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空间直线、平面的垂直
5-5
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
5-5 空间直线、平面的垂直........................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：直线与平面垂直...................................................1
2.直线和平面所成的角.....................................................2
3．二面角................................................................2
4．平面与平面垂直........................................................2
【常用结论总结】.........................................................3
二、分类题型................................................................3
题型一 直线与平面垂直的判定与性质........................................3
题型二 平面与平面垂直的判定与性质........................................4
题型三 垂直关系的综合应用................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................6一、主干知识
考点1：直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个平面内的
判定
两条相交直线垂直，那么该直
定理 ⇒l⊥α
线与此平面垂直
性质 垂直于同一个平面的两条直线
定理 平行 ⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂
直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围： .
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围：[0，π]．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 如果一个平面过另一个平面的
定理 垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β
两个平面垂直，如果一个平面
性质 内有一直线垂直于这两个平面
定理 的交线，那么这条直线与另一 ⇒l⊥α
个平面垂直
【常用结论总结】
1．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
二、分类题型题型一 直线与平面垂直的判定与性质
【例题精析1】 （2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
【例题精析2】 （2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形 中，四边形 为
正方形， ， ，如图2，将 沿 折起，使得A至 处，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性 (a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
【对点精练1】 （2023·河南·襄城高中校联考三模）如图所示，在直四棱柱 中， ，
，且 是 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 ，求四棱柱 的体积.
【对点精练2】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，矩形 所在的平面与平面
垂直，且 .已知 .
(1)求证： ；
(2)求四棱锥 的表面积.题型二 平面与平面垂直的判定与性质
【例题精析3】 （2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中， 与
均是等边三角形，直线 平面 ，直线 平面 ， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【例题精析4】 （2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图，在四棱锥 中， ，
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)已知 ， ， .若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直
线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．【对点精练3】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，矩形 所在的平面与平面
垂直，且 .已知 .
(1)求证： ；
(2)求四棱锥 的表面积.
【对点精练4】 （2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长度；
(3)求二面角 的大小．题型三 垂直关系的综合应用
【例题精析5】 如图，已知ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
是底面为正方形的长方体，∠AD
1
A
1
＝60°，AD
1
＝4，点P是
AD 上的动点．
1
(1)试判断不论点P在AD 上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AADD，并证明你的结论；
1 1 1
(2)当P为AD 的中点时，求异面直线AA 与BP所成的角的余弦值；
1 1 1
(3)求PB 与平面AAD 所成角的正切值的最大值．
1 1 1【例题精析6】 如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正
三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相
关定理、性质进行推理论证．
【对点精练5】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，
BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•广西一模）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为
A． B．1 C． D．
2．（2023•潍坊模拟）如图，在正三棱锥 中， ， ， 为底面 的中心，点
在线段 上，且 ，若 平面 ，则实数
A． B． C． D．
3．（2023•张家口一模）已知正方体 ，则下列选项不正确的是
A．直线 与 所成的角为
B．
C． 平面
D．4．（2023•呼和浩特模拟）如图，在正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方体
的顶点．则满足 的是 ．（填写正确的序号）
5．（2023•杨浦区校级模拟）如图，矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直， ，
．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求证： ．
6．（2023•广西模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， ， ，
．点 为棱 的中点，点 为棱 上的一点，且 ，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ．
7．（2023•泰和县校级一模）如图，四棱锥 ，平面 平面 ， ． ，
， ， ， 为 中点．
（1）求证： ．
（2）求证： 平面 ．8．（2023•芦溪县校级一模）如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形，
， ， ， 是 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
9．（2023•吉州区校级一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
10．（2023•江西模拟）如图，在几何体 中， ， ，已知平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，设 为棱 上的点，且满足 ，求当几何体 的体积取最大值
时 与 所成角的余弦值．11．（2023•江西模拟）如图所示，圆锥的高 ，底面圆 的半径为1，延长直径 到点 ，使得
，分别过点 ， 作底面圆 的切线，两切线相交于点 ，点 是切线 与圆 的切点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）点 到平面 的距离为 ，求 的值．
12．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥 中， ，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，且四棱锥 的体积为 ，
求 与平面 所成的线面角的大小．
13．（2023•思明区校级四模）已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ，
， ， 为 的中点，（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， 与平面 所成的角为 ，试问“在侧面 内是否存在一点 ，使得
平面 ？”若存在，求出点 到平面 的距离；若不存在，请说明理由．
14．（2023•岳阳县模拟）如图，在四棱锥 中，已知 底面 ， ， ，
， ， 是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 是 的中点，且二面角 的余弦值是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
15．（2023•琼山区校级二模）已知平面四边形 （图 中， ， 均为等腰直角三角形，
， 分别是 ， 的中点， ， ，沿 将 翻折至 的位置（图 ，
拼成三棱锥 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）当二面角 的平面角为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值．16．（2023•郑州二模）如图，在长方体 中， ， 和 分别是棱 和
的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
