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导数的概念及其意义、导数的运算
7-1
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))
的导数．
7-1 导数的概念及其意义、导数的运算..........................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：导数的概念................................................................................................................................2
考点2：导数的几何意义.......................................................................................................................2
考点3：基本初等函数的导数公式.....................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................3
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 导数的运算.................................................................................................................................4
题型二 导数的几何意义........................................................................................................................4
命题点1 求切线方程....................................................................................................................4
命题点2 求参数的值(范围)......................................................................................................5
题型三 两曲线的公切线........................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：导数的概念
1、导数的定义：如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立
f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数
和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称
导数．
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作f′(x)或 .f′(x)＝lim ＝lim .
0 0 0
(2)函数y＝f(x)的导函数：f′(x)＝lim .
考点2：导数的几何意义
函数f（x）在x＝x
0
处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x
0
处的导数的几何意义：k切线 ＝f′
（x ）＝ ．
0
考点3：基本初等函数的导数公式
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数） ②（xn）′＝nxn﹣1 （n R） ③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx ⑤（ex）′＝ex⑥（ax）∈′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[log x）]′＝ *（log e）＝ （a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝ ．
a a
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[ ]′＝ ．
3、导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；[f(x)g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝ cf ′ ( x ) ．
4、复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y
x u x
对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论总结】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．二、分类题型
题型一 导数的运算
【例题精析1】 （2023·上海·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ；(5) ；(6) ．
【例题精析2】 （全国·高考真题）设 ，求 ．
【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）求函数 的导数
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求
导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．【对点精练1】 （2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ；(5) ；(6) ．
【对点精练2】 （2023·全国·高三专题练习）求函数 的导函数.
【对点精练3】 （2023·全国·高三专题练习）求函数 的导函数
【对点精练4】 （2022·全国·高二专题练习）函数 的导函数是 ，则
______________.题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
【例题精析4】 （2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）函数 在 处的切线方程为
________．
【例题精析5】 （2023春·陕西西安·高二校考期末）若函数 为定义在 上的奇函数，则
曲线 在点 处的切线方程为________．
【例题精析6】 （2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析7】 （2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其导函数为 ，则曲线
过点 的切线方程为______．
【例题精析8】 （2023春·天津滨海新·高二校考期中）过点 与曲线 相切的切线方程为
___________．【对点精练5】 （2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为___________
【对点精练6】 （2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数 为定义在R上的偶函数，且
当 时， ，则函数 在 处的切线斜率为___________.
【对点精练7】 （2023·广东东莞·校联考模拟预测）函数 在点 处的切线方程为________.
【对点精练8】 （2023·全国·高三专题练习）过点 与曲线 相切的直线方程为
______．
【对点精练9】 （2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）写出曲线 过点
的一条切线方程__________．
【对点精练10】 （2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线 的切线 ，
则 的方程为___________.命题点2 求参数的值(范围)
【例题精析9】 （2023春·江苏南京·高二校考期末）已知函数 的图象在点 处的切
线斜率为1，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【例题精析10】 （2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 的图象在点
处的切线斜率为2，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
【对点精练11】 （2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线 的一条切线为
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【对点精练12】 （2023·全国·高二专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线与直线互相垂直，则实数 ________．
【对点精练13】 （2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知 ， 为正实数，函数 在
处的切线斜率为 ，则 的最小值为 ______ ．
题型三 两曲线的公切线
【例题精析11】 （2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 的图像关于原点对称，则与曲
线 和 均相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例题精析12】 （2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相切，
则实数 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【例题精析13】 （2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【对点精练14】 （2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数 ， ，
若直线 为 和 的公切线，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【对点精练15】 （2023·山东烟台·统考三模）若曲线 与曲线 有两条公切线，则 的值为
________．
【对点精练16】 （2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 ，若曲线
与曲线 存在公切线，则实数 的最大值为__________．
【对点精练17】 （2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线 和曲线 有唯一公共点，且这两条曲
线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2017•上海）在数列 中， ， ，则
A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在
2．（2022•甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （2）
A． B． C． D．1
3．（2020•全国）设函数 ，若 ，则
A．3 B． C． D．1
4．（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若
， 均为偶函数，则
A． B． C． （4） D． （2）5．（2022•上海）已知函数 为定义域为 的奇函数，其图像关于 对称，且当 ， 时，
，若将方程 的正实数根从小到大依次记为 ， ， ， ， ，则
．
6．（2019•上海）计算 ．
7．（2020•新课标Ⅲ）设函数 ，若 （1） ，则 ．
8．（2019•全国）若函数 ， ，则 ．
9．（2018•天津）已知函数 ， 为 的导函数，则 （1）的值为 ．
10．（2016•天津）已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为 ．
11．（2018•江苏）记 ， 分别为函数 ， 的导函数．若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
（3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区
间 内存在“ 点”，并说明理由．
1．（2015•莆田一模）常用以下方法求函数 的导数：先两边同取以 为底的对数， 为 自 然 对 数 的 底 数 ） 得 ， 再 两 边 同 时 求 导 ， 得
，即 ．运用此方法可以求函数
的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是
A． B． C． D．
2．（2014•鼓楼区校级模拟）下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
3．（2015•莆田校级模拟）定义：如果函数 在 ， 上存在 ， 满足
， ，则称函数 是 ， 上的“双中值函数”．已知函数
是 ， 上的“双中值函数”，则实数 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
4．（2023•漳州模拟）函数 的导函数为 ，则
A．0 B．1 C． D．
5．（多选）（2023•鼓楼区校级模拟）定义在 上的函数 、 ，其导函数分别为 、 ，若
， ， ， ，则
A． 是奇函数 B． 关于 对称C． 周期为4 D． （1） （3） （5）
6．（福建模拟）设 是函数 的导函数，且 ．现给出以下四个命题：
①若 是奇函数，则 必是偶函数；②若 是偶函数，则 必是奇函数；
③若 是周期函数，则 必是周期函数；④若 是单调函数，则 必是单调函数．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
7．（2023•思明区校级模拟）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
① ；② ．
8 ． （ 2023• 鲤 城 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 是 偶 函 数 ， 是 的 导 函 数 ， 且
，当 时， ，写出满足条件的一个函数 ．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）已知函数 ，则函数 ．
1．（2019•濮阳一模）已知 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，都有
恒成立，则 的取值范围是
A． ， B． C． D． ，
2．（2020•南充模拟）设 ，函数 的导函数是 ，且 是奇函数．若曲线
的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为
A． B． C． D．3 ． 已 知 ， 且 满 足
的整数 共有 个， 的最大值为 ，且 ，
则实数 的取值范围为 ．
