文档内容
二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）在根式中，同类二次根式有（ ）组
① 和√ x；② 和√ y ；③√a2+b2和 ；④√ y和√ x；⑤√ b+a和
❑√4x y2 ❑ ❑√2xy ❑ ❑ ❑√a2+b2 ❑ ❑ ❑
y 2x 2 x y b−a
√ 1 1
❑ − (b>a>0)
a2 b2
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）（2024八年级上·全国·专题练习）若❑√a−3+❑√b−2=0，则下列各数中，与❑√3的积为有理数
的是（ ）
A．❑√a B．❑√b C．❑√a+b D．❑√ab
3．（3分）（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为0，❑√2，2，❑√6，2❑√2，❑√10，2❑√3
，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与(3+a)的积为有理数的是（ ）
A．2❑√2−1 B．2❑√5+2 C．❑√5−1 D．❑√2−1
4．（3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数 满足 ．则这样的
a、m、n ❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n
a、m、n的取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
√ y √ x
5．（3分）（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，xy=5，那么 x❑ + y❑ 的值为
x y
（ ）
A．−❑√5 B．±❑√5 C．❑√5 D．±2❑√5
6．（3分）（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值为（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
7．（3分）（23-24八年级下·浙江·阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式
的值为（ ）
❑√x2+2xy+ y2+x−y−4
❑√3 3 ❑√5−1
A． B． C．❑√3−1 D．
2 4 2
1
8．（3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知x= ，则
❑√2024−❑√2023
x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2023 D．❑√2024
9．（3分）（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知多项式 ，下列说法正确的有（ ）
A =x2+nx+1
n
个：
①若x=−1，则A =0；
2
A
②若 3 为整数，则整数x的值为2或6；
x−1
❑√3
③❑√2A +12的最小值为 ；
5 2
1
④令B = ，则B +B +B +⋯+B =❑√A +101−❑√A +1．
m ❑√A +m+❑√A +m+1 1 2 3 100 1 1
1 1
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如
2+❑√3 (2+❑√3)(2+❑√3) ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根
= =7+4❑√3
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)
号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（ ）
3
①若a是❑√2的小数部分，则 的值为❑√2+1；
a
1 1
②比较两个二次根式的大小 > ；
❑√6−2 ❑√5−❑√3
2 2 2 2 ❑√3
③计算 + + +⋯+ =1− ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99 31
④对于式子 ，对它的分子分母同时乘以❑√5−❑√2或❑√5或7−2❑√10，均不能对其分母有理化；
❑√5−❑√2
⑤设实数x，y满足 ，则 ；
(x+❑√x2+2024)(y+❑√y2+2024)=2024 (x+ y) 2+2024=2024
❑√n+1−❑√n 1
⑥若x= ，y= ，且19x2+123xy+19 y2=1985，则正整数n=2．
❑√n+1+❑√n x
A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）（23-24八年级下·安徽·阶段练习）已知A=2❑√2x+1，B=3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中
A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．
12．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若m满足关系式
❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=❑√1−x−y⋅❑√x−1+ y ，则m= ．
x−y x+ y−2❑√xy
13．（3分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）化简 − = ．
❑√x−❑√y ❑√x−❑√y
14．（3分）（24-25九年级上·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件
1
❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，则xy−z的值是 ．
4
√1
15．（3分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）在算式“○+❑√8□❑ ”中，“○”表示实数，
2
“□”表示“+”“−”“×”“÷”中的某一个运算符号．
9❑√2
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为 ，则“○”表示的数为 ；
2
（2）若“○”表示的是（1）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（12分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算：
√1
（1）❑√12−3×❑ +√3−8；
3√1 ❑√600
（2）❑√54−4❑ + ；
6 3
❑√72−❑√16
（3）(❑√3+1)(❑√3−1)− ；
❑√8
（4）❑√12−2❑√35；
（5）❑√5−❑√24；
（6）❑√4+❑√15+❑√4−❑√15．
17．（4分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿
地的长BC为9❑√3m，宽AB为8❑√2m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方
形花坛的长为(❑√14+1)m，宽为(❑√14−1)m．
（1）求长方形ABCD的周长．
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，则购买地砖
需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
18．（4分）（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题：
①√ 1 1 1 1 1；
❑1+ + =1+ − =1
12 22 1 1+1 2
②√ 1 1 1 1 1；
❑1+ + =1+ − =1
22 32 2 2+1 6③√ 1 1 1 1 1 ；
❑1+ + =1+ − =1
32 42 3 3+1 12
（1）根据上面三个等式，请猜想√ 1 1 的结果（直接写出结果）
❑1+ +
42 52
（2）根据上述规律，解答问题：
设 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，求不超过 的最大整数是多
m=❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + m
12 22 22 32 32 42 20232 20242
少？
19．（6分）（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面
积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
a+b+c
p= ，则其三角形的面积公式为：
2
①S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式），
② S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )（秦九韶公式）．
4 2
已知在 中， ，且a，b，c满足 ．
△ABC AB=c，BC=a，AC=b (a−❑√5) 2+|b−❑√5)+❑√c−4=0
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出△ABC的面积；
（3）如图，若CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，求DE的长．20．（6分）（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方
法”会取得很好的效果．例如，比较a=2❑√3和b=3❑√2的大小，我们可以把a和b分别平方．
因为a2=12，b2=18，
所以a2”，“<”或“=”）．
3−❑√7 ❑√11−3（2）运用分子有理化，比较❑√7−❑√6与❑√6−❑√5的大小，并说明理由；
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ；
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2023+❑√2024
2
（4）若a= ，求3a2−6a+5的值．
❑√3−1
22．（8分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
1 1 1 1 1 1 1 1
小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1− ， = − ， = − ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
发现规律： = − （n为正整数），并证明了此规律成立．
n⋅(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10
材料二：根式化简
例1 1 1 ❑√3−1 1( 1 )；
= = = 1−
3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3例2 1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )
= = = −
5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5
任务一：化简．
1
（1）化简：
7❑√5+5❑√7
1
（2）猜想： = ___________________（n为正整数）．
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
任务二：应用
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
任务三：探究
❑√3−1
（4）已知x= ，
2
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
y= + +⋯+ ，比较x和y的
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
大小，并说明理由．
23．（9分）（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等
1 1
变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，ab=1，求证： + =1．证
1+a 1+b
ab 1 b 1
明：左边= + = + =1=右边．
ab+a 1+b 1+b 1+b1
阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为 ab，四个直角三角
2
形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号．在a2+b2≥2ab中，若
a+b
a>0，b>0，用❑√a、❑√b代替a，b得，a+b≥2❑√ab，即 ≥❑√ab（∗），我们把(*)式称为基本不
2
1 √ 1 1 1 1
等式．例如：在x>0的条件下，x+ ≥2❑ x⋅ ，∴x+ ≥2，当且仅当x= ，即x=1时，x+ 有最小
x x x x x
值，最小值为 2．
1 2
阅读材料三：正实数a，b满足a+b=1，求 + 的最小值?
a b
1 2 (1 2) b 2a b 2a
其中一种解法是： + = + (a+b)=1+ + +2≥3+2❑√2，当且仅当 = 且a+b=1时，即
a b a b a b a b
a=❑√2−1且b=2−❑√2时取等号．
请同学们根据以上所学的知识解决下列问题．
1 x+4❑√x+13
（1）若x>2，求y=x+ 的最小值________；若x≥0，求y= 的最小值________．
x−2 ❑√x+2
( 1)( 8)
（2）已知a>0,b>0且a+b=1，求 1+ 1+ 的最小值是?
a b
1 1
（3）a>0,b>0，且a+2b=1，不等式 + −m≥0恒成立，求m的范围?
2b a+b
（4）已知a>0,b>0,且a2b+3ab2=3a+b，求a+3b的最小值?
