，将 沿 折起，在翻折过程中当 与 垂直时，异面直线 和 所成角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】四面体 中， ， ， ，求 与 所成角的余弦值的取
值范围 ．题型五：平面的基本性质
【典例5-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面
C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面
【典例5-2】（2024·陕西榆林·二模）下列说法中正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两个平面垂直
C．一块蛋糕3刀可以切成6块
D．一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内
【方法技巧】
平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一
个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基
本构成单元，其存在与确定的唯一性。
【变式5-1】（2024·宁夏银川·三模） 是两个不同的点， 为两个不同的平面，下列推理错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（
）
A．42 B．56 C．64 D．81
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆柱 中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且
，若 是弧BC的中点， 是线段AB的中点，则（ ）
A． 四点不共面 B． 四点共面
C． 为直角三角形 D． 为直角三角形题型六：等角定理
【典例6-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体 中， 是棱 的中点，记平面
与平面 的交线为 ，平面 与平面 的交线为 ，若直线 分别与 所成的角为
，则 ， .
【典例6-2】设 与 的两边分别平行，若 ，则 .
【方法技巧】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【变式6-1】已知空间中两个角 ，且 ，若 ，则
.
【变式6-2】过正方体 的顶点 在空间作直线 ，使 与平面 和直线 所成的角都
等于 ，则这样的直线 共有 条．
【变式6-3】如图，已知直线 ， 为异面直线， 为直线 上三点， ， ， 为直线 上三点， ，
， ， ， 分别为 ， ， ， ， 的中点.若 ，则 .1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））设四面体的六条棱的长分别为1，1，
1，1， 和 ，且长为 的棱与长为 的棱异面，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学）过正方体 的顶点A作直线
，使 与棱AB，AD， 所成的角都相等，这样的直线 可以作（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））已知 是两个相交平面，空间两条直
线 在 上的射影是直线 在 上的射影是直线 .用 与 ， 与 的位置关系，写出一个总
能确定 与 是异面直线的充分条件： .
5．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知三棱柱 的侧棱与
底面边长都相等，若 在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与 所成的角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
1．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
2．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些
线段所在直线是异面直线？
3．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：
P，Q，R三点共线.
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直
线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？5．正方体各面所在平面将空间分成几部分？
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误
易错分析： 在空间几何中，点、线、面间的位置关系判断错误常源于对基本概念的模糊理解或忽视。
【易错题1】若直线 ， ， 满足 ， ， 异面，则 与 （ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【易错题2】在空间四边形 的边 、 、 、 上分别取点E、F、G、H，若 与 相交
于一点M，则M（ ）
A．一定在直线 上；
B．一定在直线 上；
C．可能在直线 上，也可能在直线 上；D．不在直线 上，也不在直线 上．
答题模板：异面直线所成的角
1、模板解决思路
根据异面直线所成角的定义，我们可以通过平移的方式，将两条原本不在同一平面内的异面直线转化
为在同一平面内相交的直线。接下来，我们需要证明这两条相交直线所形成的角，实际上就是原本那两条
异面直线所成的角。一旦证明了这一点，我们就可以利用解三角形等数学方法，来求解这个角的具体大小。
2、模板解决步骤
第一步：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
第二步：证明作出的角是异面直线所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例题1】如图所示，圆锥的底面直径 ，高 ， 为底面圆周上的一点，且
，则直线 与 所成角的大小为 ．
【典型例题2】如图，直线 平面 为正方形， ，则直线 与 所成角的大小
为 ．
