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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 01 讲 集合（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
2．（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），
设 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 ，则 为 的中位线，
，故选：A
二、双空题
3．（2022·天津·统考高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示
为___________，若 ，则 的最大值为____________
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由
可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹为
以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 与
相切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：
， ，
，当且仅当 时取等号，而，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知点 ，向量 ，则向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，从而根据 ，即可求出向量 的坐标．【详解】由题意，点 ，所以 ，
则 ，
故选:A．
2．已知 为坐标原点，点 ， ， 是线段AB的中点，那么向量 的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解.
【详解】由中点坐标公式可得 ,所以 ,
故选：B
3．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A， ，不可以作为基底，A错误；
对于B， ， 共线，不可以作为基底，B错误；
对于C， 与 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D， ， 共线，不可以作为基底，D错误.
故选：C4．已知 ， ， ，则m＝（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可；
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
5．在 中，已知 是 边上的中点， 是 的中点，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据 是 边上的中点， 是 的中点，得到 ，再利用平面向量的线性
运算求解.
【详解】解：因为 是 边上的中点， 是 的中点，
所以 ，
所以 ，
，
又因为 ，
所以 ，则 ，
故选：C
6．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可求出结果.【详解】因为 ，所以 ，解得 .
故选：A
7．如图，在 OAB中，P为线段AB上的一点，且 ．若 ，则（ ）
△
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.
【详解】因为 ，所以有 ，
整理可得 .
故选：A.
8．在梯形 中，若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.
【详解】由题意， ，化简得 ，
即 ，则 ，
故选：A.
9．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先判断 为 的中位线，可得 ，化简可得结论．
【详解】如图所示：
∵E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，故 为 的中位线，
则 .
故选：B．
10．平行四边形 中，点 在边 上， ，记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.
【详解】在 中， ， ，
所以 .
故选：D
11．在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量基本定理表示出 ，即可得到结果.
【详解】
如图，连接 ，
因为 为正六边形，所以 ， ，
所以 ，所以 .
故选：C
12．已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标表示,可得 ,简单计算,可得结果.
【详解】∵ ，则 ， 或 .
∴当 时， 命题成立，
反之，当 时， 不一定成立.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选；A.
13．在 中 ，点 为 与 的交点， ，则
（ ）A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到 ， ，从而列出方程组，
求出 ，得到 ，求出答案.
【详解】因为 ，所以 为 中点，
三点共线，故可设 ，即 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
三点共线，
可得 ，
所以 ，解得 ，
可得 ，则 ， .
故选：B
14．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵
爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦
图”中，若 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.
【详解】因为 ,所以 , ,
所以 ...①, ...②，
由①+ ②得： ，即 .
故选：B
15．如图，在 中， ， 为CD的中点，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
【详解】由已知得
.
故选：D.
二、多选题
16．已知点 ， ，则下列向量与 平行的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可.
【详解】由已知 ，
存在实数 ，使 ，
存在实数 ，使 ，
存在实数 ，使 ，
不存在实数 ，使 ，
故选：ABC.
17．如图， ，线段 与 交于点 ，记 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量加法、减法以及数乘的几何意义，结合图形的几何性质，可得答案.
【详解】 ，
设 ， ， ，
∵ ，∴ ，同理 ， ， ， ，
联立解得 .
故选：AD.
18．如图，在平行四边形 中，E、F分别是 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.【详解】选项A：由题意知，E、F分别是 边上的两个三等分点，且 与 方向相同，则 ，
故A正确；
选项B：由图可知， ， ，所以 ，故B正确；
选项C： ，所以C错误；
选项D： ，故D错误.
故选：AB.
19．已知M为 ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
△
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得 ，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以 ，
又 ，所以 ，故B正确；
，故C正确；
， ，又 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC
20．设点M是 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则点M是BC的中点
B．若 ，则点M是 的重心
C．若 ，则点M，B，C三点共线
D．若 ，则 ，
【答案】AC
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及 重心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得 ，
若 ，可得 为 的中点，所以A正确；
对于B中，若 为 的重心，则满足 ，
即 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，可得 ，即 ,
所以 三点共线，所以C正确；
对于D中，如图（2）所示，由 ，
可得 ，所以D不正确.
故选：AC.三、填空题
21．已知 ， ， 与 平行，则实数 的值为______.
【答案】
【分析】首先求出 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又 与 平行，所以 ，解得 .
故答案为：
22．已知点 ，若向量 ，则点 的坐标是__________.
【答案】
【分析】设 ，根据 得到 ，解得答案.
【详解】设 ， ，即 ，
故 ，解得 ，即点 的坐标是 .
故答案为：
23．已知 ，三点 、 、 共线，则 ______．
【答案】【分析】求出向量 、 的坐标，分析可知 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 的值.
【详解】因为 ，三点 、 、 共线，则 ，
且 ， ，
所以， ，解得 .故答案为： .
24．如图，在 中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且 ，用向量 、 表示 .
_________________
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】因为 ，所以 为 的中点，又D是AB的中点，
所以 .
故答案为： .
25．已知向量 ， ， ，若 、 、 三点共线，则 __________.
【答案】
【分析】计算出 、 的坐标，由题意可知 ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 的值.
【详解】已知向量 ， ， ，
则 ，
，因为 、 、 三点共线，则 ，所以， ，解得 .
故答案为： .
26．已知在平行四边形ABCD中，点E满足 ， ，则实数 ______．
【答案】
【分析】利用向量的四则运算化简求值.
【详解】如图所示：
平行四边形ABCD中，点E满足 ，
，
解得： .
故答案为：
27．在 中，点 满足: ， ，若 ，则 =_________.
【答案】3
【分析】根据条件，利用向量的线性运算得到 ，再利用平面向量基本定理求出 ，即
可求出结果.
【详解】因为 ， ，所以
，
故由平面向量基本定理得到， ，所以 .故答案为：3.
28．已知 的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足 ， ，连接AD，BE
交于点 ，则 的面积为________．
【答案】4
【分析】根据平面向量的线性运算，结合三点共线的结论，即可由比例得面积关系.
【详解】由 ， 得 ,
设 ,所以 ,
由于 三点共线，所以 ，
所以 ，
由 可得 ,所以 ,
由 得 .
故答案为：4
29．若 ，点D在第一象限且 ，则实数 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算结合已知可求得点D的坐标，根据其在第一象限即可求得答案.【详解】由题意得 ，设 ，
由 可得 ，
则 ，故 ，
故D点坐标为 ，由于D在第一象限，
故 ，
即实数 的取值范围是 ，
故答案为：
四、解答题
30．如图，在 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，设 .
(1)用向量 与 表示向量 ；
(2)若 ，求证： 三点共线.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；
（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.
【详解】（1） 是 的中点，；
.
（2） ，
与 平行，
又 与 有公共点 ，
三点共线.
31．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，BF交于点G.若
，求 的值.
【答案】
【分析】作出辅助线，结合全等和相似知识和平面向量基本定理求出答案.
【详解】如图，延长CD，BF交于点H.
因为平行四边形ABCD中，F为边AD的中点，
易证 ≌ ，所以 .
又因为四边形ABCD为平行四边形， 与 平行，
所以 ∽ ，
因为E为边CD的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】如图，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为
2，分别利用 三点共线和 三点共线结合共线向量定理可求出点 的坐标，再利用平面向量基
本定理可求得结果.
【详解】如图，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则 ，
所以 ，
因为 三点共线，所以存在唯一实数 ，使 ，
所以 ，
因为 三点共线，所以存在唯一实数 ，使 ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
2．如图，在 中，点 ， 分别在边 和边 上， ， 分别为 和 的三等分点，点 靠近
点 ，点 靠近点 ， 交 于点 ，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用 表示 ，结合平面向量基本定理确定其表达式.
【详解】设 ， ，所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：B.
3．在 中， 满足 ，点 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可知 为 的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求．
【详解】因为 满足 ，∴ 为 的重心，
∴ ，
又∵ ，
∴
．
故选：B．4．如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，则 ，则
的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【分析】利用平面向量共线定理与线性运算即可得 ，且 ，再结合基本不等式“1”的代
换即可求得最值.
【详解】因为点 是线段 的中点，所以 ，
又 是线段 上的动点，则可设 ，且
所以
则 ，所以 ，则 ，且
所以 ，当且仅当 ，即
时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
5．在 中，点 是边 所在直线上的一点，且 ，点 在直线 上，若向量
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．9【答案】B
【分析】由题意可得 ，又点 ， ， 三点共线，所以 ，再利用“1”的代换，
结合基本不等式求解即可．
【详解】 ， ，
，
点 ， ， 三点共线，
，
又 ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
的最小值为4．
故选：B．
6．如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点 的直线分别交直线 ， 于点
， ，若 ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出 ，再根据基本不等式可求出结果.【详解】因为 三点共线，所以可设 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，消去 得 ，
所以 ，
因为 ， ，得 ，得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A
7．在正六边形 中，点 是 内（包括边界）的一个动点，设 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 为动点，所以不容易利用数量积来得到 的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐
标系各个点的坐标易于确定，
可得： ，则 ，所以设 ，
则由 可得： ，因为 在 内，且 ，
所以 所满足的可行域为 ，代入可得： ，通过线性规划可得： .
二、多选题
8．向量 ， ， ，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2 B．－2 C．11 D．－11
【答案】BC
【分析】由已知求出 的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得 ，
．
因为A，B，C三点共线，所以 ，
所以 ，整理得 ，解得k＝－2或11．故选：BC．
9．下列说法中正确的有（ ）
A．已知 是平面内两个非零向量，对于实数 ， ， 一定在该平面内
B．已知 ， 是平面内的一组基底，若实数 ， 使 ，则
C．已知 是平面内两个非零向量，若实数 ， ， ， 使 ，则 ，
D．已知 ， 是平面内的一组基底，对平面内任一向量 ，使 的实数 ， 有且只有一
对
【答案】ABD
【分析】根据平面向量基本定理分别判断各个选项即可.
【详解】对于 ， 是平面内两个非零向量，
对于实数 ， ，由向量运算法则得 一定在该平面内，故 正确；
对于 ， ， 是平面内的一组基底，
若实数 ， 使 ，则由基底的定义得 ，故 正确；
对于 ， 是平面内两个非零向量，
若实数 ， ， ， 使 ，
则由向量相等的定义得 ， 不一定成立，故 错误；
对于 ，已知 ， 是平面内的一组基底，对平面内任一向量 ，
由共面向量基本定理得使 的实数 ， 有且只有一对，故 正确．
故选： ．
10．在直角梯形 中， 为 中点， 分别为线段 的两个三等分点，点为线段 上任意一点，若 ，则 的值可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】AB
【分析】建立平面直角坐标系，设 ，用坐标表示出 ，再根据
列方程可得 ，然后可得.
【详解】
如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
则
设 ，则
∵ ，
∴ ，
∴ 整理得 ，
因为 ，所以
故选：AB.
11．在 所在的平面上存在一点 ， ，则下列说法错误的是（ ）A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹可能经过 的重心
D．若 ，则点 的轨迹可能经过 的内心
【答案】ABC
【分析】由 ，结合向量共线的推论判断 的轨迹，讨论 形状判断A、B正误；根据重心的性
质得 判断C；根据题设设等边三角形，确定 ， 点的轨迹可能经过 的内心判
断D.
【详解】若 ，根据向量共线的推论知： 共线，即 在直线 上，
中，当 时，则 的中点为三角形外心，故 有可能为外心，A错；
若 ，不妨取
当 时,
此时 的轨迹经过 的垂心，B错；
若 为 的重心，必有 ，此时 ，C错；
若 ，设 为等边三角形，结合 ，
则 点在 的中线上，也在 的平分线上， 的轨迹可能经过 的内心，D正确.
故选：ABC
三、填空题
12．如图，在 中，D为边BC的中点，E为AD靠近A点的三等分点，若 ，则
_____________.【答案】
【分析】根据向量的线性运算法则，利用 表示 ，结合平面向量基本定理求 ，由此可求 .
【详解】因为E为AD靠近A点的三等分点，
所以 ，
因为D为边BC的中点，
所以 ，
故 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 .故答案为： .
13．如图，在 中， ， ，直线 交 于点 ，若 则
_________ .
【答案】
【分析】由 三点共线可得存在实数 使得 ，再由 三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得 ，即 .
【详解】由题可知， 三点共线，由共线定理可知，
存在实数 使得 ,
又 ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，解得 ，
即可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，可得 ，
又 ，即可得 .
故答案为： .
14．正 的边长为 ，中心为点 ，过 的动直线 与边 、 分别相交于点 、 ， ，
， ， ，给出下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③ 不是定值，与直线 的位置有关；
④ 的最小值为 .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①④
【分析】对于①：根据等边三角形得性质结合平面向量得线性运算可得 ， ，
运算判断；对于②：根据题意可得 ，代入结合数量积的定义和运算律处理运算；对于③：根据三点共线结论可判断③；利用③中的结论以及平面向量数量积的运算性质、基本不等式求出 的最
小值，可判断④.
【详解】因为 为 的中点，则 ，
因为 为正 的中心，则 ，①正确；
若 ，则 ， ，
所以， ，②错误；
因为 、 、 三点共线，设 ，即 ，
所以， ，
因为 ，
因为 、 不共线，则 ，所以， ，所以， ，③错误；
因为过 的动直线 与边 、 分别相交于点 、 ， ， ，
所以， ， ，由基本不等式可得 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，④正确.
故答案为：①④.
15．如图， 中， 为 边的中点， 为线段 上的任意一点（不含 ， ），且
，（x， ），若 恒成立，则实数a的最大值为_______．
【答案】8
【分析】由题意易知 ，由此即可求出 的最小值，即为a的最大值.
【详解】因为 ， ， , 三点共线，
则 ， ,
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取“=”.
所以 的最大值为8.
故答案为：8
四、解答题
16．如图所示，在 中，点 是BC的中点，点 在边AC上，且 ， 与BN相交于
点 ，求证： ．【答案】证明见解析
【分析】设 ， ，则 ， ，由 和 分别共线可得
， ，则 ，且
，进而求解即可证明结论.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
因为 和 分别共线，
所以存在实数 ， ，使 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，所以结论得证.【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在 中， ， ， ，点 在该三角形的内切圆上运动，若 （ ，
为实数），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 可得 ，再结合余弦定理，面积公式可求出
、 、 边上高 ，内切圆半径 ，最后根据平行线等比关系即可求解.
【详解】 ，由 在内切圆上，
故 ，
假设 ，由于 ， ，
则 ，且 为 上一点， ， ， 三点共线，
由平行线等比关系可得，要使 ，即 与 之间的比例最小，则 在内切圆的最高点，如图所示，
由 ，
因为 ，所以 ，设 边上高为 ，内切圆半径为 ，
由 ，
所以 ， ，
可得 的最小值为 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到 ，令
，观察到分母的系数相加为1，则可得到 为 上一点，再结合平行线等比关
系以及图象可得到比例最小的具体位置
2．如图，点C是半径为1的扇形圆弧 上一点，且 ，若 ，则 的最大
值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.
【详解】如图所示，以 为 轴，过 作与 垂直的线作为 轴，
， ， ，设 ， ，
时， 取得最大值是 .
故选：C.
3．在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
所以有 ，
，设 ， ，
因此有因为 ，
所以有 ，
而 ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，当 ，xy有最小值 ，
所以 的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、多选题
4．在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点 在 所在的平面内，满足 ，则点 是 的外心
B．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 为等腰直角
三角形
C．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 是等
边三角形
D．在矩形ABCD中， ， ，动点 在以点 为圆心且与BD相切的圆上．若
，则 的最大值为1．
【答案】AC
【分析】根据已知即可得出A项正确；由已知可得出点 在 的平分线上，且 ，只能得出
等腰三角形；根据已知可得出 是 的外心、重心、垂心，即可得出C项；由已知求出半径，以点为坐标原点，写出点的坐标，用三角函数表示出 ，然后用辅助角公式，即可得出最值.
【详解】对于A项，由已知可得点 到 三个顶点的距离相等，且 在 所在的平面内，所以点
是 的外心，故A正确；
对于B项，因为 ，所以点 在 的平分线上.
又 ，所以 ，所以 .
所以， 是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误；
对于C项，由 ，结合A的结论，可知点 是 的外心.
又 ，即 .
如图1，取 中点为 ，则 ，
所以 ，所以 共线，且 ，
所以，点 为 的重心.
又 ，所以 ，所以 ，
所以，点 为 的垂心.
综上可知， 是等边三角形，故C项正确；
对于D项，如图2，过点 作 ，垂足为 ，
因为 ，由 ，
可得， ，即圆的半径 .
以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
因为 在圆上，根据三角函数的定义，可设点 ，
则 ， ， .
由 可知 ，
所以， .
设 ， ， ，则 .
当 时， 取最大值1， 有最大值3；
当 时， 取最小值 ， 有最小值1.
故D项错误.故选：AC.
【点睛】方法点睛：建立适当的坐标系，得出点的坐标，用坐标表示向量的运算，进而根据三角函数的性
质，即可解决问题.
三、填空题
5．已知平面向量 ， ， ，满足 ， ， 且 ，若对每一个确定的向量 ，
记 的最小值为 ，则当 变化时，实数 的最大值为__________.
【答案】
【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解.
【详解】令 ，
所以
如图，
所以点A的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则 ，
又因为 ，所以点C在直线 上，故 时， 的值最小，
当 情况下，直线 与 相切时 最大， 取最大，
此时， ，
故答案为： .
6．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，
亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一
个较大的等边三角形，设 ，若 ，则 的值为______.
【答案】
【分析】根据余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得 ，进而求得正确答案.
【详解】过 作 ，交 于 ，则 ，
由于 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
设 ，则 ,
则 ，
由于 ，所以在三角形 中，
由余弦定理得 ，
所以 ， ，
在三角形 中，由正弦定理得：
， ，
所以 .，
在三角形 中，由正弦定理得：
， ，
所以 .
所以 .
故答案为：
【点睛】平面向量的基本定理可以解决向量分解的问题，相当于向量线性运算.在求解几何图形问题的过程
中，可考虑利用正弦定理或余弦定理来进行边角转化.
四、解答题
7．已知 中， ， ， ，Q是边AB（含端点）上的动点.
(1)若 ，O点为AP与CQ的交点，请用 ， 表示 ；
(2)若点Q使得 ，求 的取值范围及 的最大值.【答案】(1)
(2) 的取值范围为 ， 的最大值为 .
【分析】（1）由已知可得 ，再由A、O、P三点共线，令 ，而 可得
，然后由C、O、Q三点共线，可求出 ，从而可求得结果；
（2）由（1）得 ，设 ，则 ，由 ，得 ，
化简后可表示出 ，利用函数的单调性可求出其范围，
，从而可求出其最大值.
【详解】（1）∵ ∴ ，
又∵A、O、P三点共线，令 ，
∵ ∴ ，
而C、O、Q三点共线，∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）可得 ，又因为 ，
设 ，则 ，
由 ，可得 .
即 ，
所以 ，即 .
整理得 ，
因为 ， 在 上单调递增，
故 ，
又因为 ，
可知 是关于t的函数在 上单调递增，所以当 时， 最大值为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的运算，考查平面向量共
线定理的应用，第（2）问解题的关键是根据题意将 用 ， 表示出来，然后由 列方程
可表示出 ，从而可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
