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数列中的综合问题
6-5
1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.
2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．
6-5 数列中的综合问题...........................................................................................................................................1
一、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 数学文化与数列的实际应用.................................................................................................2
题型二 等差数列、等比数列的综合运算........................................................................................2
题型三 数列与其他知识的交汇问题.................................................................................................3
命题点1 数列与不等式的交汇.................................................................................................3
命题点2 数列与函数的交汇......................................................................................................4
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................4一、分类题型
题型一 数列的新定义问题
【例题精析1】 （2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，
关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投
入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为 （单位：万
件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护
的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（ ）
A．7年 B．8年 C．9年 D．10年
【例题精析2】 （多选）（2022·高二课时练习）在数列 中，若 （ ， ， 为常
数），则 称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若 是等方差数列，则 一定是等差数列
B．若 是等方差数列，则 可能是等差数列
C． 是等方差数列
D．若 是等方差数列，则 也是等方差数列
数列应用问题常见模型
(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值．
(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么
应考虑a与a (或者相邻三项)之间的递推关系，或者S与S (或者相邻三项)之间的递推
n n＋1 n n＋1
关系．
【对点精练1】 （2023·全国·高三专题练习）据报道，我国森林覆盖率逐年提高，某林场去年底森林木材储
存量为 立方米，若树林以每年25％的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为 立方米，
为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量 的最大值是多少？（附：
）
【对点精练2】 （2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁
殖问题时，发现有这样一列数： .该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，
每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”，记 是数
列 的前 项和，则 __________.题型二 等差数列、等比数列的综合运算
【例题精析3】 （2023·全国·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ，
成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【例题精析4】 （2020·江苏苏州·统考三模）已知数列 、 中， ， ，且 ，
，设数列 、 的前 项和分别为 和 .
（1）若数列 是等差数列，求 和 ；
（2）若数列 是公比为2的等比数列.
①求 ；
②是否存在实数 ，使 对任意自然数 都成立？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要
是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数
列的和，然后利用b＝1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{a}与{c}的通项公式时，
1 n n
考查累加、累乘两种基本方法．
【对点精练3】 （2020春·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）数列 的前 项和为 ，若存在正整
数 ，且 ，使得 ， 同时成立，则称数列 为“ 数列”.
（1）若首项为 ，公差为 的等差数列 是“ 数列”，求 的值；
（2）已知数列 为等比数列，公比为 .
①若数列 为“ 数列”， ，求 的值；
②若数列 为“ 数列”， ，求证： 为奇数， 为偶数.
【对点精练4】 （2016·上海·高考真题）对于无穷数列{ }与{ }，记A={ | = ， }，B={ | = ，
}，若同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；② 且 ，则称{ }与{ }是无穷互
补数列．
（1）若 = ， = ，判断{ }与{ }是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若 = 且{ }与{ }是无穷互补数列，求数列{ }的前16项的和；
（3）若{ }与{ }是无穷互补数列，{ }为等差数列且 =36，求{ }与{ }得通项公式．题型三 数列与不等式
命题点1 数列不等式恒成立问题
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列 与 的前n项和分别为 ，则
______；若 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【例题精析6】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 ，
数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
【例题精析7】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，当
时， .
(1)证明：数列 是等差数列；(2)若 ，数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求正整数 的最大值.
【例题精析8】 （2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知等差数列 中， ，记数
列 的前 项和为 ，若 ，对任意的 恒成立，则整数 的最小值是
__________
命题点2 数列不等式能成立（有解问题）
【例题精析9】 （2023·上海青浦·统考二模）已知数列 满足 ，存在正偶数 使得
，且对任意正奇数 有 ，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【例题精析10】 （2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知数列 的通项公式是 ，记 为
在区间 内项的个数，则 _______，不等式 成立的 的最小值为
_______．
【例题精析11】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，对任意正实数 ，总存在 和相邻的两项 ，使得 成立，则 的取值范围为
__________.
【例题精析12】 （2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列 满足 ，且
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求使得不等式 成立的n的最小值．
【例题精析13】 （2023·浙江·二模）记 为正数列 的前 项和，已知 是等差数列.
(1)求 ；
(2)求最小的正整数 ，使得存在数列 ， .
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通
项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的
证明．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•浦东新区校级模拟）若从无穷数列 中任取若干项 （其中 都依
次为数列 中的连续 项，则称 是 的“衍生数列“．给出以下两个命题：
（1）数列1，2，3， ， ， 是某个数列的“衍生数列”；
（2）若 各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则 从某一项起为常数列．下列判断正确的是
．A．（1）（2）均为真命题 B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题
2．（2023•海东市模拟）若数列 满足 ，则
A．2 B． C． D．
3．（2023•平顶山模拟）数列 是首项和公比均为2的等比数列， 为数列 的前 项和，则使不等
式 成立的最小正整数 的值是
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2023•顺义区一模）若等差数列 和等比数列 满足 ， ， ，则 的公差
为
A．1 B． C． D．2
5．（2023•思明区校级模拟）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成 9个圆环，解开
九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按
照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第 个圆环解下最少需要移动
的次数记为 ，已知 ， ，按规则有 ，则解下第4个
圆环最少需要移动的次数为
A．4 B．7 C．16 D．31
6 ． （ 2023• 涪 城 区 校 级 模 拟 ） 各 项 均 不 为 零 的 数 列 满 足 ： ，，则
A． B． C． D．
7．（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
8．（2023•上海）已知无穷数列 的各项均为实数， 为其前 项和，若对任意正整数 都有
，则下列各项中可能成立的是
A． ， ， ， ， ， 为等差数到， ， ， ， ， ， 为等比数列
B． ， ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， ， 为等差数列
C． ， ， ， ， 为等差数列， ， ， ， ， 为等比数列
D． ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， 为等差数列
9．（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若数列 是递增数列，则
D．若数列 是递增数列，则10．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构， ， ， ， 是桁，相邻桁的水平
距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 ， ， ， 是举，
， ， ， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ， ， ， ．
已知 ， ， 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
11．（2022•浙江）已知数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
12．（2023•锦江区校级模拟）已知正项数列{a }满足 ，数列{b }满足 b ＝lna ，且
n n n n
对任意的n N*恒成立，则下列结论中正确的是 ．
∈
①b ＜0
n
②数列{b }从第二项起是单调递减数列
n
③
④
13．（2023•浦东新区校级模拟）已知 ， ，且 为正整数），则 ．
14．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9的数列 ，该数列的前3项成
等差数列，后7项成等比数列，且 ， ， ，则 ，数列 的所有项的和为
．
15．（2023•上海）已知 ，在该函数图像 上取一点 ，过点 ， 做函数 的切线，
该切线与 轴的交点记作 ，若 ，则过点 ， 做函数 的切线，该切线与 轴的交点
记作 ，以此类推 ， ， ，直至 停止，由这些项构成数列 ．
（1）设 属于数列 ，证明： ；
（2）试比较 与 的大小关系；
（3）若正整数 ，是否存在 使得 、 、 、 、 依次成等差数列？若存在，求出 的所有取值；
若不存在，请说明理由．
16．（2023•乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
17．（2023•甲卷）已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18．（2023•天津）已知 是等差数列， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式和 ；（Ⅱ）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ．
当 时，求证： ；
求 的通项公式及其前 项和．
19．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
20．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
21．（2023•全国）已知 为等比数列，其前 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
22．（2022•甲卷）记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．23．（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
24．（2022•上海）已知在数列 中， ，其前 项和为 ．
（1）若 是等比数列， ，求 ；
（2）若 是等差数列， ，求其公差 的取值范围．
25．（2022•天津）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 的前 项和为 ，求证： ；
（3）求 ．
26．（2022•新高考Ⅱ）已知 是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 ， 中元素的个数．
27．（2022•北京）已知 ， ， ， 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ，2，
， ，在 中存在 ， ， ， ， ，使得 ，则称 为 连续
可表数列．
（Ⅰ）判断 ，1，4是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若 ， ， ， 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；
（Ⅲ）若 ， ， ， 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
28．（2022•全国）设 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
