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等差数列
6-2
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
6-2 平面向量的概念及线性运算........................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：等差数列的有关概念..............................................................................................................2
考点2：等差数列的有关公式..............................................................................................................2
考点3：等差数列的常用性质..............................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................4
题型一 等差数列基本量的运算..........................................................................................................4
题型二 等差数列的判定与证明..........................................................................................................5
题型三 等差数列的性质........................................................................................................................6
命题点1 等差数列项的性质......................................................................................................6
命题点2 等差数列前n项和的性质.........................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................7一、主干知识
考点1：等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常
数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a ＝a +（n﹣1）d；前n项和公
n 1
式为：S ＝na + n（n﹣1）或S ＝ （n N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a ＝a +a
n 1 n m p q
∈
（p，q，m都为自然数）
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
考点2：等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a＋(n－1)d.
n 1
(2)前n项和公式：S＝na＋d或S＝.
n 1 n
考点3：等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：a＝a ＋(n－m)d(n，m∈N*)．
n m
（2）若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a＋a＝a ＋a.
n k l m n
（3）若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a
k
，a
k＋m
，a
k＋2m
，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
（4）数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m
（5）S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
（6）若数列{a }，{b }均是等差数列，则数列{ma +kb }仍为等差数列，其中m，k均为常数．
n n n n
（7）a ，a ，a ，a ，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a ）．
m m+k m+2k m+3k 1
【常用结论总结】
1．已知数列{a}的通项公式是a＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数列，且公差为p.
n n n
2．在等差数列{a}中，a＞0，d＜0，则S 存在最大值；若a＜0，d＞0，则S 存在最小值．
n 1 n 1 n
3．等差数列{a}的单调性：当d＞0时，{a}是递增数列；当d＜0时，{a}是递减数列；当d＝0时，{a}
n n n n
是常数列．4．数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
n n二、分类题型
题型一 等差数列基本量的运算
【例题精析1】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 的最小值
是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【例题精析2】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知 为等差数列，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例题精析3】 （2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列 为等差数列，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【例题精析4】 （2023·全国·模拟预测）记 为数列 的前 项和.已知 ， .
(1)求 的通项公式；(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，n，d，a ，S ，知道其中三个就能求
1 n n
出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 和公差d.
1
【对点精练1】 （2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 的最小值
为______．
【对点精练2】 （2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，
， ，则 的公差为__________.
【对点精练3】 （2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列 的前n项和为 ，若
，则数列 的公差 ________．
【对点精练4】 （2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列 满足： ，若
为等差数列，则通项公式为__________．
【对点精练5】 （2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测） 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，
若 ， ， ， 成等比数列，则 ______.题型二 等差数列的判定与证明
【例题精析5】 （2023·全国·高二专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)证明： 是等差数列；
【例题精析6】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为
，且 .
(1)求证：数列 是等差数列；
【例题精析7】 （2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项积为
，且满足 ．
(1)求证： 为等差数列；
判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法：对任意n∈N*，a －a 是同一常数．
n＋1 n
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a ＝a ＋a .
n n＋1 n－1
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足a ＝pn＋q(p，q为常数)．
n(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足S ＝An2＋Bn(A，B为常数)．
n
【对点精练6】 （2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足
.
(1)证明：数列 为等差数列；
【对点精练7】 （2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
【对点精练8】 （2021·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
【对点精练9】 （2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等
差数列，证明： 是等差数列.
【对点精练10】 （2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{a }满足： ，求证:数列{a }为“M－数列”；
n n题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
【例题精析8】 （2023·四川凉山·三模）在等差数列 中， ， ，则 （ ）．
A．3 B．5 C．7 D．9
【例题精析9】 （多选）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则 ， ， 成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等比数列
【例题精析10】 （2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中，若 ，则
__________.
【对点精练11】 （2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且
，则 ______．
【对点精练12】 （2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用 表示等差数列 的前n项和，若
， ，则m的值为______．
【对点精练13】 （2023·江苏·校联考模拟预测）若数列 是等比数列，且 是 与 的等差中项，则________．
【对点精练14】 （2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）设 的内角 所对边分别为 ，若
.
(1)求证： 成等差数列；
(2)若 为整数， ，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求 周长的最小值.
命题点2 等差数列前n项和的性质
【例题精析11】 （2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ， ，则
（ ）
A．9 B． C．12 D．
【例题精析12】 （2022春·高二单元测试）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例题精析13】 （2023春·高二课时练习）设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，已知
，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【例题精析14】 （2019·全国·统考高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则
___________.【例题精析15】 （2023·河南·统考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，
则 ______．
(1)项的性质：在等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a＋a＝a＋a.
n m n p q
(2)和的性质：在等差数列{a}中，S为其前n项和，则
n n
①S ＝n(a＋a )＝…＝n(a＋a )．
2n 1 2n n n＋1
②S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
③依次k项和成等差数列，即S，S －S，S －S ，…成等差数列．
k 2k k 3k 2k
【对点精练15】 （2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A．0 B． C． D．
【对点精练16】 （2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）设等差数列 ， 的前 项和分
别为 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点精练17】 （2022秋·贵州贵阳·高三统考期中）在等差数列 中， 为其前 项和，若 ，
则 的值为（ ）
A．18 B．12 C．10 D．9【对点精练18】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，
，则 ______．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄
色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长 ， ， ， ， （单位： 成等差
数列，对应的宽为 ， ， ， ， （单位： ，且长与宽之比都相等．已知 ， ，
，则
A．64 B．96 C．128 D．160
2．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石
板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环
比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则
三层共有扇面形石板（不含天心石）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
3．（2020•北京）在等差数列 中， ， ．记 ，2， ，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
4．（2019•新课标Ⅰ）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则
A． B． C． D．
5．（2018•新课标Ⅰ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 ）
A． B． C．10 D．12
6．（2017•新课标Ⅲ）等差数列 的首项为1，公差不为0．若 ， ， 成等比数列，则 前6项
的和为
A． B． C．3 D．8
7．（2017•新课标Ⅰ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2017•浙江）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022•乙卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ．
10．（2020•山东）将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前 项和为
．
11．（2020•新课标Ⅱ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
12．（2019•新课标Ⅲ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
13．（2019•江苏）已知数列 是等差数列， 是其前 项和．若 ， ，则
的值是 ．
14．（2019•新课标Ⅲ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
15．（2019•北京）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ， 的最小值为
．
16．（2018•上海）已知 是等差数列，若 ，则
17．（2018•北京）设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为 ．
18．（2018•上海）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ．
19．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
20．（2021•乙卷）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
21．（2019•北京）设 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）记 的前 项和为 ，求 的最小值．
22．（2019•新课标Ⅰ）记 为等差数列 的前 项和．已知 ．
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求使得 的 的取值范围．
23．（2018•新课标Ⅱ）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
1．（2021•西城区一模）在无穷等差数列 中，记 ，2，
，则“存在 ，使得 ”是“ 为递增数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021•宿州三模）已知 为等差数列且 ， ， 为其前 项的和，则
A．142 B．143 C．144 D．145
3．（2021•资阳模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．165 B．176 C．180 D．187
4．（2021•长安区二模）等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则
A．1010 B．2020 C．1011 D．2021
5．（多选）（2023•3月份模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，满足 ， ，下
列说法正确的是
A．
B．
C． 的最大值为
D． 的前10项和为
6．（多选）（2022•惠州二模）已知 为等差数列，其前 项和 ，若 ， ，则
A．公差 B．
C． D．当且仅当 时，
7．（2022•唐山二模）已知数列 满足 ， ，则 前5项和的最大值为 ．
8．（2021•浙江模拟）已知数列 ，若数列 与数列 都是公差不为0的等差数列，则数列 的公差是 ．
9．（2021•贵溪市校级模拟）等差数列 中， ， ，则 ．
1．（2018•镇海区校级模拟）等差数列 中，前 项和 ，前 项和 ，则
A．小于4 B．等于4 C．大于4 D．大于2且小于4
2．（2022•南京自主招生）若数列 ， ， ， 成等差数列， ， ， ， 成等比数列，则
的取值范围是 ．
3．（2020•苏州二模）等差数列 的公差为 ，关于 的不等式 的解集为 ， ，
则使数列 的前 项和 最大的正整数 的值是 ．
