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5.1 等差数列考点一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2024·云南·模拟预测）已知等差数列 满足： 为数列 的前 项和，则
（ ）
A．18 B．45 C．90 D．180
【例1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知在单调递增的等差数列 中， 与 的等差中项为8，且 ，
则 的公差 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【例1-3】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 ，
则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【一隅三反】
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
2．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2024·重庆·模拟预测）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A．40 B．60 C．76 D．88
5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
考点二 等差中项的性质
【例2-1】（23-24 浙江杭州·期中）在 中，三个内角 成等差数列，则 （ ）A． B． C． D．1
【例2-2】（23-24高二下·北京·期中）等差数列 中，设前 项和为 ， ，则 等于（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【例2-3】（2024·全国·模拟预测）设 ， ，若 是 与 的等差中项，则 的最小值为
（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【一隅三反】
1．（2024·辽宁·二模）记等差数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）．
A．13 B．26 C．39 D．78
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知数列 是等差数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列 中，已知 与 是方程 的两根，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A． B．5 C．5或－5 D． 或
考点三 等差数列片段和的性质
【例3-1】（2023·广东深圳·二模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【例3-2】（2023·四川乐山·一模）设等差数列 的前 项和 ，若 ， ，则 （ ）
A．18 B．27 C．45 D．63【例3-3】（23-24·广东揭阳·期末）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
2．（23-24 广东深圳·期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3（23-24高三上·河北·期末）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·青海海东 ）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
考点四 等差数列前n项和与n的比
【例4-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2024贵州毕节 ）等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，则( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列 中， 为其前 项和．若 ，且
，则 等于（ ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-20182．（2024·新疆·模拟预测）在等差数列 中， ，其前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
3．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ．
考点五 两个等差数列的前n项和之比
【例5-1】（2024·河南新乡·一模）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知两个等差数列 和 的前n项和分别为Sn和Tn，且 =
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2024·湖北武汉·三模）设公差不为零的等差数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）
A． B．-1 C．1 D．
【例5-4】（23-24 陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 ,
且 , 则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， .若对于任意的正整数n都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24 黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意正整数 都有
，则 （ ）
A． B． C． D． E．均不是
4．（2024·河北衡水·三模）已知数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，满足
，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
考点六 等差数列前n项和的最值
【例6-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 中， ， ，则使得前n项的和最大的n值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例6-2】（2024·四川南充·三模）设为 等差数列 的前n项和，已知 、 、 成等比数列，
，当 取得最大值时， （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9【例6-3】（2024·山东泰安·三模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【例6-4】（23-24 天津和平·期末）若 是等差数列， 表示 的前n项和， ，则 中
最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则当 取最小
值时， （ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
2．（2024·湖北·二模）已知公差为负数的等差数列 的前 项和为 ，若 是等比数列，则当 取最
大值时， （ ）
A．2或3 B．2 C．3 D．4
3．（2024全国·期末）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则当 取得最小值时，n的值为
（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
4．（2024·辽宁·二模）（多选）设 是等差数列， 是其前n项的和.且 ， ，则下面结论
正确的是（ ）
A． B．
C． 与 均为 的最大值 D．满足 的n的最小值为14
考点七 等差数列奇数项或偶数项的和
【例7-1】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 的项数为 其中奇数项之和为
偶数项之和为 则 ( )
A． B． C． D．
【例7-2】（2023·重庆·二模）已知等差数列 的前30项中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【例7-3】（2024上海徐汇·期末）设等差数列的项数 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（22-23 四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项
比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
2．（2024广东）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（
）
A．9 B．10
C．11 D．12
3．（2024广东深圳 ）等差数列 共有 项，其中奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则 的值是
A． B． C． D．
4．（2024浙江宁波·期中）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为 ，
则公差d为 .
考点八 等差数列定义及含绝对值的求和
【例8-1】（2023·吉林·一模）已知数列 ,点 在直线 上.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前20项和 .【例8-2】（2024吉林长春·一模）已知数列 的通项公式为 .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2) 令 ，求数列 的前 项和 .
【一隅三反】
1．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差数列．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2024·山西·二模）已知数列 的前n项和为 ，若 ， ．(1)求证：数列 是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列 的前n项的和 ．
① ；
② ．
一．单选题
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 =
（ ）
A．50 B．40 C．30 D．25
2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
3．（2024·宁夏银川·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．5．（2024·全国·模拟预测）在数列 中， ，对任意正整数 ，则数列 的前 项和 的
最大值为（ ）
A．77 B．76 C．75 D．74
6．（2024·山东济南·二模）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和为
，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 是等差数列， 是其前 项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 取最小值时 的值为12
B．若 ，则 的最大值为108
C．若 ，则必有
D．若首项 ， ，则 取最小值时 的值为9
8．（2024·全国·模拟预测）记 为等差数列 的前 项和，已知 ，则使得 的 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题
9．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，且 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
10．（2024江苏·阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
A．若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 也是等差数列B．若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 ， ， ， 也是等差数列
C．若等差数列 的项数为 ，它的偶数项和为 ，奇数项和为 ，则
D．若等差数列 的项数为 ，它的偶数项和为 ，奇数项和为 ，则
11．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． 为递减数列 D． 的前5项和为
三．填空题
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则
．
12．（2024·广东深圳·模拟预测）设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 ．
13．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则
.
四．解答题
14．（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求数列 的前 项和 .16．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
17．（23-24 江苏泰州 ）记数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)证明数列 为等差数列，并求通项公式 ；
(2)记 ，求 .18．（2024·黑龙江·模拟预测）已知数列 满足 ， .
（1）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2） 令 ，求数列 的前 项和 .
19．（2024·福建泉州）已知数列 的通项公式为 ，数列 的首项为 .
(1)若 是公差为3的等差数列，求证： 也是等差数列；
(2)若 是公比为2的等比数列，求数列 的前 项和.
