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平面向量基本定理及坐标表示
4-2
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
4-2 平面向量基本定理及坐标表示....................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：平面向量基本定理...................................................................................................................1
2．平面向量的正交分解........................................................................................................................2
3．平面向量的坐标运算........................................................................................................................2
4．平面向量共线的坐标表示...............................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................2
题型一 平面向量基本定理的应用......................................................................................................2
题型二 平面向量的坐标运算...............................................................................................................3
题型三 向量共线的坐标表示...............................................................................................................4
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................5一、主干知识
考点1：平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ ，
1 2 1
λ，使a＝λe＋λe.
2 1 1 2 2
若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2 1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝(x＋x，y＋y)，a－b＝(x－x，y－y)，λa＝(λx ，λy )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝(x－x，y－y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔xy－xy＝0.
1 1 2 2 1 2 2 1二、分类题型
题型一 平面向量基本定理的应用
【例题精析1】 已知向量 ， 不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【解答】A选项，设 ，则 ，无解，故 和 是不共线的向量，可作为一组
基底，A错误；B选项，∵ ，∴ 和 共线，不能作为一组基底，故B
正确；C选项，设 ，则 ，无解，故 和 不共线，故可作为一组基底，C错误；D
选项，设 ，则 ，无解， 和 不共线，可作为一组基底，D错误..故选：
B
【例题精析2】 在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．【解答】
由D为 中点，根据向量的运算法则，可得 ，
在 中， .故选:D．
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结
论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【对点精练1】 在 中， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解答】 中， ， ，如图所示，.故选：C
【对点精练2】 如图，在平行四边形 中，M，N分别为 ， 上的点，且 ， ，
连接 ， 交于P点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】在 中，取 为平面的基底，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，知 ，
由 ，得 ，
因此 ，则 ，解得 ，
所以 .故选：C题型二 平面向量的坐标运算
【例题精析3】 已知 ，若 ，则点 的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【解答】解：设 ，则 ， ，
根据 ，得 ，即 ，解得： ，
所以点 的坐标为 .故选：D.
【例题精析4】 已知 ，若 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【解答】因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故选：A.
【例题精析5】 已知向量 ，若 ，则实数 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】 ，因为 ，所以 ，解得
.故选：B
【例题精析6】 向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为____________.
【解答】解：根据投影的定义可得：
在 方向上的投影为： ．
故答案为： ．
【例题精析7】 已知向量 ， ， ，若点 ， ， 三点共线，则实
数 _________．
【解答】 ， ，
因为点 ， ， 三点共线，所以 ，解得 .故答案为： .
向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与
形结合的载体．题型三 向量共线的坐标表示
【例题精析8】 已知向量 ， ，且 ．则 的值为（ ）
A． B．0 C． D．不存在
【解答】因为 ， ，且 ,
所以 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
故选：C
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x y ＝x y .
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【对点精练3】 已知 的顶点 ， ， ，则顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ， ， ，由平行四边形可得 ，
设 ，则 ，所以 ，即 的坐标为 .故选：B.
【对点精练4】 如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，，则 （ ）
A． B． C． D．2
【解答】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角
坐标系，设 ，则 ，由 ， ，则 且 ，又 ，
，即 ，
∴ ，由 ，有 ，解得 ，故
.
法二：如图，过C作 交AB的延长线于E，作 交AD的延长线于F，
∴ .
由 ， 及 ，易知：B是线段AE的中点，于是 .
由 ， ，得 ，易知 ， ，
∴ ，则 ，故 ，于是 ，又 ，∴ ，即 .
法三：设 ，由 ， ，得 ， ，
由 ，得 ，又 ，则 .
又 ，
，
∴ ，于是 ，故 .
故选：B.
【对点精练5】 若向量 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【解答】 ，因为 ，
所以 ，解得 .故选：A.
【对点精练6】 平面四边形 中， ， ， ， ， ，点 在直线
上，点 在直线 上，且 ， ， ，则 的最小值为
______.【解答】过点 作 于 点.因为 ， ，
所以 ， ， .
如图，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以， ， ， ， ，
所以， ， ，
所以， ， .
因为 ，
所以有 ，
所以 ，所以 ，
所以， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故答案为： .三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•浠水县校级三模）在平行四边形 中， ．若 ，则
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ：
，
所以 ，
则 ．
故选： ．
2．（2023•高州市二模）已知向量 ， ，若 与 平行，则实数 的值为A． B． C．6 D．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
又 与 平行，
所以 ，解得 ．
故选： ．
3．（2023•安康模拟）已知向量 ，若 与 共线，则
A． B． C． D．5
【解答】解：由题意可得 ，
与 共线， ，解得 ，
．
故选： ．
4．（2022•新高考Ⅰ）在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
，，即 ．
故选： ．
5．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量 ， 的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的是
A． B． C． D．
【解答】解：单位向量 ， ，
对于 ， ，所以 与 不垂直；
对于 ， ，所以 与 不垂直；
对于 ， ，所以 与 不垂直；
对于 ， ，所以 与 垂直．
故选： ．
6．（2019•北京）设点 ， ， 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：点 ， ， 不共线，
， ，
当 与 的夹角为锐角时， ，
“ 与 的夹角为锐角” “ ”，
“ ” “ 与 的夹角为锐角”，
设点 ， ， 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的充分必要条件．
故选： ．7．（2018•新课标Ⅰ）在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B． C． D．
【解答】解：在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，
，
故选： ．
8．（2017•新课标Ⅲ）在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上．
若 ，则 的最大值为
A．3 B． C． D．2
【解答】解：如图：以 为原点，以 ， 所在的直线为 ， 轴建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ， ，
动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，
设圆的半径为 ，
， ，
，
，
圆的方程为 ，
设点 的坐标为 ， ，
，， ， ， ， ，
， ，
，其中 ，
，
，
故 的最大值为3，
方法二：根据向量分解的等系数和线，可得 的最大值为3，如图所述
故选： ．
9．（2023•广西一模）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，
后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．
在“赵爽弦图”中，若 ，则A． B． C． D．
【解答】解： ，
则 ，
，
所以 ．
故选： ．
10．（2023•武威模拟）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
则 错误， 正确．
故选： ．
11．（2023•陕西模拟）已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为A． B． C． D．
【解答】解：因为向量 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
解得 ．
故选： ．
12．（2023•平定县校级模拟）已知向量 ， ， ，且 ，则实数
A． B．0 C．1 D．任意实数
【解答】解： 向量 ， ， ，且 ，
， ， ，
则实数 ，
故选： ．
13．（2023•东城区校级模拟）如果平面向量 ， ，那么下列结论中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由平面向量 ， ，知：
在 中， ， ， ，故 错误；
在 中， ，故 错误；
在 中， ， ， ，故 正确；在 中， ， 与 不平行，故 错误．
故选： ．
14．（2023•龙口市模拟）已知向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： ， ， ， ，
，解得 ，或 ，
“ ”是“ ”的充分比必要条件，
故选： ．
15．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量 ， ，若 与 共线，则 等于
A． B． C． D．2
【解答】解： ， ， 与 共线，
， ，则 ，
故选： ．
16．（2023•青羊区校级模拟）已知向量 ， ，且 ，则 ．
【解答】解：已知向量 ， ， ，
，
，解得 ，
， ．
故答案为： ．1．已知向量 ， ， ， 且 ，则 的最小值是
A． B． C．2 D．4
【解答】解： 向量 ， ，且 ，
，
；
又 ， ，
，
，
，
当且仅当 时，取“ ”．
即 的最小值是 ．
故选： ．
2．在梯形 中 ，已知 ， ，若 则
A． B． C． D．3
【解答】解：由题意，如图， ，
所以 ， ，所以 ．
故选： ．
