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空间点、直线、平面之间的位置关系
5-3
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、
平面的位置关系的定义．
2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
5-3 空间点、直线、平面之间的位置关系......................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：平面..............................................................................................................................................2
考点2：“三个”推论............................................................................................................................2
考点3：空间中直线与直线的位置关系............................................................................................2
考点4：空间中直线与平面的位置关系............................................................................................2
考点5：空间中平面与平面的位置关系............................................................................................2
考点6：等角定理.....................................................................................................................................2
考点7：异面直线所成的角...................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................4
题型一 基本事实应用.............................................................................................................................4
题型二 空间线面位置关系....................................................................................................................5
命题点1 空间位置关系的判断.................................................................................................5
命题点2 异面直线所成角...........................................................................................................5
题型三 空间几何体的切割(截面)问题............................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7一、主干知识
考点1：平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
考点2：“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
考点3：空间中直线与直线的位置关系
考点4：空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
考点5：空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
考点6：等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
考点7：异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成
的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围： ．二、分类题型题型一 基本事实应用
【例题精析1】 （2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，
G，H分别在BC，CD上，且 ．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
【例题精析2】 （2023春·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台 中，E，F，G，H分
别为棱 ， ，AB，BC的中点．
(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH， 相交于一点．
共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【对点精练1】 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，
且 .求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
【对点精练2】 在四面体 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别是边 ， 上的点，且
．求证：
(1) ， ， ， 四点共面；
(2)直线 ， ， 相交于一点．题型二 空间线面位置关系
命题点1 空间位置关系的判断
【例题精析3】 下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
【对点精练3】 已知在长方体ABCD－ABC D 中，M，N分别是长方形ABC D 与长方形BCC B 的中心，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则下列说法正确的是( )
A．直线MN与直线AB是异面直线 B．直线MN与直线DD 相交
1 1
C．直线MN与直线AC 是异面直线 D．直线MN与直线AC平行
1 1命题点2 异面直线所成角
【例题精析4】 （2021·全国·统考高考真题）在正方体 中，P为 的中点，则直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析5】 如图，正方体 中，E，F分别是 ，DB的中点，则异面直线EF与 所
成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析6】 （2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，
，则直线 与 所成角的余弦值等于（ ）A． B． C． D．0
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助
正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【对点精练4】 如图，在正方体 中， 是 的中点，则异面直线 和 所成角的大小
为 ．
【对点精练5】 （2023·高一单元测试）在正三棱柱 中，D为棱AB的中点， 与 交于点
E，若 ，则CD与 所成角的余弦值为 ．题型三 空间几何体的切割(截面)问题
【例题精析7】 在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别是棱DD
1
和BB
1
上的点，MD＝DD
1
，NB＝BB
1
，那
么正方体中过M，N，C 的截面图形是( )
1
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【解答】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．
如图，设直线C M，CD相交于点P，直线C N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB
1 1
于点F，则五边形C MEFN为所求截面图形．
1
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出
它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．【对点精练6】 如图，正方体AC的棱长为1，点M在棱AD 上，AM＝2MD ，过M的平面α与平面ABC
1 1 1 1 1 1 1
平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•河南模拟）如图，在正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，则过线
段 且垂直于平面 的截面图形为
A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形
2．（2023•河南模拟）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，过 ， ，
三点的平面截正方体 所得的截面形状为A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
3．（2023•洛阳模拟）已知正四棱锥 的底面边长为2，侧棱长为 ， 的中点为 ，过点
做与 垂直的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为
A． B． C． D．
4．（2023•新乡三模）如图，在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，过 ， ，
三点的截面把正方体 分成两部分，则该截面的周长为
A． B． C． D．
5．（2023•新疆模拟）已知在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ，
， ， ，如图所示，若过 、 、 三点的平面作该直三棱柱 的截面，
则所得截面面积为A． B． C． D．
6．（2023•金凤区校级三模）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为长方形，
， ， 为 上一点，且 ，则异面直线 与 所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
7．（2023•柯桥区模拟）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形
的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， 面 ， ，底面
扇环所对的圆心角为 ， 的长度是 长度的2倍， ，则异面直线 与 所成角的正弦值
为
A． B． C． D．
8．（2023•河南三模）已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
9．（2023•甘肃模拟）在直三棱柱 中， ，点 ， 分别是
， 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
10．（2023•定远县校级一模）如图，在长方体 中，已知 ， ， 为
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
11．（2023•安康一模）在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的
余弦值为
A． B． C． D．
12．（2023•台州二模）已知菱形 的边长为3，对角线 长为5，将 沿着对角线 翻折至△，使得线段 长为3，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
13．（2023•新余二模）在长方体 中， ， ，点 、 分别是棱 、
的中点， 、 、 平面 ，直线 平面 ，则直线 与直线 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
14．（2023•陕西模拟）在正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则异
面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
15．（2023•梅河口市校级一模）直三棱柱 如图所示， ， ， ， 为棱
的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为 ，则异面直线 和 所成的角的余
弦值为
A． B． C． D．16．（2023•贵州模拟）如图，圆柱的底面直径 与母线 相等， 是弧 的中点，则 与 所成
的角为
A． B． C． D．
17．（2023•河南模拟）在正三棱柱 中， ， 为 的中点， 为 的中点，则
异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
18．（多选）（2023•合肥三模）下列命题正确的有
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面 ， ，则存在直线 ， ，使得 ， 为异面直线
C．过平面 外一定点 ，有且只有一个平面 与 平行
D．已知空间中有两个角 ， ，若直线 直线 ，直线 直线 ，则
或
19．（2023•咸宁模拟）已知正方体的棱长为2，点为的中点，平面，平面过点，则平面截正方体所得截面
图形的面积为 ．
